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1、單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,*,*,*,4-7 能態(tài)密度和費米面,一、能態(tài)密度函數(shù),在單個原子中電子的本征態(tài)形成一系列分立的能級，可以具體標,明各個能級的能量，說明它們的分布情況。而在晶體中電子能級是準,連續(xù)分布的，為了概括這種情況下的能級分布，引入“能態(tài)密度”的概,念。用,表示能量在,之間的狀態(tài)數(shù)，則,能態(tài)密度函數(shù),定義,為：,在三維情況，狀態(tài)在,k,空間分布的密度為：,，能量在,（）,之間對應(yīng)的體積為,，則：,如果已知,，則可以計算出態(tài)密度。,二、費米面,若固體中有,N,個電子，它們的基態(tài)是按泡利原理由低到高填充盡,可能低的,N,個量
2、子態(tài)，設(shè),N,個電子在,k,空間填充半徑為,的球，計及,電子自旋有：,這里,n,為電子密度。,引入自由電子球半徑,，可得,，代入上式有：,為氫原子基態(tài)波爾半徑，假定電子可以,看成自由電子，從而有：,當(dāng)金屬中電子密度,時，,的值在26之間，,費米能量,大約在1.515,eV。,N,個電子填充這些能級中最低的,N,個，有兩種可能：,1、電子恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的。,最,高的滿帶稱為價帶，最低的空帶稱為導(dǎo)帶,，價帶最高能級與導(dǎo)帶最低,能級之間的能量范圍稱為帶隙。這種情況對應(yīng)于絕緣體和半導(dǎo)體。帶,隙寬度大的（大約10,eV）,為,絕緣體,，帶隙寬度小的（1,eV）,為,半導(dǎo)體
3、。,2,、,如果除完全被電子充滿的一系列能帶外，還存在被部分充滿的能,帶，這個被部分充滿的能帶稱為導(dǎo)帶,。這時最高占據(jù)能級稱為,費米能,級。,在每個部分占據(jù)的能帶中，,k,空間都有一個占有電,子和不占有電,子區(qū)域的分界面，所有這些表面的集合就是,費米面,。這種情況對應(yīng),金,屬導(dǎo)體。,4-8,表面電子態(tài),ITamm,于1932年提出晶體存在自由表面時，會在能隙中產(chǎn)生表面電,子態(tài)的能級，這就是通常所說的,Tamm,表面態(tài)。1939年,W.Shockley,又,提出共價晶體的表面懸掛鍵在能隙中產(chǎn)生表面電子態(tài)，這就是通常,所說的,Snockley,表面態(tài)。為了說明金屬半導(dǎo)體接觸勢壘的高度對,金屬功函數(shù)
4、的依賴關(guān)系，,J.Bardeen,于1947年提出在半導(dǎo)體表面存,在密度相當(dāng)大的表面態(tài)，表面態(tài)中,的電荷產(chǎn)生的電勢差對金屬,半,導(dǎo)體接觸勢壘高度有控制作用。直接測定金屬或者半導(dǎo)體的表面電子,態(tài)是,70,年代,XPS(Xray photoelectron spectroscopy),和,UPS(ultraviolet photoelectron spectroscopy),等新技術(shù)發(fā)明以后。,假定表面是理想的，考察晶體表面對電子本征態(tài)的影響。設(shè)晶體表面,以,z=0,為分界面，的區(qū)域為具有周期性勢場 的晶體；的區(qū),域是真空，電子勢能 為一常數(shù)。如下圖。,單電子的薛定諤方程為：,在,的區(qū)域，當(dāng),時,
5、方程的解為：,在,的區(qū)域，方程的解為：,由于周期性勢場在表面處中斷，因此在,表面處附近,可能出現(xiàn)復(fù)波矢,的許可態(tài)：,根據(jù)波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在邊界處連續(xù)的條件以及波函數(shù)有限的要求（設(shè),，當(dāng),時，,保持有限），可以得到表面態(tài)能級：,表面能級對應(yīng)的波矢既然是復(fù)數(shù)，這個能級就不可能在無限晶體的許,可能帶中，只可能位于能隙中。其波函數(shù)在真空中指數(shù)衰減，在晶體,中是衰減的振蕩函數(shù)。這種形式的波函數(shù)稱為迅衰波（,evanescent wave）。,4-9,無序系統(tǒng)中的電子態(tài),在固體系統(tǒng)中無序是指相對于完整晶體中原子排列的高度有序狀,態(tài)的偏離。無序系統(tǒng)大致可以分為：（1）,成分無序,（,compositional
6、,disorder）；(2),拓撲無序,（,topological disorder）。,具有嚴格周期性的有,序晶格是平移不變的，單電子態(tài)可用波,矢量,k,標記并形成能帶，能帶,電子的狀態(tài)由布洛赫函數(shù)表示,所有電子均在有序晶格中作共有化運動，且各格點周圍振幅,相同,，這種狀態(tài)在整個晶體中的擴展特征是長程有序效應(yīng)的反映，因此,布洛赫態(tài)又稱為擴展態(tài)（,extended states,）。,具有擴展態(tài)是有序晶格的,特征。,當(dāng)有序晶格中摻入少量雜質(zhì)后，周期性被局部破壞，這時將有電,子或者空穴被束縛在雜質(zhì)上，并在導(dǎo)帶之下或者價帶之上（能隙區(qū)中）,形成施主和受主能級，這些電子（或者空穴）的波函數(shù)是指數(shù)衰減
7、型,的定域函數(shù)：,稱為定域化長度。這時電子在雜質(zhì),附近作定域化的運動，有別于擴展在整個晶體中的共有化運動，稱為,電子的,定域態(tài),（,localized states,）。,實驗表明,當(dāng)雜質(zhì)濃度增高時，定域,態(tài)的電子能級可能密集成帶，并,與導(dǎo)帶相連接，形成導(dǎo)帶的尾部,（,tail,）,它們對電導(dǎo)率的貢獻很小,。存在定域態(tài)是無序的標志。,對于無序系統(tǒng)的電子態(tài)理論研究有兩種處理方法；其一是對無序系,統(tǒng)作某種平均后近視當(dāng)作有序系統(tǒng)處理，這種方法以相干勢近似為代,表。其二是從無序系統(tǒng)的定域態(tài)出發(fā)，設(shè)計一些無序模型，研究無序,系統(tǒng)與有序系統(tǒng)電子態(tài)的差別，這種方法以安德森的工作為代表。,1、安德遜（,P.W
8、.Anderson）,無序模型,無序系統(tǒng)由于不具有平移對稱性，波矢,k,不再是描述電子狀態(tài)的,好量子數(shù)，必須,從定域態(tài)（或者原子軌道態(tài)）出發(fā)設(shè)計模型,和討論,問題。安德森將緊束縛近似（,TBA,）,方法推廣用于無序系統(tǒng)，,用,旺尼而函數(shù)作為基本函數(shù)把波函數(shù)進行二次量子化展開,，引入,反映,“無序程度”的變化寬度的參量,W,，,而格點,近鄰交疊積分均取相同的,值,V,則表示無序系統(tǒng)的“短程有序”特征,。因此，這個簡化的模型概括,了無序系統(tǒng)的主要特點，由此出發(fā)將便于求得定域化條件和引進,遷移率邊界等新概念。安德森定域化條件為（,E=0,態(tài)）：,（,z,為每個格點的近鄰數(shù)，,e,為自然對數(shù)的底數(shù)）。
9、,2、莫特（,N.F.Mott）,模型,當(dāng)安德森條件不滿足時，三維無序系統(tǒng)中,E=0,態(tài)不滿足收斂條件，,它,不能形成穩(wěn)定的定域態(tài)，仍然是在系統(tǒng)中傳播的擴展態(tài)。莫特指出：,這時在無序系統(tǒng)中既存在擴展態(tài)，也存在定域態(tài)。擴展態(tài)分布在緊束,縛近似能帶的中心，定域態(tài)在帶尾部分，并有一個劃分擴展態(tài)與定域,態(tài)的能量邊界,，如下圖,當(dāng)溫度趨于,0,k,時定域態(tài)中電子遷移率趨于零，而擴展態(tài)中遷移率仍然,為有限值，因此莫特將,E,C,稱為遷移率邊緣。對于任意,E,態(tài)，定域化,條件為：,莫特還進一步提出了安德森轉(zhuǎn)變（,Anderson transition,）,的概念，如果,在,Si,晶體中摻入施主雜質(zhì)磷，由于施主雜質(zhì)的分布是無規(guī)的，就形成,無序系統(tǒng)，,無序性將導(dǎo)致有一個遷移率邊緣，設(shè)導(dǎo)帶中電子的費米能,位于遷移率邊緣之下，此時系統(tǒng)中電子態(tài)都是定域態(tài)，可以認為是一,個“絕緣體”。如果繼續(xù)摻雜，使費米能級通過遷移率邊緣，位于它的,上面，系統(tǒng)將出現(xiàn)“金屬性”，因為在擴展態(tài)上占有電子。這里發(fā)生了,從絕緣體向金屬是轉(zhuǎn)變。,
固體物理第4章能帶理論
