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1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,一,雨中行走問(wèn)題,一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來(lái)不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。,1,建模準(zhǔn)備,建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。,主要
2、因素：,淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度,2,）降雨大小用降雨強(qiáng)度 厘米,/,時(shí)來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位,時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。,3,）風(fēng)速保持不變。,4,）你一定常的速度 米,/,秒跑完全程 米。,2,模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明,1,）把人體視為長(zhǎng)方體，身高 米，寬度 米，厚度 米。,淋雨總量用 升來(lái)記。,3,模型建立與計(jì)算,1,）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。,淋雨的面積,雨中行走的時(shí)間,降雨強(qiáng)度,模型中,結(jié)論，,淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能,減少淋雨量。,從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為,2.041,（升）。,經(jīng)
3、仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了,2,分,47,秒，但被淋了,2,升的雨水，大約有,4,酒瓶的水量。這是不可思議的。,表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。,原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)化。,2,）考慮降雨方向。,人前進(jìn)的方向,若記雨滴下落速度為 （米,/,秒）,雨滴的密度為,雨滴下落的反方向,表示在一定的時(shí)刻,在單位體積的空間,內(nèi)，由雨滴所占的,空間的比例數(shù)，也,稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。,所以，,因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。,頂部的淋雨量,前表面淋雨量,總淋雨量（基本模型）,可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定 ，
4、如何選擇 使得 最小。,情形,1,結(jié)果表明：,淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí),淋雨量達(dá)到最小。,假設(shè)你以,6,米,/,秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得,情形,2,結(jié)果表明：,淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí),淋雨量達(dá)到最小。,假設(shè)你以,6,米,/,秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得,情形,3,此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。,出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：,我們給出的基本模型是針對(duì)雨從,你的前面落到身上情形,。,因此，對(duì)于這種情況要另行討論。,當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即,這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨總量為,再次代如數(shù)據(jù)，得,結(jié)果表明：,當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)
5、，淋,雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角,從背后落下，你應(yīng)該以,此時(shí)，淋雨總量為,這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒淋雨。,當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即,你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是,淋雨總量為,4,結(jié)論,若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，,應(yīng)以最大的速度向前跑；,若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，,讓它剛好等于落雨速度的水平分量。,5,注意,關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。,雨中行走問(wèn)題的建模過(guò)程又一次使我們看到模型假設(shè)的重,要性，模型的階段適應(yīng)性。,二 席位分配問(wèn)題,某校有,2
6、00,名學(xué)生，甲系,100,名，乙系,60,名，,丙系,40,名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè),20,個(gè)席位，問(wèn)三系各,有多少個(gè)席位？,按慣例分配席位方案，即,按人數(shù)比例分配原則,表示某單位的席位數(shù),表示某單位的人數(shù),表示總?cè)藬?shù),表示總席位數(shù),1,問(wèn)題的提出,20,個(gè)席位的分配結(jié)果,系別,人數(shù),所占比例,分配方案,席位數(shù),甲,100,100/200,(50/100),20=10,乙,60,60/200,(30/100),20=6,丙,40,40/200,(20/100),20=4,現(xiàn)丙系有,6,名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各,3,名。,系別,人數(shù),所占比例,分配方案,席位數(shù),甲,103,103/200=51.5
7、%,51.5%,20,=10.3,乙,63,63/200=31.5%,31.5%,20=6.3,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,20=3.4,10,6,4,10,6,4,現(xiàn)象,1,丙系雖少了,6,人，但席位仍為,4,個(gè)。（不公平?。?為了在表決提案時(shí)可能出現(xiàn),10,：,10,的平局，再設(shè)一個(gè)席位。,21,個(gè)席位的分配結(jié)果,系別,人數(shù),所占比例,分配方案,席位數(shù),甲,103,103/200=51.5%,51.5%,21,=10.815,乙,63,63/200=31.5%,31.5%,21=6.615,丙,34,34/200=17.0%,17.0%,21=3.,570,11,7,3
8、,現(xiàn)象,2,總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平?。?慣例分配方法,：,按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額,按慣例分給小數(shù)部分較大者。,存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？,2,建模分析,目標(biāo)：建立公平的分配方案。,反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用,每席位代表的人數(shù),來(lái)衡量。,系別,人數(shù),席位數(shù),每席位代表的人數(shù),公平程度,甲,103,10,103/10=10.3,中,乙,63,6,63/6=10.5,差,丙,34,4,34/4=8.5,好,系別,人數(shù),席位數(shù),每席位代表的人數(shù),甲,100,10,100/10=10,乙,60,6,60/6=10,丙,40,4,40/4=10,系
9、別,人數(shù),席位數(shù),每席位代表的人數(shù),公平程度,甲,103,11,103/11=9.36,中,乙,63,7,63/7=9,好,丙,34,3,34/3=11.33,差,一般地，,單位,人數(shù),席位數(shù),每席位代表的人數(shù),A,B,當(dāng),席位分配公平,但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷。,此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。,單位,人數(shù),p,席位數(shù),n,每席位代表的人數(shù),絕對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn),A,120,10,12,12-10=2,B,100,10,10,C,1020,10,102,102-100,=2,D,1000,10,100,C,D,的不公平程度大為改善！,2,）相對(duì)不公
10、平,表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值,越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。,則,A,吃虧,或?qū)?A,是不公平的。,定義,“,相對(duì)不公平,”,對(duì),A,的相對(duì)不公,平值；,同理，可定義對(duì),B,的相對(duì)不公平值為：,對(duì),B,的相對(duì)不公,平值；,建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo),制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。,3,建模,若,A,、,B,兩方已占有席位數(shù)為,用相對(duì)不公平值,討論當(dāng)席位增加,1,個(gè)時(shí)，應(yīng)該給,A,還是,B,方。,不失一般性，,有下面三種情形。,情形,1,說(shuō)明即使給,A,單位增加,1,席，仍對(duì),A,不公平，所增這一席必須給,A,單位。,情形,2,說(shuō)明當(dāng)對(duì),A,不
11、公平時(shí)，給,A,單,位增加,1,席，對(duì),B,又不公平。,計(jì)算對(duì),B,的相對(duì)不公平值,情形,3,說(shuō)明當(dāng)對(duì),A,不公平時(shí)，給,B,單,位增加,1,席，對(duì),A,不公平。,計(jì)算對(duì),A,的相對(duì)不公平值,則這一席位給,A,單位，否則給,B,單位。,結(jié)論,：,當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給,A,單位，,反之，應(yīng)分配給,B,單位。,記,則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給,Q,值 較大的一方。,這樣的分配席位的方法稱為,Q,值方法,。,若,A,、,B,兩方已占有席位數(shù)為,4,推廣,有,m,方分配席位的情況,設(shè),方,人數(shù)為,，,已占有,個(gè)席位，,當(dāng)總席位增加,1,席時(shí)，計(jì)算,則,1,席應(yīng)分給,Q,值,最大的一方。從
12、,開始，即每方,至少應(yīng)得到以,1,席，（如果有一方,1,席也分不到，則把它排除在外。）,5,舉例,甲、乙、丙三系各有人數(shù),103,，,63,，,34,，有,21,個(gè)席位，如何分配？,按,Q,值方法：,甲,1,乙,1,丙,1,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,甲：,11,，乙：,6,，丙：,4,練習(xí),學(xué)校共,1000,學(xué)生，,235,人住在,A,樓，,333,人住,在,B,樓，,432,住在,C,樓。學(xué)生要組織一個(gè),10,人,委員會(huì)，試用慣例分配方法，,dHondt,方法,和,Q,值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。,dHondt,方法,有,k,個(gè)單位，每單位的人數(shù)為,p,i,，,總席位數(shù)為,n,。,做法：,用自然數(shù),1,2,3,分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前,n,個(gè)，（這,n,個(gè)數(shù)來(lái)自各個(gè)單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這,n,個(gè)數(shù)中哪個(gè)單位有幾個(gè)所分席位就為幾個(gè)。,
初等數(shù)學(xué)建模模型(適用于初級(jí)建模愛好者)(精)
