《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案【含解析】新人教A版必修4》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年度高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理學(xué)案【含解析】新人教A版必修4(10頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2.3.1 平面向量基本定理
平面向量基本定理
[提出問(wèn)題]
問(wèn)題1:在物理中,我們學(xué)習(xí)了力的分解,即一個(gè)力可以分解為兩個(gè)不同方向的力,試想:平面內(nèi)的任一向量是否可以分解為其他兩個(gè)向量的和?
提示:可以.
問(wèn)題2:如果e1,e2是兩個(gè)不共線的確定向量,那么與e1,e2在同一平面內(nèi)的任一向量a能否用e1,e2表示?根據(jù)是什么?
提示:可以.根據(jù)是數(shù)乘向量和平行四邊形法則.
問(wèn)題3:如果e1,e2是共線向量,那么向量a能否用e1,e2表示?為什么?
提示:不一定.當(dāng)a與e1共線時(shí)可以表示,否則不能表示.
[導(dǎo)入新知]
平面向量基本定理
條件
e1,e2是同一
2、平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量
結(jié)論
這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2
基底
不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底
[化解疑難]
理解平面向量基本定理應(yīng)關(guān)注的三點(diǎn)
(1)只要是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量都可作為一組基底,所以基底的選取不唯一.
(2)零向量與任一向量都共線,因此零向量不能作為基底.
(3)λ1,λ2是唯一的.
兩向量的夾角
[提出問(wèn)題]
問(wèn)題1:平面中的任意兩個(gè)向量都可以平移至公共起點(diǎn),它們存在夾角嗎?
提示:存在.
問(wèn)題2:若上題中的結(jié)論為存在夾角,向量的夾角與直線的夾角一樣嗎?
提示
3、:不一樣.
[導(dǎo)入新知]
向量的夾角
條件
兩個(gè)非零向量a和b
產(chǎn)生過(guò)程
作向量=a,=b,則∠AOB叫做向量a與b的夾角
范圍
[0,π]
特殊
情況
θ=0
a與b同向
θ=90
a與b垂直,記作a⊥b
θ=180
a與b反向
[化解疑難]
正確理解向量的夾角
(1)向量夾角的幾何表示:
依據(jù)向量夾角的定義,兩非零向量的夾角是將兩個(gè)向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn),這樣它們所成的角才是兩向量的夾角.如圖①②③④⑤,已知兩向量a,b,作=a,=b,則∠AOB為a與b的夾角.
(2)注意事項(xiàng):
①向量的夾角是針對(duì)非零向量定義的.
②向量的夾角和直線
4、的夾角范圍是不同的,它們分別是[0,π]和.
用基底表示向量
[例1] 如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,且AB=2CD,M,N分別是DC,AB的中點(diǎn),若=a,=b,試用a,b表示,,.
[解] 如圖所示,連接CN,則四邊形ANCD是平行四邊形.
則===a;
=-=-=b-a;
=-=--
=--=a-b.
[類題通法]
用基底表示向量的方法
將兩個(gè)不共線的向量作為基底表示其他向量,基本方法有兩種:一種是運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行轉(zhuǎn)化,直至用基底表示為止;另一種是通過(guò)列向量方程或方程組的形式,利用基底表示向量的唯一性求解.
[活學(xué)活用]
5、如圖所示,已知在?ABCD中,E,F(xiàn)分別是BC,
DC邊的中點(diǎn).若=a,=b,試用a,b為基底表示向量,.
答案:=a-b;=b-a
向量夾角的簡(jiǎn)單求解
[例2] 已知|a|=|b|=2,且a與b的夾角為60,則a+b與a的夾角是多少?a-b與a的夾角又是多少?
[解] 如圖所示,作=a,=b,且∠AOB=60.
以,為鄰邊作平行四邊形OACB,則=a+b,=a-b.
因?yàn)閨a|=|b|=2,所以平行四邊形OACB是菱形.又因?yàn)椤螦OB=60,所以與的夾角為30,與的夾角為60.
即a+b與a的夾角是30,a-b與a的夾角是60.
[類題通法]
求兩個(gè)向量夾角的方法
6、
求兩個(gè)向量的夾角,關(guān)鍵是利用平移的方法使兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合,根據(jù)向量夾角的概念確定夾角,再依據(jù)平面圖形的知識(shí)求解向量的夾角.過(guò)程簡(jiǎn)記為“一作二證三算”.
[活學(xué)活用]
如圖,已知△ABC是等邊三角形.
(1)求向量與向量的夾角;
(2)若E為BC的中點(diǎn),求向量與的夾角.
答案:(1)120 (2)90
平面向量基本定理的唯一性及其應(yīng)用
[例3] (1)設(shè)向量e1與e2不共線,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為( )
A.0,0 B.1,1
C.3,0 D.3,4
(2)在?ABCD中,E和F
7、分別是邊CD和BC的中點(diǎn).若=λ+μ,其中λ,μ∈R,求λ+μ的值.
[解] (1)D
(2)設(shè)=a,=b,則=a+b,=b+a,=a+b,所以=λ+μ=λ+μ=b+a=a+b.又因?yàn)閍,b不共線,所以解得λ=μ=,所以λ+μ=.
[類題通法]
1.平面向量基本定理唯一性的應(yīng)用
設(shè)a,b是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,若x1a+y1b=x2a+y2b,則
2.重要結(jié)論
設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,
當(dāng)λ1e1+λ2e2=0時(shí)
恒有λ1=λ2=0
若a=λ1e1+λ2e2
當(dāng)λ2=0時(shí),a與e1共線
當(dāng)λ1=0時(shí),a與e2共線
λ1=λ2=0時(shí),a=0
[活學(xué)活用
8、]
若向量a,b不共線,且c=2a-b,d=3a-2b,試判斷c,d能否作為基底.
答案:c,d能作為基底.
5.平面向量基本定理的應(yīng)用
[典例] (12分)如圖,在△ABC中,點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在邊AC上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求AP∶PM的值.
[解題流程]
[規(guī)范解答]
設(shè)=e1,=e2,
則=+=-3e2-e1,
=+=2e1+e2.(2分)
∵A,P,M和B,P,N分別共線,
∴存在實(shí)數(shù)λ,μ,
使得=λ=-λe1-3λe2,(4分)
=μ=2μe1+μe2.(6分)
故=-=(λ+2μ)e1+(3λ+
9、μ)e2.
而=+=2e1+3e2,(8分)
由平面向量基本定理,
得
解得(10分)
∴=,∴AP∶PM=4∶1.(12分)
[名師批注]
選取恰當(dāng)?shù)幕资墙鉀Q此類問(wèn)題的前提.若不能根據(jù)題意選出基底或設(shè)出基向量,則后續(xù)推導(dǎo)無(wú)法進(jìn)行.
利用A,P,M和B,P,N分別共線建立=λ,=μ是解決本題的關(guān)鍵,也是解決此類問(wèn)題的常用方法.
由平面向量基本定理的唯一性建立關(guān)于λ,μ的方程組,求出λ,μ的值,即可求出與的關(guān)系,進(jìn)而求出AP∶PM的值.
[活學(xué)活用]
如圖,△ABC中,D為BC的中點(diǎn),G為AD的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB,AC于
10、M,N兩點(diǎn),若=x,=y(tǒng),試問(wèn):+是否為定值?
答案:+=4,為定值.
[隨堂即時(shí)演練]
1.設(shè)O是平行四邊形ABCD兩對(duì)角線的交點(diǎn),下列向量組:①與;②與;③與;④與,其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的基底的是( )
A.①② B.①③
C.①④ D.③④
答案:B
2.已知?ABCD中,∠DAB=30,則與的夾角為( )
A.30 B.60
C.120 D.150
答案:D
3.如圖,C,D是△AOB中邊AB的三等分點(diǎn),設(shè)=e1,=e2,以e1,e2為基底來(lái)表示=________,=________.
答案:e1+e2 e1
11、+e2
4.已知e1,e2不共線,且a=ke1-e2,b=e2-e1,若a,b不能作為基底,則k等于________.
答案:1
5.梯形ABCD中,AB∥CD,M,N分別是DA,BC的中點(diǎn),且=k,設(shè)=e1,=e2,以e1,e2為基底表示向量.
答案:=e1+(k-1)e2
[課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)]
一、選擇題
1.如果e1,e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,那么下列說(shuō)法中不正確的是( )
①λe1+μ e2(λ,μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量;
②對(duì)于平面α內(nèi)任一向量a,使a=λe1+μ e2的實(shí)數(shù)對(duì)(λ,μ)有無(wú)窮多個(gè);
③若向量λ1e1+μ1e2與λ2e1+μ2e2共線
12、,則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得λ1e1+μ1e2=λ(λ2e1+μ2e2);
④若實(shí)數(shù)λ,μ使得λe1+μe2=0,則λ=μ=0.
A.①② B.②③
C.③④ D.②
答案:B
2.已知e1,e2是表示平面內(nèi)所有向量的一組基底,那么下面四組向量中,不能作為一組基底的是( )
A.e1,e1+e2
B.e1-2e2,e2-2e1
C.e1-2e2,4e2-2e1
D.e1+e2,e1-e2
答案:C
3.如圖,在矩形ABCD中,若=5e1,=3e2,則=( )
A.(5e1+3e2)
B.(5e1-3e2)
C.(3e2-5e1)
D.(5
13、e2-3e1)
答案:A
4.AD與BE分別為△ABC的邊BC,AC上的中線,且=a,=b,則=( )
A.a+b B.a+b
C.a-b D.-a+b
答案:B
5.A,B,O是平面內(nèi)不共線的三個(gè)定點(diǎn),且=a,=b,點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為Q,點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為R,則PR―→等于( )
A.a(chǎn)-b
B.2(b-a)
C.2(a-b)
D.b-a
答案:B
二、填空題
6.已知非零向量a,b,c滿足a+b+c=0,向量a,b的夾角為120,且|b|=2|a|,則向量a與c的夾角為_(kāi)_______.
答案:90
7.如圖,在△ABC中,AB=2,BC=3
14、,∠ABC=60,AH⊥BC于點(diǎn)H,M為AH的中點(diǎn).若=λ+μ,則λ+μ=________.
答案:
8.設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則向量e1+e2可以表示為另一組基向量a,b的線性組合,即e1+e2=________.
答案:a-b
三、解答題
9.設(shè)e1,e2是不共線的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)證明:a,b可以作為一組基底;
(2)以a,b為基底,求向量c=3e1-e2的分解式;
(3)若 4e1-3e2=λa+μb,求λ,μ的值.
解:(1)證明:若a,b共線,則存在λ∈R,使a=λb,
15、則e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共線,得?
∴λ不存在,故a與b不共線,可以作為一組基底.
(2)設(shè)c=ma+nb(m,n∈R),則
3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
∴?
∴c=2a+b.
(3)由4e1-3e2=λa+μb,得
4e1-3e2=λ(e1-2e2)+μ(e1+3e2)
=(λ+μ)e1+(-2λ+3μ)e2.
∴?
故所求λ,μ的值分別為3和1.
10.如圖,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E、F分別是DC、AB的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,試用a,b表示,,.
解:∵DC∥AB,AB=2DC,E、F分別是DC、AB的中點(diǎn),
∴==a,===b.
=++
=--+
=-b-a+b=b-a.
11.如圖,平面內(nèi)有三個(gè)向量,,,其中與的夾角為120,與的夾角為30,且||=||=1,
||=2,若=λ+μ (λ,μ∈R),求λ+μ的值.
解:如圖,以O(shè)A,OB所在射線為鄰邊,OC為對(duì)角線作平行四邊形ODCE,則=+.
在Rt△OCD中,
∵||=2,
∠COD=30,∠OCD=90,
∴||=4,||=2,
故=4,=2,
即λ=4,μ=2,
∴λ+μ=6.
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