五年高考高考數(shù)學(xué)真題專題歸納 專題07 平面向量（含解析）理-人教高三全冊(cè)數(shù)學(xué)試題

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1、專題07 平面向量 【2020年】 1.（2020·新課標(biāo)Ⅲ）已知向量a，b滿足，，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，，. ， 因此，. 2.（2020·山東卷）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則 的取值范用是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 的模為2，根據(jù)正六邊形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范圍是， 結(jié)合向量數(shù)量積的定義式， 可知等于的模與在方向上的投影的乘積， 所以的取值范圍是， 3.（2020·北京卷）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿足，則___

2、______；_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)、、、， ， 則點(diǎn)，，， 因此，，. 4.（2020·天津卷）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________． 【答案】 (1). (2). 【解析】 ，，， ， 解得， 以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系， , ∵，∴的坐標(biāo)為, ∵又∵,則，設(shè)，則（其中）， ，， ， 所以

3、，當(dāng)時(shí)，取得最小值. 5.（2020·浙江卷）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______． 【答案】 【解析】， ， ， . 6.（2020·江蘇卷）在△ABC中，D在邊BC上，延長(zhǎng)AD到P，使得AP=9，若（m為常數(shù)），則CD的長(zhǎng)度是________． 【答案】 【解析】∵三點(diǎn)共線， ∴可設(shè)， ∵， ∴，即， 若且，則三點(diǎn)共線， ∴，即， ∵，∴， ∵,,， ∴， 設(shè)，，則，. ∴根據(jù)余弦定理可得，， ∵， ∴，解得， ∴的長(zhǎng)度為. 當(dāng)時(shí)， ，重合，此時(shí)的長(zhǎng)度為， 當(dāng)時(shí)，，重合，此時(shí)，不合題意，舍去. 7.（2

4、020·新課標(biāo)Ⅱ）已知單位向量a，b的夾角為45°，ka–b與a垂直，則k=__________. 【答案】 【解析】由題意可得：， 由向量垂直的充分必要條件可得：， 即：，解得：. 8.（2020·新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)為單位向量，且，則______________. 【答案】 【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，所? 所以 解得： 所以 【2019年】 1．【2019年高考全國(guó)I卷理數(shù)】已知非零向量a，b滿足，且b，則a與b的夾角為 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因?yàn)閎，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B． 2．【2019年高考全國(guó)I

5、I卷理數(shù)】已知=(2,3)，=(3，t)，=1，則· = A．?3 B．?2 C．2 D．3 【答案】C 【解析】由=—=（1，t-3），，得，則，．故選C． 3．【2019年高考北京卷理數(shù)】設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】與的夾角為銳角，所以，即 ，因?yàn)椋詜+|>||； 當(dāng)|+|>||成立時(shí)，|+|2>|-|2?>0，又因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C

6、． 4．【2019年高考全國(guó)III卷理數(shù)】已知a，b為單位向量，且a·b=0，若，則___________. 【答案】 【解析】因?yàn)?，? 所以， ，所以， 所以 ． 5．【2019年高考天津卷理數(shù)】在四邊形中，，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，則_____________． 【答案】 【解析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，∠DAB=30°，則，. 因?yàn)椤危?，所以? 因?yàn)?，所以? 所以直線的斜率為，其方程為， 直線的斜率為，其方程為. 由得，， 所以. 所以. 6．【2019年高考江蘇卷】如圖，在中，D是BC的中點(diǎn)，E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于點(diǎn).若，則的

7、值是_____. 【答案】. 【解析】如圖，過點(diǎn)D作DF//CE，交AB于點(diǎn)F，由BE=2EA，D為BC的中點(diǎn)，知BF=FE=EA,AO=OD． ， ， 得即故 【2018年】 1．【2018·全國(guó)I卷 】在中，為邊上的中線，為的中點(diǎn)，則 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，可得 ，所以. 故選A. 2．【2018·全國(guó)II卷 】已知向量，滿足，，則 A．4 B．3 C．2 D．0 【答案】B 【解析】因?yàn)樗赃xB. 3．（2018·浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量．若非

8、零向量a與e的夾角為，向量b滿足b2?4e·b+3=0，則|a?b|的最小值是 A．?1 B．+1 C．2 D．2? 【答案】A 【解析】設(shè)，則由得， 由b2?4e·b+3=0得因此|a?b|的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A. 4．【2018·天津卷 】如圖，在平面四邊形ABCD中，若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】連接AD,取AD中點(diǎn)為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，. 設(shè) = 所以當(dāng)時(shí)，上式取最大值，故選A. 5．【201

9、8·北京卷 】設(shè)a，b均為單位向量，則“”是“a⊥b”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】C 【解析】，因?yàn)閍，b均為單位向量，所以 a⊥b，即“”是“a⊥b”的充分必要條件.故選C. 6．【2018·全國(guó)III卷 】已知向量，，．若，則___________． 【答案】 【解析】由題可得，，，，即，故答案為. 7．【2018·上海卷】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，、是軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為___________． 【答案】-3 【解析】根據(jù)題意，設(shè)E（0，a），F(xiàn)（0，b）；

10、∴； ∴a=b+2，或b=a+2； 且； ∴； 當(dāng)a=b+2時(shí)，； ∵b2+2b﹣2的最小值為； ∴的最小值為﹣3，同理求出b=a+2時(shí)，的最小值為﹣3． 故答案為：﹣3． 8．【2018·江蘇卷】在平面直角坐標(biāo)系中，為直線上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以為直徑的圓與直線交于另一點(diǎn)．若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________． 【答案】3 【解析】設(shè)，則由圓心為中點(diǎn)得易得，與聯(lián)立解得點(diǎn)的橫坐標(biāo)所以.所以， 由得或， 因?yàn)?，所? 【2017年】 1．【2017·全國(guó)III卷 】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為

11、A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系. 設(shè)， 易得圓的半徑，即圓C的方程是， ，若滿足， 則 ，，所以， 設(shè)，即，點(diǎn)在圓上， 所以圓心到直線的距離，即，解得， 所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A． 2．【2017·全國(guó)II卷 】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系， 則，，，設(shè)，所以，，

12、，所以，，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B． 3．【2017·北京卷 】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的 A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【答案】A 【解析】若，使，則兩向量反向，夾角是，那么 ；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件，故選A. 4．【2017·全國(guó)I卷 】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2b |=___________． 【答案】 【解析】方法一：， 所以. 方法二：利用如下圖形，可以判斷出的模長(zhǎng)是以2為邊長(zhǎng)

13、，一夾角為60°的菱形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，則為. 5．【2017·江蘇卷】如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量，，的模分別為1，1，，與的夾角為，且=7，與的夾角為45°．若，則___________． 【答案】3 【解析】由可得，，根據(jù)向量的分解， 易得，即，即，即得， 所以． 6．【2017·天津卷】在中，，，．若， ，且，則的值為___________． 【答案】 【解析】由題可得， 則． 7．【2017·山東卷 】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是___________． 【答案】 【解析】∵， ， ， ，解得． 8．【2017·浙江卷】已

14、知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是___________． 【答案】4， 【解析】設(shè)向量的夾角為，則， ， 則， 令，則， 據(jù)此可得：， 即的最小值是4，最大值是． 【2016年】 1.【2016高考山東理數(shù)】已知非零向量m，n滿足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），則實(shí)數(shù)t的值為（ ） （A）4 （B）–4 （C） （D）– 【答案】B 【解析】由，可設(shè)，又， 所以, 所以，故選B. 2.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（ ） （A）－8

15、 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量，由得，解得，故選D. 3.【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】已知向量 ， ，則（ ） (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】由題意，得，所以，故選A． 4.【2016年高考北京理數(shù)】設(shè)，是向量，則“”是“”的（ ） A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 【答案】D 【解析】由，故

16、是既不充分也不必要條件，故選D. 5.【2016高考天津理數(shù)】已知△ABC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接 并延長(zhǎng)到點(diǎn)，使得，則的值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】設(shè)，，∴，， ，∴，故選B. 6.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足 ==,===-2，動(dòng)點(diǎn)P，M滿足 =1，=，則的最大值是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又 ，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)

17、的距離的平方的，，故選B. 7.【2016高考新課標(biāo)1卷】設(shè)向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m= . 【答案】－2 【解析】由,得,所以,解得. 8.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則 的值是 ▲ . 【答案】 【解析】因?yàn)椋? ， 因此， 9.【2016高考浙江理數(shù)】已知向量a、b, ｜a｜ =1，｜b｜ =2，若對(duì)任意單位向量e，均有 ｜a·e｜+｜b·e｜ ,則a·b的最大值是 ． 【答案】 【解析】 ，即最大值為