高中數(shù)學(xué)第二章《橢圓的簡單幾何性質(zhì)》教案新人教A版選修2-1

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1、 2．1．2 橢圓的簡單幾何性質(zhì) ◆ 知識與技能目標(biāo) 了解用方程的方法研究圖形的對稱性；理解橢圓的范圍、對稱性及對稱軸，對稱中心、 離心率、頂點(diǎn)的概念；掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、 會用橢圓的定義解決實(shí)際問題；通過例題了解 橢圓的第二定義，準(zhǔn)線及焦半徑的概念，利用信息技術(shù)初步了解橢圓的第二定義 ． ◆ 過程與方法目標(biāo) （ 1）復(fù)習(xí)與引入過程 引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)由函數(shù)的解析式研究函數(shù)的性質(zhì)或其圖像的特點(diǎn)，在本節(jié)中不僅要注意 通過對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論， 研究橢圓的幾何性質(zhì)的理解和應(yīng)用， 而且還注意對這種研究 方法的培養(yǎng)． ①由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程和非負(fù)實(shí)數(shù)的概念能得到橢圓的范圍； ②由方程的性質(zhì)得 到橢圓的對稱性； ③先定義圓錐曲線頂點(diǎn)的概念， 容易得出橢圓的頂點(diǎn)的坐標(biāo)及長軸、 短軸 的概念 ；④通過 P48 的思考問題，探究橢圓的扁平程度量橢圓的離心率． 〖板書〗 2．1． 2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)． （ 2）新課講授過程 （ i ）通過復(fù)習(xí)和預(yù)習(xí)，知道對橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 提問：研究曲線的幾何特征有什么意義？從哪些方面來研究？ 通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點(diǎn)的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置．要從范圍、對稱性、頂點(diǎn)及其他特征性質(zhì)來研究曲線的幾何性質(zhì)．

3、 （ ii ）橢圓的簡單幾何性質(zhì) ①范圍 ：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得， y2 x 2 0 ，進(jìn)一步得： a x a ，同理 b2 1 2 a 可得： b y b ，即橢圓位于直線 xa 和 y b 所圍成的矩形框圖里； ②對稱性：由以 x 代 x ，以 y 代 y 和 x 代 x ，且以 y 代 y 這三個(gè)方面來研究橢 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)生變化沒有，從而得到橢圓是以 x 軸和 y 軸為對稱軸，原點(diǎn)為對稱中心； ③頂點(diǎn)：先給出圓錐曲線的頂點(diǎn)的統(tǒng)一定義，即圓錐曲線的對稱軸與

4、圓錐曲線的交點(diǎn) 叫做圓錐曲線的頂點(diǎn)． 因此橢圓有四個(gè)頂點(diǎn)， 由于橢圓的對稱軸有長短之分， 較長的對稱軸叫做長軸，較短的叫做短軸； ④離心率： 橢圓的焦距與長軸長的比e c 0 e 1 ）， 叫做橢圓的離心率（ a 當(dāng)e 1時(shí)，c a，，b 0 ； 當(dāng)e 0時(shí)，c 0，b a ． 橢圓圖形越扁 橢圓越接近于圓 （ iii ）例題講解與引申 、擴(kuò)展 例 4 求橢圓 16x2 25 y2 400 的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)．

5、 分析 ：由橢圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程 ，容易求出 a, b,c ．引導(dǎo)學(xué)生用橢圓的長軸、 短軸、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的定義即可求相關(guān)量． 擴(kuò)展：已知橢圓 mx2 5y2 5m m 0 的離心率為 e 10 ，求 m 的值． 5 1 解法剖析 ：依題意， m 0, m 5 ，但橢圓的焦點(diǎn)位置沒有確定，應(yīng)分類討論：①當(dāng)焦 點(diǎn)在 x 軸上，即 0 m 5 時(shí)，有 a 5, bm , c5 m ，∴ 5 m 2 5 ，得 5 m

6、 3 ； ② 當(dāng) 焦 點(diǎn) 在 y 軸 上 ， 即 m 5 時(shí) ， 有 a m, b 5 , c m 5， ∴ m 5 1 0 2 5 m m ． 5 3 例 5 如圖，一種電影放映燈的反射鏡面是旋轉(zhuǎn)橢圓面的一部分． 過對對稱的截口 BAC 是橢圓的一部分，燈絲位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn) F1 上，片門位于另一個(gè)焦點(diǎn) F2 上，由橢圓一個(gè) 焦點(diǎn) F1 發(fā)出的光線，經(jīng)過旋轉(zhuǎn)橢圓面反射后集中到另一個(gè)焦點(diǎn) F2 ．已知 BC F1F2 ， F1 B 2.

7、8cm， F1 F2 4.5cm．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求截口 BAC 所在橢圓的方程． 解法剖析 ：建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2 y2 1 ，算出 a, b, c 的 a2 b2 值；此題應(yīng)注意兩點(diǎn)：①注意建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則；②關(guān)于 a, b, c 的近似值，原則上 在沒有注意精確度時(shí)，看題中其他量給定的有效數(shù)字來決定． 引申 ：如圖所示， “神舟”截人飛船發(fā)射升空，進(jìn)入預(yù)定 軌道開始巡天飛行，其軌道是以地球的中心 F2 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢 圓， 近地點(diǎn) A 距地面 200km

8、，遠(yuǎn)地點(diǎn) B 距地面 350km ，已知 地球的半徑 R 6371km ．建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求出橢圓 的軌跡方程． 例 6 如圖，設(shè) M x, y 與定點(diǎn) F 4,0 的距離和它到直線 l ： x 25 的距離的比是常數(shù) 4 4 ，求點(diǎn) M 的軌跡方程． 5 分 析 ： 若 設(shè) 點(diǎn) M x, y ， 則 M F 2 2 25 x 4 y ， 到 直 線 l ： x 的 距 離 4 d x 25 ，則容易得點(diǎn)

9、 M 的軌跡方程． 4 引申 ：（用《幾何畫板》 探究）若點(diǎn) M x, y 與定點(diǎn) F c,0 的 距 離 和 它 到 定 直 線 l a2 的 距 離 比 是 常 數(shù) ： x c 2 e c a c 0 ，則點(diǎn) M 的軌跡方程是橢圓． 其中定點(diǎn) F c,0 是焦點(diǎn)，定直線 l ：x a2 a c 相應(yīng)于 F 的準(zhǔn) 線；由橢圓的對稱性， 另一焦點(diǎn) F c,0 ，相應(yīng)于 F 的準(zhǔn)線 l

10、： x a2 ． c ◆ 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo) 在合作、互動(dòng)的教學(xué)氛圍中，通過師生之間、學(xué)生之間的交流、合作、互動(dòng)實(shí)現(xiàn)共同探 究，教學(xué)相長的教學(xué)活動(dòng)情境， 結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)探索精神、審美觀和科學(xué)世界 觀，激勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新． 必須讓學(xué)生認(rèn)同和掌握： 橢圓的簡單幾何性質(zhì)，能由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程能 直接得到橢圓的范圍、對稱性、 頂點(diǎn)和離心率；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立 直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則， ①充分利用圖形對稱性， ②注意圖形的特殊性和一般性；

11、 必須讓學(xué) 生認(rèn)同與熟悉： 取近似值的兩個(gè)原則：①實(shí)際問題可以近似計(jì)算， 也可以不近似計(jì)算， ②要 求近似計(jì)算的一定要按要求進(jìn)行計(jì)算， 并按精確度要求進(jìn)行， 沒有作說明的按給定的有關(guān)量 的有效數(shù)字處理； 讓學(xué)生參與并掌握利用信息技術(shù)探究點(diǎn)的軌跡問題， 培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的 興趣和掌握利用先進(jìn)教學(xué)輔 助手段的技能． ◆能力目標(biāo) （ 1） 分析與解決問題的能力 ：通過學(xué)生的積極參與和積極探究, 培養(yǎng)學(xué)生的分析問題和解決問題的能力． （ 2） 思維能力 ：會把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考；培養(yǎng)學(xué)生的會從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力． （ 3） 實(shí)踐能力 ：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識能力． （ 4） 創(chuàng)新意識能力 ：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決 問 題的一般的思想、方法和 途徑． 練習(xí) ：第 52 頁 1、 2、 3、 4、 5、6、 7 作業(yè)： 第 53 頁 4、 5 3