高中數(shù)學(xué)《算法的含義》文字素材1蘇教版必修3

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1、 蘇教必修 3 1.1 —1.2 教材解讀 一. 學(xué)前探究 : 假設(shè)你早上從起床到出門(mén)需要做以下幾件事情： 洗臉?biāo)⒀溃?5min）、燒水（ 8min）、泡面（ 3min）、吃飯（ 10min）、聽(tīng)廣播（ 8min），你為了節(jié)省時(shí)間，會(huì)按怎樣的方法步驟進(jìn)行呢？ 二．難點(diǎn)、易忽略點(diǎn)剖析： 1. 算法有哪些特征？ (1) 有限性：一個(gè)算法在執(zhí)行有限步驟后必須結(jié)束，不能無(wú)限地執(zhí)行下去。 (2) 確定性 : 算法的每一個(gè)步驟和次序應(yīng)當(dāng)是確定的， 而不應(yīng)當(dāng)模棱兩可 , 比如求 3 的近似 值卻沒(méi)有近似的精確度 , 則該問(wèn)題不能求解 . (3

2、) 有效性 : 算法的每一個(gè)步驟都必須是有效的、可行的. (4) 不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的解法 . 易忽略點(diǎn) : ○1 在設(shè)計(jì)算法時(shí) , 算法應(yīng)有一個(gè)或多個(gè)輸出 , 算法的目的是為了求解問(wèn) 題，所以沒(méi)有輸出的算法是沒(méi)有意義的 . 2 , 我們通常選擇較簡(jiǎn)單的算法 . ○ 求解某一個(gè)問(wèn)題的算法一般不是唯一的 3 , 最簡(jiǎn)單的方法 , 比如在解方 程 ○ 只要有公式，利用公式解決問(wèn)題是最理想 x2 2x 320 0 的算法時(shí) , 用求根公式來(lái)做，步驟則較為簡(jiǎn)潔

3、 . 2. 畫(huà)流程圖有哪些要求？ (1) 使用標(biāo)準(zhǔn)圖框符號(hào) ; (2) 圖框一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà); (3) 除了判斷框外 , 大多流程圖框只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)輸出點(diǎn); (4) 在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚. 3. 算法的三種基本結(jié)構(gòu) (1) 順序結(jié)構(gòu)：是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種算法結(jié)構(gòu)，可從用右圖表 示順序結(jié)構(gòu)的示意圖，其中 A 和 B 兩個(gè)框是依次執(zhí)行的， 只有在執(zhí)行完 A 框所 指定的操作后，才能接著執(zhí)行

4、B框所指定的操作． 易忽略點(diǎn) : ○1 對(duì)順序結(jié)構(gòu)的理解及運(yùn)用 , 其先后次序是易出錯(cuò)的地方 . ○2順序結(jié)構(gòu)中的語(yǔ)句一旦執(zhí)行完 , 就不能再次被執(zhí)行 . (2) 條件結(jié)構(gòu)：是一種先根據(jù)條件作出判斷，再?zèng)Q定執(zhí)行哪一種操作的結(jié)構(gòu)， 如右圖所示是一個(gè)選擇結(jié)構(gòu) . 此結(jié)構(gòu)中包含一個(gè)判斷框， 根據(jù)給定的條件 P是否 成立而選擇執(zhí)行 A框或 B框，請(qǐng)注意，無(wú)論 P條件是否成立，只能執(zhí)行 A框或 B 框之一，不可能既執(zhí)行 A框又執(zhí)行 B框，也不可能 A框、 B框都不執(zhí)行． A或 B兩個(gè)框中，可以有一個(gè)是空的，即不執(zhí)行任何操作．易忽略點(diǎn)：判斷框必須有兩個(gè)出口。

5、 (3) 循環(huán)結(jié)構(gòu)：即反復(fù)執(zhí)行某一部分的操作。其中反復(fù)執(zhí)行的處理步驟稱(chēng)為 循環(huán)體。它的框圖一般可分為直到型和當(dāng)型. 編者提示：兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)的詳細(xì)比較請(qǐng)參閱第四版《兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)精析》 . 在循環(huán)結(jié)構(gòu)中常見(jiàn)到 i i 1 、 s s d , 這樣的語(yǔ)句， 其中變量 i 作為計(jì)數(shù)變量 , 記錄 某個(gè)規(guī)定的事件已發(fā)生的次數(shù)；變量 s 作為累計(jì)變量 , 用于輸出結(jié)果 . 二者一般同步執(zhí)行 . 1 , 應(yīng)設(shè)置計(jì)數(shù)變量 i 和累加變量 s 的初值 . 易忽略點(diǎn) : ○ 循環(huán)結(jié)構(gòu)的初始階段 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 1

6、 ○2結(jié)構(gòu)內(nèi)不允許出現(xiàn)死循環(huán)，即無(wú)終止的循環(huán)，如右圖所示就是一個(gè)死循環(huán)。 ○3在循環(huán)結(jié)構(gòu)中往往包含了選擇結(jié)構(gòu)與順序結(jié)構(gòu) , 因此在設(shè)計(jì)循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)要兼顧 選擇結(jié)構(gòu)與順序結(jié)構(gòu) . 三、典型例題 例 . 一位商人有 9 枚銀元，其中有一枚略輕的是假銀元。你能用天平（無(wú)砝碼）將假銀元找出來(lái)嗎？寫(xiě)出解決這一問(wèn)題的一種算法。 分析：最容易想到的解決辦法是：把 9 枚銀元順次排成一列，先稱(chēng)前兩個(gè)，若不平衡，則可找出較輕的一個(gè)是假銀元； 若平衡，則兩枚都是真的， 再依次與剩下的銀元作稱(chēng)量比較，就可找到假銀元。 [ 解法 1]: 算法步驟如下： 第一步： 任取

7、兩枚銀元分別放在天平兩邊， 如果天平左右不平衡， 則輕的哪一邊就是假銀元；如果天平平衡，則進(jìn)行第二步； 第二步：取下右邊的銀元，放在一邊，然后把剩下的 7 枚銀元依次放在右邊進(jìn)行稱(chēng)量， 直到天平不平衡，則偏輕的哪一邊就是假銀元。 [ 評(píng)注 ] ：對(duì)于這種非數(shù)值問(wèn)題算法設(shè)計(jì)問(wèn)題， 應(yīng)當(dāng)首先建立過(guò)程模型， 根據(jù)過(guò)程設(shè)計(jì)步 驟，完成算法。另外，這種算法最少要稱(chēng)量一次，最多則要稱(chēng)量 7 次，仔細(xì)分析，我們還可 以有以下更好的算法。 [ 解法 2] ：算法步驟如下： 第一步：把 9 枚銀元平均分成 3 組，每給 3 枚； 第二步： 先將其中的兩組放在天平的

8、兩邊， 如果天平不平衡， 那么假銀元就在輕的哪一 組；如果天平平衡，則假銀元就在未稱(chēng)的那一組中； 第三步： 取出含假銀元的那一組， 從中任取兩個(gè)放在天平的兩邊進(jìn)行稱(chēng)量， 如果天平不 平衡，則假銀元就是較輕的那一個(gè)；如果天平平衡，則假銀元就是沒(méi)稱(chēng)量的那一個(gè)。 [ 評(píng)注 ] ：利用以下算法， 只要 2 次稱(chēng)量就可以將假銀元找出來(lái)， 顯然比第一種算法簡(jiǎn)潔、 有效。 感悟算法 1．算法的概念 算法是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題的程序或步驟， 這些程序或步驟必須是明確的 和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成。 算法可概

9、括為以下幾個(gè)特點(diǎn)： （ 1）有窮性 一個(gè)算法的步驟序列是有限的，它應(yīng)在有限步操作之后停止，而不能是無(wú)限的。 （ 2）確定性 算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是摸棱兩 可。 （ 3）順序性與正確性 算法從初始步驟開(kāi)始， 分為若干明確的步驟， 每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 2 一步是后一步的前提， 只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步， 并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤， 才能完成問(wèn)題。 （ 4）不唯一性 求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯

10、一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法。 （ 5）普遍性 很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決。 例如手算、 心算或用算盤(pán)、計(jì)算器去計(jì) 算都要經(jīng)過(guò)有限的、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決。 2．給出一個(gè)問(wèn)題，設(shè)計(jì)算法時(shí)應(yīng)注意： （ 1）認(rèn)真分析問(wèn)題，聯(lián)系解決此問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法； （ 2）綜合考慮次類(lèi)問(wèn)題中可能涉及的各種情況； （ 3）借助有關(guān)的變量或參數(shù)對(duì)算法加以描述； （ 4）將解決問(wèn)題的過(guò)程劃分為若干個(gè)步驟； （ 5）用簡(jiǎn)練的語(yǔ)言將各個(gè)步驟表示出來(lái)。 3．對(duì)于數(shù)值性計(jì)算問(wèn)題，例如：解方程、方程組，解不等式、不等式組，套用公式判斷

11、 性的問(wèn)題， 累加、累乘等這一類(lèi)問(wèn)題的算法描述， 可通過(guò)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型借助一般數(shù)學(xué)計(jì)算方法，分解成清晰的步驟，使之條理化即可。 4．對(duì)于一些非數(shù)值計(jì)算問(wèn)題，例如：排序、查找、變量變換、文字處理等需要先建立過(guò) 程模型，通過(guò)過(guò)程模型進(jìn)行算法設(shè)計(jì)與描述。 例 1 寫(xiě)出求經(jīng)過(guò)點(diǎn) A 2, 1 , B 2,3 的直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的一個(gè)算 法。 分析：已知直線上兩點(diǎn) A 、 B ，由兩點(diǎn)式可寫(xiě)出直線的方程，令 x 0 得與 y 軸的交點(diǎn)， 令 y 0得與 x 軸的交點(diǎn)，求出三角形兩直角邊的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的面積公式求出三角形的

12、 面積。 解析：算法步驟如下： 第一步：取 x12, y1 1, x2 2, y2 3 ； 第二步：得直線方程 y y1 x x1 ； y2 y1 x2 x1 第三步：在第二步的方程中，令 x 0 得 y 的值 m ，從而得直線與 y 軸的交點(diǎn) M 0,m ； 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 3 第四步：在第二步的方程中，令 y 0 得 x 的值 n ，從而得直線與 x 軸的交點(diǎn) N n,0 ； 第

13、五步：根據(jù)三角形的面積公式求 S 1 m n ； 2 第六步：輸出運(yùn)算結(jié)果。 評(píng)注： 由于兩點(diǎn)式直線方程可以有公式套用， 所以這一步驟選擇了套用公式的算法； 三角 形面積需要求兩直角邊的長(zhǎng)度， 而本題中正是先求出三角形的兩直角邊的長(zhǎng)度， 再代入三角 形的面積公式求出三角形的面積。 例 2 一位商人有 9 枚銀元，其中有一枚略輕的是假銀元，你能用天平（不用砝碼）將假銀元找出來(lái)嗎？ 分析：最容易想到的解決這個(gè)問(wèn)題的一種方法是：把 9 枚銀元按順序排成一列，先稱(chēng)前 2 枚，若不平衡， 則可找出假銀元； 若平衡， 則

14、2 枚銀元都是真的， 再依次與剩下的銀元比較， 就能找出假銀元。 解析：算法步驟如下： 第一步： 任取 2 枚銀元分別放在天平的兩邊， 如果天平左右不平衡， 則輕的一邊就是假銀 元；如果天平平衡，則進(jìn)行第二步。 第二步： 取下右邊的銀元放在一邊， 然后把剩余的 7 枚銀元依次放在右邊進(jìn)行稱(chēng)量， 直到 天平不平衡，偏輕的那一枚就是假銀元。 評(píng)注： 上述算法至少要稱(chēng) 1 次，最多稱(chēng) 7 次，我們可以采用下面的辦法， 使稱(chēng)量次數(shù)少一 些。 第一步：把銀元分成 3 組，每組 3 枚。 第二步：先將兩組分別放在天平的兩

15、邊， 如果天平不平衡，那么假銀元就在輕的一組； 如 果天平左右平衡，則假銀元就在未稱(chēng)的第 3 組里。 第三步：取出含假銀元的那一組，從中任取兩枚銀元放在天平的兩邊，如果左右不平衡， 則輕的那一邊就是假銀元；如果天平兩邊平衡，則未稱(chēng)的那一枚就是假銀元。 練一練 1 ．寫(xiě)出求過(guò) A 3,2 、 B 1,6 兩點(diǎn)的直線的斜率的一個(gè)算法。 2 ．寫(xiě)出解方程 x2 2x 3 0 的一個(gè)算法。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 4 算法趣話 就像人類(lèi)發(fā)明機(jī)器是為了拓展人的生產(chǎn)

16、能力、發(fā)明交通工具是為了拓展人的行動(dòng)能力一樣，計(jì)算機(jī)的發(fā)明是為了將人的抽象思維能力拓展到自身以外。每一天，我們使用計(jì)算機(jī)的電子表格、字處理器、網(wǎng)頁(yè)瀏覽器等程序塊來(lái)完成各種各樣的任務(wù)。表面看來(lái)，計(jì)算機(jī)做的事情非常漂亮，但那只是一種幻覺(jué)。計(jì)算機(jī)可 以做的所有事情只是非?？焖俚夭僮饔?1 和 0 組成的數(shù)字。另一方面，我們?nèi)祟?lèi)卻不能用 1 和 0 進(jìn)行思考。算法就是將人類(lèi)的思維能力形式化為計(jì)算機(jī)可以執(zhí)行 的步驟，使得若干微小的電子元件代替人類(lèi)進(jìn)行思考。具體過(guò)程是先將解決問(wèn)題的一系列步驟寫(xiě)成算法，再翻譯成某種程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)，就得到了我們每天操作的程序塊。因此，算法是計(jì)算機(jī)科學(xué)的

17、核心，換句話說(shuō)，算法是計(jì)算機(jī)程序的基礎(chǔ)。沒(méi)有算法，計(jì)算機(jī)的存在也就失去了意義。 隨著社會(huì)和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步，科學(xué)的兩大研究方法 ──理論和實(shí)驗(yàn)越 來(lái)越多地表現(xiàn)出局限性。許多研究的對(duì)象既不可能用理論精確地描述，也不可能 通過(guò)實(shí)驗(yàn)手段來(lái)實(shí)現(xiàn)，而計(jì)算方法與之相比，有其獨(dú)到之處?？茖W(xué)計(jì)算是 20 世紀(jì) 后期才興起的一門(mén)學(xué)科，如今已經(jīng)廣泛滲透到生物醫(yī)學(xué)研究、基因工程、太空探測(cè)和每日天氣預(yù)報(bào)等各個(gè)領(lǐng)域。人們利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬和實(shí)驗(yàn)來(lái)理解現(xiàn)象，猜測(cè)新的事實(shí)，發(fā)現(xiàn)新的理論，使各個(gè)領(lǐng)域的研究都獲得突破的可能。例如，醫(yī)生想知道病人大腦或其他器官的一些情況，他無(wú)法簡(jiǎn)單地將

18、病人解剖來(lái)進(jìn)行觀察，但可以利用計(jì)算機(jī)來(lái)處理超聲波或磁場(chǎng)共振信號(hào)，并建立可視圖像；經(jīng)濟(jì)學(xué)家想為政府制定經(jīng)濟(jì)政策提供輔助信息，若采用在局部區(qū)域內(nèi)制定實(shí)驗(yàn)性的經(jīng)濟(jì)政策的方法，可能會(huì)給該區(qū)域造成巨大的損失，但通過(guò)建立經(jīng)濟(jì)行為的算法模型，模擬各種經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，則可能得到理想的結(jié)果?？茖W(xué)計(jì)算對(duì)每個(gè)專(zhuān)業(yè)和每個(gè)研究領(lǐng)域都產(chǎn)生了巨大的沖擊。隨著幾乎所有學(xué)科走向定量化和精確化，科學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)也發(fā)生了巨大的變化，產(chǎn)生了一系列計(jì)算性的學(xué)科分支，如計(jì)算幾何、算法數(shù)論、計(jì)算統(tǒng)計(jì)、計(jì)算流體力學(xué)、計(jì)算量子化學(xué)、計(jì)算胚胎學(xué)、計(jì)算地質(zhì)學(xué)、計(jì)算氣象學(xué)、計(jì)算材料科學(xué)、計(jì)算天文學(xué)等等?，F(xiàn)在，科學(xué)計(jì)算繼實(shí)驗(yàn)、理論之后，已經(jīng)成為第三種科學(xué)研究手

19、段。在以規(guī)模化大生產(chǎn)為特征的“機(jī)械時(shí)代”，一般不需要?jiǎng)趧?dòng)者擁有出眾的才華或者獨(dú)特的創(chuàng)意，在這種體制下培養(yǎng)出的人才是“模式化”的、“整齊劃一”的，勞動(dòng)者只需要掌握自己所從事工作的基礎(chǔ)知識(shí)，并按 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 5 照上級(jí)的指令認(rèn)真做事就可以了。如今，我們的生活方式正在被計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)所 日益改變著。更加重要的是，計(jì)算機(jī)不僅在形式上改變著我們的生活方式，而且 從思維的深處改變著我們認(rèn)識(shí)世界、改造世界的方式，對(duì)我們?nèi)绾嗡伎妓鎸?duì)的 問(wèn)題和如何解決問(wèn)題都產(chǎn)生了深刻的影響。 21 世紀(jì)是創(chuàng)意與構(gòu)思的時(shí)代，有意識(shí) 地培養(yǎng)我們的算法思想，構(gòu)建算法意識(shí)，以“算法的 視角”看待和解決問(wèn)題，必 將有利于未來(lái)的發(fā)明與創(chuàng)新。 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 6