高中數(shù)學(xué)課件 圓的一般方程

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1、圓的一般方程,1.,掌握?qǐng)A的一般方程的形式，熟練掌握?qǐng)A的兩種方程的互化,.,2.,會(huì)用待定系數(shù)法求圓的一般方程,.,3.,了解幾種求軌跡方程的方法,.,(1),形式：,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,_,_.,(2),條件：,_,圓心為,_,半徑為,_.,特別地,當(dāng),D,2,+E,2,-4F=0,時(shí),方程表示點(diǎn)：,_.,當(dāng),D,2,+E,2,-4F0,不表示任何圖形,1.“,判一判”理清知識(shí)的疑惑點(diǎn),(,正確的打“”,錯(cuò)誤的打“,”).,(1),平面內(nèi)任一圓的方程都是關(guān)于,x,y,的二元二次方程,.(,),(2),圓的一般方程和圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化,.(,),(3),形

2、如,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,的方程都表示圓,.(,),(4),方程,x,2,+y,2,-2x+Ey+1=0,表示圓,則,E0.(,),提示：,(1),正確,.,因?yàn)?可化為,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,均是關(guān)于,x,y,的二元二次方程,.,(2),正確,.,圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以互化,.,(3),錯(cuò)誤,.,少了條件,D,2,+E,2,-4F0.,(4),正確,.,因?yàn)?D,2,+E,2,-4F=4+E,2,-40,則,E0.,答案：,(1),(2),(3),(4),2.“,練一練”嘗試知識(shí)的應(yīng)用點(diǎn),(,請(qǐng)把正確的答案寫(xiě)在橫線上,).,(1),圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,(

3、x-1),2,+(y-3),2,=1,化為一般方程為,.,(2),若圓的一般方程為,x,2,+y,2,+4x+2=0,則圓心坐標(biāo)為,半徑為,.,(3),若方程,x,2,+y,2,-x+y+m=0,表示圓的方程,則,m,的取值范圍是,.,【,解析,】,(1),因?yàn)?(x-1),2,+(y-3),2,=1,所以,x,2,+y,2,-2x-6y+9=0.,答案：,x,2,+y,2,-2x-6y+9=0,(2),因?yàn)?x,2,+y,2,+4x+2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,(x+2),2,+y,2,=2,所以圓心為,(-2,0),半徑為,.,答案：,(-2,0),(3),因?yàn)榉匠?x,2,+y,2,-x+y

4、+m=0,表示圓的方程,所以,(-1),2,+1,2,-4m0,所以,m .,答案：,m0,通常情況下先配成,(x-a),2,+(y-b),2,=m,通過(guò)觀察,m,與,0,的關(guān)系,說(shuō)明方程是否為圓的一般方程,而不要死記條件,D,2,+E,2,-4F0.,類(lèi)型 一,二元二次方程與圓的關(guān)系,嘗試完成下列題目,歸納一個(gè)關(guān)于,x,y,的二元二次方程表示圓的兩種判斷方法,.,1.(2013,晉江高一檢測(cè),),方程,x,2,+y,2,+2x-4y-6=0,表示的圖形是,(,),A.,以,(1,-2),為圓心,為半徑的圓,B.,以,(1,2),為圓心,為半徑的圓,C.,以,(-1,-2),為圓心,為半徑的圓

5、,D.,以,(-1,2),為圓心,為半徑的圓,2.,方程,x,2,+y,2,-4mx+2my+20m-20=0,能否表示圓,?,若能表示圓,求,出圓心和半徑,.,【,解題指南,】,1.,將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程即可確定圓心與半徑,.,2.,本題可直接利用,D,2,+E,2,-4F0,是否成立來(lái)判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù),.,【,解析,】,1.,選,D.,將方程,x,2,+y,2,+2x-4y-6=0,化為,(x+1),2,+(y-2),2,=11,因此,圓心為,(-1,2),半徑為,.,2.,方法一：由方程,x,2,+y,2,-4mx+2my+20m-20=0,可知,D=

6、-4m,E=2m,F=20m-20,所以,D,2,+E,2,-4F=16m,2,+4m,2,-80m+80=20(m-2),2,因此,當(dāng),m=2,時(shí),D,2,+E,2,-4F=0,它表示一個(gè)點(diǎn),當(dāng),m2,時(shí),D,2,+E,2,-4F0,原方程表示圓的方程,此時(shí),圓的圓心為,(2m,-m),半徑為,方法二：原方程可化為,(x-2m),2,+(y+m),2,=5(m-2),2,因此,當(dāng),m=2,時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn),當(dāng),m2,時(shí),原方程表示圓的方程,.,此時(shí),圓的圓心為,(2m,-m),半徑為,r=|m-2|.,【,技法點(diǎn)撥,】,方程,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,表示圓的兩種判斷方法,(1

7、),配方法,.,對(duì)形如,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0,的二元二次方程可以通過(guò)配方變形成,“,標(biāo)準(zhǔn),”,形式后,觀察是否表示圓,.,(2),運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解,.,即通過(guò)判斷,D,2,+E,2,-4F,是否為正,確定它是否表示圓,.,提醒：,在利用,D,2,+E,2,-4F0,來(lái)判斷二元二次方程是否表示圓時(shí),務(wù)必注意,x,2,及,y,2,的系數(shù),.,類(lèi)型 二,圓的一般方程的求法,通過(guò)解答下列求圓的一般方程的題目,試總結(jié)用待定系數(shù),法求圓的一般方程的步驟及兩種方程形式選擇的標(biāo)準(zhǔn),.,1.,過(guò)點(diǎn),(-1,1),且圓心與圓,x,2,+y,2,-6x-8y+15=0,的圓心相同的圓

8、,的方程是,.,2.,已知一個(gè)圓過(guò),P(4,2),Q(-1,3),兩點(diǎn),且在,y,軸上截得的線段,長(zhǎng)為,求圓的方程,.,【,解題指南,】,1.,根據(jù)所給圓的方程求出圓心坐標(biāo),再代入設(shè)出的方程求解,.,2.,設(shè)出圓的一般方程,由圓過(guò),P,Q,兩點(diǎn)可得兩個(gè)方程,再根據(jù)圓在,y,軸上截得的線段長(zhǎng)可得到一個(gè)方程,通過(guò)解方程組可求出圓的方程,.,【,解析,】,1.,設(shè)所求圓的方程為,x,2,+y,2,+Dx+Ey+F=0.,由已知該圓圓心為,(3,4),且過(guò)點(diǎn),(-1,1),故,所以圓的方程為,x,2,+y,2,-6x-8y=0.,答案：,x,2,+y,2,-6x-8y=0,2.,設(shè)圓的方程為,x,2,

9、+y,2,+Dx+Ey+F=0.,令,x=0,得,y,2,+Ey+F=0.,由已知,|y,1,-y,2,|=4 ,其中,y,1,y,2,是方程,y,2,+Ey+F=0,的兩根,所以,(y,1,-y,2,),2,=(y,1,+y,2,),2,-4y,1,y,2,=E,2,-4F=48.,將,P,Q,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入方程,得,解聯(lián)立的方程組,得,故圓的方程為,x,2,+y,2,-2x-12=0,或,【,互動(dòng)探究,】,若題,2,條件不變,試判斷原點(diǎn),(0,，,0),與圓的位置,關(guān)系,.,【,解析,】,(1),若圓的方程為,x,2,+y,2,-2x-12=0,因?yàn)?0,2,+0,2,-20-12=-

10、12,0,所以原點(diǎn),(0,，,0),在圓內(nèi),.,(2),若圓的方程為,因?yàn)?所以原點(diǎn),(0,0),在圓外,.,【,技法點(diǎn)撥,】,1.,待定系數(shù)法求圓的方程的三個(gè)步驟,(1),根據(jù)題意,選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,.,(2),根據(jù)條件列出關(guān)于,a,b,r,或,D,E,F,的方程組,.,(3),解出,a,b,r,或,D,E,F,代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程,.,2.,對(duì)圓的一般方程和標(biāo)準(zhǔn)方程的選擇,(1),如果由已知條件容易求得圓心坐標(biāo)、半徑或需利用圓心的坐標(biāo)或半徑來(lái)列方程的問(wèn)題,一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再用待定系數(shù)法求出,a,b,r.,(2),如果已知條件和圓心或半徑都無(wú)直接關(guān)系,一般采用圓的一般方程,再利

11、用待定系數(shù)法求出常數(shù),D,E,F.,提醒：,當(dāng)條件與圓的圓心和半徑有關(guān)時(shí),常設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,;,條件與點(diǎn)有關(guān)時(shí),常設(shè)圓的一般方程,.,【,拓展類(lèi)型,】,與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題,試著解答下列題目,體會(huì)求軌跡方程的一般步驟及常用方法,.,1.(2013,惠州高二檢測(cè),),若,RtABC,的斜邊的兩端點(diǎn),A,B,的坐標(biāo)分別為,(-3,0),和,(7,0),則直角頂點(diǎn),C,的軌跡方程為,(,),A.x,2,+y,2,=25(y0)B.x,2,+y,2,=25,C.(x-2),2,+y,2,=25(y0)D.(x-2),2,+y,2,=25,2.,已知,ABC,的邊,AB,長(zhǎng)為,4,若,BC,邊上的中線為定

12、長(zhǎng),3,求頂點(diǎn),C,的軌跡方程,.,【,解題指南,】,1.,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊的一半求解,.,2.,建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,易知,C,不能在,AB,上,設(shè),BC,中點(diǎn)為點(diǎn),D.C,B,D,三點(diǎn)為相關(guān)點(diǎn),利用代入法,(,也稱相關(guān)點(diǎn)法,),求解,.,【,解析,】,1.,選,C.,線段,AB,的中點(diǎn)為,(2,，,0),，因?yàn)?ABC,為直角三,角形，,C,為直角頂點(diǎn)，所以,C,到點(diǎn),(2,，,0),的距離為,|AB|=5,所,以點(diǎn),C(x,y),滿足,=5(y0),即,(x-2),2,+y,2,=25(y0).,2.,以直線,AB,為,x,軸，,AB,的中垂線為,y,軸建立坐標(biāo)系,(,如

13、圖,),，則,A(-2,0),B(2,0),設(shè),C(x,y),BC,中點(diǎn),D(x,0,y,0,).,所以,因?yàn)?|AD|=3,所以,(x,0,+2),2,+=9,，,將代入,整理得,(x+6),2,+y,2,=36.,因?yàn)辄c(diǎn),C,不能在,x,軸上，所以,y0.,綜上，點(diǎn),C,的軌跡是以,(-6,0),為圓心，,6,為半徑的圓，,去掉,(-12,0),和,(0,0),兩點(diǎn),.,軌跡方程為,(x+6),2,+y,2,=36(y0).,【,技法點(diǎn)撥,】,1.,用代入法求軌跡方程的一般步驟,2.,求軌跡方程的幾種常用方法,(1),直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化

14、簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程,.,(2),定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義,(,如圓等,),可用定義直接求解,.,(3),相關(guān)點(diǎn)法：根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程,.,(4),參數(shù)法：若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),(x,y),中的,x,y,分別隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個(gè)變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程,.,【,變式訓(xùn)練,】,(2013,珠海高二檢測(cè),),兩直線,ax+y=1,與,x-ay=1,的交點(diǎn)的軌跡方程是,_.,【,解題指南,】,分,x0,且,y0,和,x=0,且,y=0,求解,.,【,解析,】,當(dāng),x0,且,y0,時(shí)，兩直線方程化為,所以 化為,x,2,+y,2,-x

15、-y=0.,當(dāng),x=0,且,y=0,時(shí)滿足上式，,故交點(diǎn)的軌跡方程為,x,2,+y,2,-x-y=0.,答案：,x,2,+y,2,-x-y=0,1.,圓,x,2,+y,2,-4x+6y=0,的圓心坐標(biāo)是,(,),A.(2,3)B.(-2,3)C.(-2,-3)D.(2,-3),【,解析,】,選,D.,圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為,(x-2),2,+(y+3),2,=13,故圓心坐標(biāo)為,(2,-3).,2.,方程,x,2,+y,2,+2ax-2ay=0,表示的圓,(,),A.,關(guān)于,x,軸對(duì)稱,B.,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,C.,關(guān)于直線,x-y=0,對(duì)稱,D.,關(guān)于直線,x+y=0,對(duì)稱,【,解析,】,選,D

16、.,圓的方程化為,(x+a),2,+(y-a),2,=2a,2,圓心,(-a,a).,由圓心坐標(biāo)易知圓心在,x+y=0,上,所以圓關(guān)于直線,x+y=0,對(duì)稱,.,3.,點(diǎn),P(1,1),與圓,x,2,+y,2,-2x+2y=0,的位置關(guān)系是,(,),A.,在圓外,B.,在圓內(nèi),C.,在圓上,D.,不確定,【,解析,】,選,A.,因?yàn)?1,2,+1,2,-21+21=20,所以點(diǎn),P,在圓外,.,4.,方程,x,2,+axy+y,2,+bx+y+7=0,是圓的一般方程,則,a=_;,b,的取值范圍是,.,【,解析,】,要使方程表示圓的一般方程，需,答案：,0 (-,-5)(5,+),5.,若圓,x,2,+y,2,-6x+6y+14=0,關(guān)于直線,l,：,ax+4y-6=0,對(duì)稱,則直線,l,的斜率是,.,【,解析,】,圓,x,2,+y,2,-6x+6y+14=0,關(guān)于直線,l,：,ax+4y-6=0,對(duì)稱,則,直線,l,通過(guò)圓心,(3,-3),故,3a-12-6=0,解得,a=6,故斜率,k=-.,答案：,-,6.,判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程,?,如果是,求出圓的圓心坐標(biāo)及半徑