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1、《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計
一、教學(xué)內(nèi)容分析
線性規(guī)劃是數(shù)學(xué)規(guī)劃中理論較完整、方法較成熟、應(yīng)用較廣泛的一個分支 ,主要用于解
決生活、生產(chǎn)中的資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題,它是一種重要的數(shù)學(xué)模型。簡單
的線性規(guī)劃指的是目標(biāo)函數(shù)含兩個變量的線性規(guī)劃, 其最優(yōu)解可以用數(shù)形結(jié)合方法求出。 涉
及更多個變量的線性規(guī)劃問題不能用初等方法解決。
與 其 它 部 分 知 識 的 聯(lián) 系, 表 現(xiàn) 在:
二、學(xué)情分析
本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線方程的基礎(chǔ)上,通過實例,鞏固二元一次不等式(組)所
表示的平面區(qū)域,使學(xué)生從實際優(yōu)化問題中抽象出約束條件和目標(biāo)函數(shù), 理解平面區(qū)
2、域的意
義,并會畫出平面區(qū)域, 還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示簡單的二元線性規(guī)劃的限制條件, 將實
際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。
從數(shù)學(xué)知識上看,問題涉及多個已知數(shù)據(jù)、 多個字母變量,多個不等關(guān)系,從數(shù)學(xué)方法上看, 學(xué)生對圖解法的認(rèn)識還很少, 數(shù)形結(jié)合的思想方法的掌握還需時日, 這都成了學(xué)生學(xué)習(xí)的困
難。所以,通過這種從點與數(shù)對的對應(yīng), 線與方程的對應(yīng),到平面區(qū)域與不等式組的對應(yīng)的
過渡和提升,使學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想方法的實質(zhì)及其重要性。
三、設(shè)計思想
本課以問題為載體, 以學(xué)生為主體,以數(shù)學(xué)實驗為手段, 以問題解決為目的,以多媒體課件 作為平臺,激發(fā)他們動手操作、觀察思考、猜想探究的
3、興趣。注重引導(dǎo)幫助學(xué)生充分體驗 從
實際問題到數(shù)學(xué)問題”的建構(gòu)過程, 從具體到一般”的抽象思維過程,應(yīng)用 數(shù)形結(jié)合”的思
想方法,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)會分析問題、解決問題的能力。
四、教學(xué)目標(biāo)
1 .使學(xué)生了解二元一次不等式表示平面區(qū)域;
2 .了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、 目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念;
3 .了解線性規(guī)劃問題的圖解法,并能應(yīng)用它解決一些簡單的實際問題
4 .培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想以及作圖的能力,滲透集合、化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,提高
學(xué)生建?!焙徒鉀Q實際問題的能力
5 .結(jié)合教學(xué)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和 用數(shù)學(xué)”的意識,激勵學(xué)生創(chuàng)新
五、教
4、學(xué)重難點
教學(xué)重點:用圖解法解決簡單的線性規(guī)劃問題
教學(xué)難點:準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解。
六、教學(xué)支持條件分析
教師可借助計算機或圖形計算器,從激勵學(xué)生探究入手,講練結(jié)合,精準(zhǔn)的直觀演示能
使教學(xué)更富趣味性和生動性 .
通過讓學(xué)生觀察、討論、辨析、畫圖,親身實踐,調(diào)動多感官去體驗數(shù)學(xué)建模、用模的思
想,讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)形結(jié)合”思想方法建立起代數(shù)問題和幾何問題間的密切聯(lián)系.
七、教學(xué)過程
1、創(chuàng)設(shè)情境,提出問題
引例:某工廠用 A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品.每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用 4個A配件,
耗時1h;每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用 4個A配件,耗時2h.已知該廠每天最多可從配
5、件廠獲得
16個A配件和12個B配件,按每天工作 8h計算,該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么?
問題1:該廠日生產(chǎn)安排受哪些條件約束?
設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn) x, y件,得出二元一次不等式組:
丸十2、M 8.
Ax 二 16,
」之12.
y e N.
[師生活動]學(xué)生讀題,引導(dǎo)閱讀理解
后,列表 一建立數(shù)學(xué)關(guān)系式 一畫平面區(qū)域,教師關(guān)注有多少學(xué)生寫出了線性數(shù)學(xué)關(guān)系式,
有多少學(xué)生畫出了相應(yīng)的平面區(qū)域, 在巡視中并發(fā)現(xiàn)代表性的練習(xí)進(jìn)行展示, 強調(diào)這是同一
事物的兩種表達(dá)形式數(shù)與形。
[設(shè)計意圖]:引導(dǎo)學(xué)生讀題,完成實際問題數(shù)學(xué)化的過程.承前一課時,使學(xué)生進(jìn)一步熟
6、練
如何從實際問題中抽象出不等式組(約束條件)并用平面區(qū)域表示。
2、分析問題,形成概念
問題2:可能的日安排,什么意思?
(0, 0) , ( 0, 1) , (0,2), (0, 3);
(1,0), (1,1), (1,2), ( 1, 3);
(2, 0) , (2,1), ( 2, 2) , (2, 3);
[師生活動]教學(xué)中,可以結(jié)合幾何畫板,讓學(xué)生 讀出”可行解,即可行域中的 18個整點, 對于邊界附近的點,如(3, 3) , (4, 3, ) , (4, 4)是否可行域中,需引導(dǎo)學(xué)生配合不 等式來判斷,這將有助于學(xué)生手繪解決問題時的慎密思考.
[設(shè)計意圖
7、]:讓學(xué)生了解日生產(chǎn)方案的數(shù)學(xué)符號表示,不等式組( 1)的整數(shù)解(x ,y)的實
際意義,并給出 何行解"、可行域”概念。
問題3:若每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 2萬元,每生產(chǎn)一彳^乙產(chǎn)品獲利 3萬元,如何安排生產(chǎn)
利潤最大?
利潤函數(shù)模型的建立.設(shè)生產(chǎn)利潤為 z (萬元),則z=2x+3y。
[師生活動[①引導(dǎo)學(xué)生分別求各種可能安排的利潤(列舉): z=?
x
y
z=2x+3y
0
o
0
0
1
3
??
…
…
4
1
11
4
2
14
觀察得到,當(dāng)x=4, y=2時,z最大,z的最大值為14萬元.引出最優(yōu)解概念。
②以上過程計算繁瑣,
8、操作難度大,引導(dǎo)學(xué)生調(diào)整探究思路,尋找解決問題的新方法。由
2 芭
y — — — x + -
利潤函數(shù)的解析式 z=2x+3y,可變形為 3 3 ,故求z的最大值,可轉(zhuǎn)化為求
二 不
卜 的最大值,而B是直線z=2x+ 3y在y軸上的截距,只要找到直線系 z=2x + 3y與y軸
的交點、工’的最高即可.
如it劃出 竄33 g電 e如
2 x+3-y e 44
2-Xtly s
3 y = 1X17 = 1J.7?
③示范解答
解:設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品每日分別生產(chǎn) x, y件,依題意,得不等
9、式組:
4"12. keN,
(列出不等式)
(畫出可行域)
平面區(qū)域(如圖),
依題意,得目標(biāo)函數(shù) z=2x + 3y.
(求出目標(biāo)函數(shù))
作直線2x+3y=0,平移之,經(jīng)過點 M時,z最大。(平移目標(biāo)函數(shù)表示直線)
由x=4, x+2y=8得點M的坐標(biāo)(4, 2). (求(寫)出最優(yōu)解)
因此,當(dāng) x=4, y=2 時,z 最大,Zmax=2X4+3>2=14 (萬元).
[設(shè)計意圖]:通過添加最優(yōu)化問題轉(zhuǎn)入對新知識的探究, 借助計算機技術(shù)展示數(shù)學(xué)關(guān)系式平
面區(qū)域、表格等各種形態(tài)的表現(xiàn)形式,在數(shù)、圖、表的關(guān)聯(lián)中進(jìn)行觀察,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形
10、結(jié)
合思想。
從筆算到計算,從點到直線再到平面(區(qū)域),從一個函數(shù)到多個函數(shù),從特殊到一般,
從具體到抽象的認(rèn)識過程,使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識形成、發(fā)現(xiàn)、發(fā)展的過程,獲得問題的解
決,這有助于培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)
3、反思過程,提煉方法
問題4:什么線性規(guī)劃問題是?求解簡單線性規(guī)劃的步驟?
線性規(guī)劃問題: 在線性約束條件下,求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題,稱為線性
規(guī)劃問題.線性規(guī)劃問題的模型由目標(biāo)函數(shù)和可行域組成, 其中可行域是可行解的集合, 可
行解是滿足約束條件的解.使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做這個問題的最優(yōu)
解。
步驟:第1步:依題意,列出不等式組;
11、第2步:畫出可行域(實際上也就找到了可行解);
第3步:依題意,求出目標(biāo)函數(shù) ;
第4步:作出目標(biāo)函數(shù)所表示的某條直線(通常選作過原點的直線),平移此直線并觀
察此直線經(jīng)過可行域的哪個(些)點時,函數(shù)有最大(?。┲?
第5步:求(寫)出最優(yōu)解和相應(yīng)的最大(?。┲怠?
(建、畫、移、求、答)
4、變式演練,深入探究
問題5:如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 2萬元,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利 4萬元,如何安排生產(chǎn)
利潤最大?
目標(biāo)函數(shù)為z=2x+4y,直線z=2x+4y與y軸的交點的橫坐標(biāo)為
作出直線2x+4y=0,并平移,觀察知,當(dāng)直線 z=2x+4y經(jīng)過點(2, 3)
12、或(4, 2)時,
直線與y軸的交點最高,即 x=2 , y=3或x=4 , y=2時,z取最大值,且zmax=16.
問題6:如果每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利 3萬元,每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品虧損 2萬元,如何安排生產(chǎn)
利潤最大?
讓學(xué)生先猜測;注意:
z的最大值 一直線z=3x - 2y在y軸上的截距— z的最小
值.
目標(biāo)函數(shù)為 z=3x-2y ,直線z=3x-2y與y軸的交點的橫坐標(biāo)為
0-1
,3)
.作出直線
3x-2y=0,并平移,觀察知,當(dāng)直線 z=3x-2y經(jīng)過點(4, 0)時,直線z=3x-2y與y軸的交
點最低,即x=4 , y=0時,z取最大值,且Zmax=
13、12.
[設(shè)計意圖]進(jìn)一步強調(diào)目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距與 z的最值之間的關(guān)系,有時并不是截距越大, z值越大。這樣使學(xué)生產(chǎn)生思想上的知識的沖突,從而進(jìn)一步認(rèn)識到目標(biāo)函數(shù)直線的縱截距
與Z的最值之間的關(guān)系!
5、運用新知,解決問題
(1)求z=2x+y的最大值,使x,y滿足約束條件
(2)求z=3x+5y的最大值,使x,y滿足約束條件
[5x+3>SU
,八 t+L
工一57百3」
[設(shè)計意圖]:這里是兩個練習(xí)都是純數(shù)學(xué)問題,主要是運用數(shù)形結(jié)合思想,熟練求出線性目 標(biāo)函數(shù)的最值.
5、歸納總結(jié),鞏固提高
(1)歸納總結(jié)
為使學(xué)生對所學(xué)的知識有一個完整而深刻的印象,我請學(xué)生從以下兩方面自己小結(jié)。
(1)這節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些知識?
(2)學(xué)到了哪些思考問題的方法?
(學(xué)生回答)
(2)布置作業(yè)
課下作業(yè)
(1)補充:解決線性規(guī)劃問題需要哪些主要步驟?
(2)教科書 P105,習(xí)題3.3, A3
[設(shè)計意圖]有利于學(xué)生養(yǎng)成及時總結(jié)的良好習(xí)慣,并將所學(xué)知識納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu),同時 也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的能力