高等代數(shù)與解析幾何 第八章課件

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1、水 桶 的 表 面 、 臺(tái) 燈 的 罩 子 面 等 曲 面 在 空 間 解 析 幾 何 中 被 看 成 是 點(diǎn) 的 幾 何 軌跡 曲 面 方 程 的 定 義 ： 如 果 曲 面 S與 三 元 方 程 0),( zyxF 有 下 述 關(guān) 系 ： （ 1） 曲 面 S上 任 一 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 滿 足 方 程 ；（ 2） 不 在 曲 面 S上 的 點(diǎn) 的 坐 標(biāo) 都 不 滿 足 方 程 ；那 么 ， 方 程 0),( zyxF 就 叫 做 曲 面 S 的 方 程 ，而 曲 面 S就 叫 做 方 程 的 圖 形 曲 面 的 實(shí) 例 ： 8.1 曲 面 的 方 程 下 一 頁 返 回 設(shè) ),(

2、zyxM 是 所 求 平 面 上 任 一 點(diǎn) ，根 據(jù) 題 意 有 |,| MBMA 222 321 zyx ,412 222 zyx化 簡 得 所 求 方 程 .07262 zyx解 上 一 頁 下 一 頁 返 回 例 2 求 與 原 點(diǎn) O及 )4,3,2(0M 的 距 離 之 比 為 2:1的 點(diǎn) 的 全 體 所 組 成 的 曲 面 方 程 . 解 設(shè) ),( zyxM 是 曲 面 上 任 一 點(diǎn) ，,21| | 0 MMMO根 據(jù) 題 意 有 ,21432 222 222 zyx zyx .911634132 222 zyx所 求 方 程 為 上 一 頁 下 一 頁 返 回 以 下 給

3、 出 幾 例 常 見 的 曲 面 .解 設(shè) ),( zyxM 是 球 面 上 任 一 點(diǎn) ，RMM | 0根 據(jù) 題 意 有 Rzzyyxx 202020 2202020 Rzzyyxx 所 求 方 程 為特 殊 地 ： 球 心 在 原 點(diǎn) 時(shí) 方 程 為 2222 Rzyx 上 一 頁 下 一 頁 返 回 得 上 、 下 半 球 面 的 方 程 分 別 是 ： 202020 202020 )()( )()( yyxxRzz yyxxRzz 當(dāng) A 2+B2+C2-4D 0 時(shí) , 是 球 面 方 程 . 2202020 Rzzyyxx 由由 上 述 方 程 可 得 球 面 的 一 般 式 方

4、 程 為 ：反 之 ， 由 一 般 式 方 程 （ *） ， 經(jīng) 過 配 方 又 可 得 到 ：x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0 （ *）(x+A/2) 2+(y+B/2)2+(z+C/2)2=(A2+B2+C2-4D)/4上 一 頁 下 一 頁 返 回 zx yo例 4 方 程 的 圖 形 是 怎 樣 的 ？1)2()1( 22 yxz根 據(jù) 題 意 有 1z 用 平 面 cz 去 截 圖 形 得 圓 ： )1(1)2()1( 22 ccyx 當(dāng) 平 面 cz 上 下 移 動(dòng) 時(shí) ， 得 到 一 系 列 圓圓 心 在 ),2,1( c ， 半 徑 為 c

5、1 半 徑 隨 c的 增 大 而 增 大 . 圖 形 上 不 封 頂 ， 下 封 底 解 c以 上 方 法 稱 為 截 痕 法 . 上 一 頁 下 一 頁 返 回 以 上 幾 例 表 明 研 究 空 間 曲 面 有 兩 個(gè) 基 本 問 題 ：（ 2） 已 知 坐 標(biāo) 間 的 關(guān) 系 式 ， 研 究 曲 面 形 狀 （ 討 論 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 ）（ 討 論 柱 面 、 二 次 曲 面 ）（ 1） 已 知 曲 面 作 為 點(diǎn) 的 軌 跡 時(shí) ， 求 曲 面 方 程 上 一 頁 返 回 0),( 0),( zyxG zyxF空 間 曲 線 的 一 般 方 程 曲 線 上 的 點(diǎn) 都 滿 足方 程 ，

6、 不 在 曲 線 上 的 點(diǎn) 不能 同 時(shí) 滿 足 兩 個(gè) 方 程 . x oz y1S 2SC空 間 曲 線 C可 看 作 空 間 兩 曲 面 的 交 線 .特 點(diǎn) ： 下 一 頁 返 回 空 間 曲 線 的 方 程 例 1 方 程 組 表 示 怎 樣 的 曲 線 ？ 632 122 zx yx解 122 yx 表 示 圓 柱 面 ， 632 zx 表 示 平 面 ， 632 122 zx yx 交 線 為 橢 圓 . 上 一 頁 下 一 頁 返 回 例 2 方 程 組 4)2( 222 222 ayax yxaz解 222 yxaz 上 半 球 面 , 4)2( 222 ayax 圓 柱

7、面 ,交 線 如 圖 . 表 示 怎 樣 的 曲 線 ？ 上 一 頁 返 回 )( )( )(tzz tyy txx 當(dāng) 給 定 1tt 時(shí) ， 就 得 到 曲 線 上 的 一 個(gè) 點(diǎn)),( 111 zyx ， 隨 著 參 數(shù) 的 變 化 可 得 到 曲 線 上 的 全 部 點(diǎn) . 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程二 、 空 間 曲 線 的 參 數(shù) 方 程 下 一 頁 返 回 動(dòng) 點(diǎn) 從 A點(diǎn) 出發(fā) ， 經(jīng) 過 t時(shí) 間 ， 運(yùn) 動(dòng) 到 M點(diǎn) A MM M 在 xoy面 的 投 影 )0,( yxMtax cos tay sinvtzt 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程 取 時(shí) 間 t為 參

8、數(shù) ，解 x yzo 上 一 頁 下 一 頁 返 回 螺 旋 線 的 參 數(shù) 方 程 還 可 以 寫 為 bz ay ax sincos ),( vbt 螺 旋 線 的 重 要 性 質(zhì) ： ,: 00 ,: 00 bbbz 上 升 的 高 度 與 轉(zhuǎn) 過 的 角 度 成 正 比 即 上 升 的 高 度 bh 2 螺 距 ,2 上 一 頁 返 回 觀 察 柱 面 的 形成 過 程 : 定 義 4.1.1 平 行 于 定 直 線 并 沿 定 曲 線 移 動(dòng)的 直 線 所 形 成 的 曲 面 稱 為 柱 面 .這 條 定 曲 線 叫柱 面 的 準(zhǔn) 線 ，動(dòng) 直 線 叫 柱 面的 母 線 . 母 線準(zhǔn)

9、線上 一 頁 下 一 頁 返 回 8.2.1 柱 面 柱 面 舉 例 ：x oz y x oz yyx 22 拋 物 柱 面 xy平 面 yx 22 xy拋 物 柱 面 方 程 ： 平 面 方 程 ： ),( zyxM )0,(1 yxM 上 一 頁 下 一 頁 返 回 從 柱 面 方 程 看 柱 面 的 特 征 ： 只 含 yx, 而 缺 z的 方 程 0),( yxF ， 在空 間 直 角 坐 標(biāo) 系 中 表 示 母 線 平 行 于 z 軸 的 柱面 ， 其 準(zhǔn) 線 為 xoy面 上 曲 線 C: 0),( yxF . （ 其 他 類 推 ）實(shí) 例 12222 czby 橢 圓 柱 面 ，

10、 x12222 byax 雙 曲 柱 面 ， zpzx 22 拋 物 柱 面 ， y母 線 / 軸母 線 / 軸母 線 / 軸 上 一 頁 下 一 頁 返 回 1. 橢 圓 柱 面 12222 byaxx yzO 2. 雙 曲 柱 面 12222 byaxx oz y 上 一 頁 返 回 12222 byax a bzx yo橢 圓 上 一 頁 下 一 頁 返 回 zx y = 0 y12222 bzax o 雙 曲 上 一 頁 下 一 頁 返 回 pxy 22 z xyo拋 物 上 一 頁 返 回 定 義 4.2.1 通 過 一 定 點(diǎn) 且 與 定 曲 線 相 交 的 一族 直 線 所 產(chǎn)

11、生 的 曲 面 叫 做 錐 面 .這 些 直 線 都 叫 做 錐 面 的 母 線 .那 個(gè) 定 點(diǎn) 叫 做 錐 面 的 頂 點(diǎn) .錐 面 的 方 程 是 一 個(gè) 三 元 方 程 .特 別 當(dāng) 頂 點(diǎn) 在 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 時(shí) ： 8.2.2 錐 面 下 一 頁 返 回 n次 齊 次 方 程 F(x,y,z)= 0 的 圖 形 是 以 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面 ；方 程 F(x,y,z)= 0是 n次 齊 次 方 程 ： ).,(),( zyxFttztytxF n若 準(zhǔn) 線 頂 點(diǎn)F(x,y,z)= 0. 反 之 ， 以 原點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面的 方 程 是 n次 齊 次方 程 錐

12、面 是 直 紋 面 x 0z y 錐 面 的 準(zhǔn) 線 不唯 一 ， 和 一 切 母 線都 相 交 的 每 一 條 曲線 都 可 以 作 為 它 的母 線 .上 一 頁 下 一 頁 返 回 設(shè) 錐 面 S的 頂 點(diǎn) 在 原 點(diǎn) O ， 準(zhǔn) 線 為 曲 線 cz zyF 0),(設(shè) 錐 面 S的 方 程 為 0)/,/( zcyzcxF 0222222 czbyax橢 圓 錐 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 n二 次 錐 面 當(dāng) h 0 時(shí) ， 該 交 線 是 橢 圓 ；當(dāng) h = 0 時(shí) ， 該 交 線 是 原 點(diǎn) 。所 以 ， 二 次 錐 面 也 叫 橢 圓 錐 面 。 P LCx yzO

13、設(shè) L 為 已 知 空 間 曲 線 , P 為 已 知 平 面三 、 空 間 曲 線 在 坐 標(biāo) 面 上 的 投 影則 以 L 為 準(zhǔn) 線 ， 垂 直 于 P 的 直 線為 母 線 的 柱 面 稱 為 L 關(guān) 于 P 的 投 影柱 面投 影 柱 面 與 平 面 P 的 交 線 C 稱為 曲 線 L 在 平 面 P 上 的 投 影 曲 線 .特 別 是 以 L 為 準(zhǔn) 線 ， 母 線 平 行 于 z 軸 的 柱 面 稱 為 L 關(guān) 于 xoy面 的投 影 柱 面 , 曲 線 C 稱 為 L 在 xoy上 的 投 影 曲 線 . 0),( 0),( zyxG zyxF 中 消 去 變 量 z ,得

14、 ：在 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 ：曲 線 L 在 xoy 面 上 的 投 影 柱 面 H(x,y) = 0曲 線 中 消 去 變 量 得 ：在 空 間 曲 線 的 一 般 方 程 ： 0 0),(z yxH 類 似 地 ： 空 間 曲 線 在 0 0),(x zyR 0 0),(y zxT面 上 的 投 影 曲 線yoz面 上 的 投 影 曲 線 ,xoz 0),( 0),( zyxG zyxF問 題 :各 個(gè) 投 影 柱 面 方 程 是 什 么 ?理 由 是 什 么 ?曲 線 必 在 柱 面 上 ;柱 面 必 包 含 曲 線 2 2 22 2 21,: ( 1) ( 1) 1x

15、y zC x y z 例 求 二 球 面 的 交 線在 xo y 坐 標(biāo) 面 上 的 投 影 曲 線 方 程 .解 這 就 是 消 去 z后 所 得 在 xoy 坐 標(biāo) 面 的 投 影 柱 面 方 程 ，因 而 曲 線 C 在 xo y 坐 標(biāo) 面 上 的投 影 曲 線 是 橢 圓 . 22 1( )2 11 12 40 yxz 把 x2+ y 2+z2 =1 代 入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 y+z=1把 y+z=1 代 入 x2+(y -1)2+(z -1) 2=1,得 x2 +2y 2 -2y =0zx y 例 . ,)(3 4, 22 22面 上 的 投 影 求

16、它 在錐 面 所 圍 成和 由 上 半 球 面設(shè) 一 個(gè) 立 體 xoyyxz yxz 解 半 球 面 和 錐 面 的 交 線 為 ,)(3 ,4: 22 22 yxz yxzC ,122 yxz得 投 影 柱 面消 去 zx yo 1C面 上 的 投 影 為在則 交 線 xoyC .0 ,122z yx圓面 上 的 投 影 為所 求 立 體 在 xoy .122 yx yyx zyx 8 ,64: 22 222例 求 曲 線在 xoy, y0z 坐 標(biāo) 面 上 的 投 影 曲 線 的 方 程 .yyx 822 解 關(guān) 于 xo y 坐 標(biāo) 面 的 投 影柱 面 方 程因 而 曲 線 在 xo

17、 y 坐標(biāo) 面 上 的 投 影 曲 線 是 圓 . .0 ,8 22z yyx消 x得 到 曲 線 關(guān) 于 yoz 坐 標(biāo) 面 的投 影 柱 面 的 方 程 .6482 yz 在 y oz 坐 標(biāo) 面 的 投 影 曲 線 是 一 段 拋 物 線 2 8 64, 0 80z y yx 得 x2 + y2 3x 5y = 0 ， 在 xo y 坐 標(biāo) 面上 的 投 影 曲 線 的 方 程 .例 求 曲 線 053: 22 zyx yxz解 從 曲 線 的 方 程 中 消 去 z ， 即 ,217)25()23( 22 yx它 是 曲 線 關(guān) 于 x oy 坐 標(biāo) 面 的投 影 柱 面 圓 柱 面

18、的 方 程 ， 在 xo y 坐 標(biāo) 面 上 投 影 曲 線 是 圓 . .0 ,217)25()23( 22z yx 投 影 曲 線 的 研 究 過 程 .空 間 曲 線 投 影 曲 線投 影 柱 面消 元 4 空 間 立 體 或 曲 面 在 坐 標(biāo) 面 上 的 投 影空間立體曲面 思 考 題 求 橢 圓 拋 物 面 zxy 222 與 拋 物 柱 面zx 22 的 交 線 關(guān) 于 xoy面 的 投 影 柱 面 和 在 xoy面 上 的 投 影 曲 線 方 程 . 解 答 ,22 2 22 zx zxy交 線 方 程 為 消 去 z得 投 影 柱 面 ,122 yx在 面 上 的 投 影 為

19、xoy .0 122 z yx 定 義 4.3.1 以 一 條 曲 線 繞 其 一 條 定 直 線 旋轉(zhuǎn) 一 周 所 產(chǎn) 生 的 曲 面 稱 為 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 或 稱 回 旋曲 面 .這 條 定 直 線 叫 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 旋 轉(zhuǎn) 軸 這 條 曲 線 叫 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 母 線 8.3 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 下 一 頁 返 回 曲 線 C 0 0),(x zyf C y zo繞 z軸 上 一 頁 下 一 頁 返 回 曲 線 C 0 0),(x zyf x C y zo繞 z軸. 上 一 頁 下 一 頁 返 回 曲 線 C 0 0),(x zyf旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 S CS

20、M N ),0( 11 zy zz 1 z PMPy | 1 1y1z y zo繞 z軸 . 22 yx f (y1, z1)=0M(x,y,z) .x S上 一 頁 下 一 頁 返 回 曲 線 C 0 0),(x zyf旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 S x CS M N ),0( 11 zyzz 1 z PMPy | 1 1y1z0),( 22 zyxfS： . 繞 z軸 . 22 yx f (y1, z1)=0M(x,y,z)f , 1) .y zo S 上 一 頁 下 一 頁 返 回 x oz y 0),( zyf ),0( 111 zyMM),( zyxM設(shè) 1)1( zz（ 2

21、） 點(diǎn) M到 z軸 的 距 離| 122 yyxd 建 立 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 ：如 圖將 代 入2211, yxyzz 0),( 11 zyfd ,0,22 zyxf得 方 程上 一 頁 下 一 頁 返 回 ,0,22 zyxf方 程 同 理 ： yoz坐 標(biāo) 面 上 的 已 知 曲 線 0),( zyf繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 為 .0, 22 zxyf 上 一 頁 下 一 頁 返 回 例 1 將 下 列 各 曲 線 繞 對(duì) 應(yīng) 的 軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 ， 求生 成 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 方 程 （ 1） xOz面 上 雙 曲 線 12222 czax

22、 分 別 繞 x 軸 和 z 軸 ； 繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zyax旋 轉(zhuǎn) 雙 葉 雙 曲 面 y zoxy zox 上 一 頁 下 一 頁 返 回 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 1222 22 cza yx （ 1） xOz面 上 雙 曲 線 12222 czax 分 別 繞 x軸 和 z軸 ； xyoz xyoz 旋 轉(zhuǎn) 單 葉 雙 曲 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 （ 2） yOz面 上 橢 圓 12222 czay 繞 y軸 和 z軸 ； 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 繞 z軸 旋 轉(zhuǎn) 12 2222 c zxay 1222 22 cza yx旋轉(zhuǎn)橢球面 x yzx yz 上 一 頁 下

23、 一 頁 返 回 （ 3） yOz面 上 拋 物 線 pzy 22 繞 z軸 ； pzyx 222 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面x yzo x yzo 0p上 一 頁 下 一 頁 返 回 幾 種 特 殊 旋 轉(zhuǎn) 曲 面v 1 雙 葉 旋 轉(zhuǎn) 曲 面v 2 單 葉 旋 轉(zhuǎn) 曲 面v 3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面v 4 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面v 5 環(huán) 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 x z byax 雙 曲 線 0 y1 繞 x 軸 一 周 上 一 頁 下 一 頁 返 回 x z byax 雙 曲 線 0 zy繞 x 軸 一 周1 上 一 頁 下 一 頁 返 回 x0 zy 得 雙 葉 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 1 2

24、2222 b zyax . z byax 雙 曲 線1 . 繞 x 軸 一 周 上 一 頁 下 一 頁 返 回 a xyo2 上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax 上 一 頁 下 一 頁 返 回 a xyoz上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax 2 上 一 頁 下 一 頁 返 回 a. xyoz 得 單 葉 旋 轉(zhuǎn) 雙 曲 面 1222 22 bya zx . .2 上 題 雙 曲 線繞 y 軸 一 周 0 12222 z byax 上 一 頁 下 一 頁 返 回 0 0 2222 =z =byax3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面兩 條 相 交 直

25、 線繞 x 軸 一 周 x yo 上 一 頁 下 一 頁 返 回 0 0 2222 =z =byax . 兩 條 相 交 直 線繞 x 軸 一 周 x yo z3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 x yo z 0 0 2222 =z =byax . 兩 條 相 交 直 線繞 x 軸 一 周得 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 0 2 2222 b zyax . 3 旋 轉(zhuǎn) 錐 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 yoz 02 x azy 4 拋 物 線 繞 z 軸 一 周 上 一 頁 下 一 頁 返 回 yox z 02 x azy拋 物 線 繞 z 軸 一 周 4 上 一 頁 下 一 頁 返

26、回 y a yxz 22 . ox z . 4 02 x azy拋 物 線 繞 z 軸 一 周 得 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 5 y xo rR)0() 222 rRryRx（ 圓 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 5 z 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面y xo . )0() 222 rRryRx（ 圓 上 一 頁 下 一 頁 返 回 5 z 繞 y軸 旋 轉(zhuǎn) 所 成 曲 面 22222 )( ryRzx 環(huán) 面 方 程 . 生 活 中 見 過 這 個(gè) 曲 面 嗎 ？y xo )(4)( 222222222 zxRrRzyx 或 .

27、. )0() 222 rRryRx（ 圓 上 一 頁 下 一 頁 返 回 二 次 曲 面 的 定 義 ：三 元 二 次 方 程 所 表 示 的 曲 面 稱 之 為 二 次 曲 面 相 應(yīng) 地 平 面 被 稱 為 一 次 曲 面 討 論 二 次 曲 面 形 狀 的 截 痕 法 ： 用 坐 標(biāo) 面 和 平 行 于 坐 標(biāo) 面 的 平 面 與 曲 面相 截 ， 考 察 其 交 線 （ 即 截 痕 ） 的 形 狀 ， 然 后加 以 綜 合 ， 從 而 了 解 曲 面 的 全 貌 以 下 用 截 痕 法 討 論 幾 種 特 殊 的 二 次 曲 面 二 次 曲 面 下 一 頁 返 回 1 222222 c

28、zbyax截 痕 法用 z = h截 曲 面用 y = m截 曲 面用 x = n截 曲 面 a bc yx zo橢 球 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 橢 球 面 的 方 程 o z yx1222222 czbyax 橢 球 面 與三 個(gè) 坐 標(biāo) 面的 交 線 ： ,0 12222 y czax .0 12222 x czby ,0 12222 z byax 橢 球 面 上 一 頁 下 一 頁 返 回 橢 圓 截 面 的 大 小 隨 平 面 位 置 的 變 化 而 變 化 .橢 球 面 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓1zz同 理 與 平 面 和 的 交 線 也 是 橢 圓 .1xx

29、1yy 1 21222 221222 2 1)()(zz zccb yzcca x cz | 1上 一 頁 下 一 頁 返 回 橢 球 面 的 幾 種 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 0 12222y czax由 橢 圓 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 z旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面 與 橢 球 面 的 區(qū) 別 ： 1222 22 cza yx方 程 可 寫 為與 平 面 的 交 線 為 圓 .1zz )|( 1 cz 上 一 頁 下 一 頁 返 回 ,)2( cba 1222222 azayax 球 面.2222 azyx .)(1 2122222 zz z

30、ccayx截 面 上 圓 的 方 程方 程 可 寫 為 上 一 頁 返 回 單 葉 雙 曲 面1222222 czbyax（ 1） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截 截 得 中 心 在 原 點(diǎn) )0( zxoy的 橢 圓)0,0,0(O 0 12222z byax一 、 單 葉 雙 曲 面 雙 曲 面 下 一 頁 返 回 與 平 面 的 交 線 為 橢 圓 .1zz 當(dāng) 變 動(dòng) 時(shí) ， 這 種 橢圓 的 中 心 都 在 軸 上 .1z z 1 2212222 1zz czbyax（ 2） 用 坐 標(biāo) 面 與 曲 面 相 截)0( yxoz截 得 中 心 在 原 點(diǎn) 的 雙 曲 線 . 0 1

31、2222y czax 實(shí) 軸 與 軸 相 合 ，虛 軸 與 軸 相 合 .xz 上 一 頁 下 一 頁 返 回 單 葉 雙 曲 面 圖 形 x yoz（ 3） 用 坐 標(biāo) 面 ， 與 曲 面 相 截)0( xyoz均 可 得 雙 曲 線 . 上 一 頁 下 一 頁 返 回 二 、 雙 葉 雙 曲 面 1222222 czbyax 雙 葉 雙 曲 面x yoz 上 一 頁 下 一 頁 返 回 1222222 czbyax 1222222 czbyax 0222222 czbyax單 葉 ：雙 葉 ： y x zo 在 平 面 上 ， 雙 曲 線 有 漸 進(jìn) 線 。 相 仿 ， 單 葉 雙 曲 面

32、 和 雙 葉 雙 曲 面有 漸 進(jìn) 錐 面 。 用 z=h去 截 它 們 ， 當(dāng) |h|無 限 增 大時(shí) ， 雙 曲 面 的 截 口 橢 圓 與 它 的 漸 進(jìn) 錐面 的 截 口 橢 圓 任 意 接 近 ， 即 ：雙 曲 面 和 錐 面 任 意 接 近 。漸 進(jìn) 錐 面 ： 錐上 一 頁 返 回 2.二 次 曲 線 方 程 的 化 簡 和 分 類 定 理 5.6.1 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 二 次 曲 線 的 方 程總 可 以 化 成 下 列 三 個(gè) 簡 化 方 程 中 的 一 個(gè) ：.0,0)( ;0,02)( ;0,0)( 2233222 132213222 22113322221

33、1 aayaIII aaxayaII aaayaxaI 定 理 5.6.2 通 過 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 二 次 曲 線 的方 程 總 可 以 寫 成 下 面 九 種 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 一 種 形 式 ：)(11 2222 橢 圓 byax上 一 頁 下 一 頁 返 回 )(13 2222 雙 曲 線byax )(04 2222 虛 直 線點(diǎn) 或 相 交 于 實(shí) 點(diǎn) 的 共 軛 byax )(05 2222 兩 相 交 直 線byax )(26 2 拋 物 線pxy )(7 22 兩 平 行 直 線ay )(8 22 兩 平 行 共 軛 虛 直 線ay )(09 2 兩 重 合 直

34、 線y )(12 2222 虛 橢 圓 byax 上 一 頁返 回 n曲 面 和 曲 線 的 一 般 方 程 n球 面 及 其 方 程n柱 面 及 其 方 程 ( , ) 00f x yz n旋 轉(zhuǎn) 曲 面 方 程 2 2( , ) 0f x y z n橢 球 面 截 痕 法 n二 次 錐 面 當(dāng) h 0 時(shí) ， 該 交 線 是 橢 圓 ；當(dāng) h = 0 時(shí) ， 該 交 線 是 原 點(diǎn) 。所 以 ， 二 次 錐 面 也 叫 橢 圓 錐 面 。 n單 葉 雙 曲 面 雙 曲 線橢 圓 n雙 葉 雙 曲 面 雙 曲 線橢 圓|h| c 時(shí) , |h|越 大 ,橢 圓 越 大|h| = c時(shí) ,橢

35、圓 退 縮 成 點(diǎn) . n橢 圓 拋 物 面 拋 物 線 h 越 大 ,橢 圓 曲 線 也 越 大h = 0時(shí) ,橢 圓 退 縮 成 點(diǎn) . 橢 圓 n雙 曲 拋 物 面表 示 過 原 點(diǎn) ， 開 口 朝 z 軸 負(fù) 方 向 的 拋 物 線 。開 口 朝 z 軸 負(fù) 方 向 的 拋 物 線 。 n雙 曲 拋 物 面表 示 過 原 點(diǎn) ， 開 口 朝 z 軸 正 方 向 的 拋 物 線 。開 口 朝 z 軸 正 方 向 的 拋 物 線 。 (馬 鞍 面 ) n雙 曲 拋 物 面當(dāng) h 0 時(shí) ， 是 實(shí) 軸 是 x 軸 的 雙 曲 線當(dāng) h 0 時(shí) ， 是 實(shí) 軸 是 y 軸 的 雙 曲 線 。

36、當(dāng) h = 0 時(shí) ， 是 過 原 點(diǎn) 的 兩 條 直 線 橢 球 面二 次 錐 面單 葉 雙 曲 面雙 葉 雙 曲 面 截 痕 法橢 圓 拋 物 面 (馬 鞍 面 ) 雙 曲 拋 物 面 n 若 已 知 二 次 曲 面 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ， 則 容 易 畫 出它 的 圖 形 。n 若 二 次 曲 面 的 方 程 不 是 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ， 要 通 過正 交 變 換 和 平 移 變 換 把 一 般 二 次 方 程 化 為標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ， 從 而 知 道 其 圖 形 。n二 次 曲 面 的 判 別 方 法 1 2 32 2 311 22 33 12 13 232 2 2 0 常 數(shù) 項(xiàng)二 次

37、 型 一 次 項(xiàng)ba x a y a z a xy a xz a y x cb yz b zn一 般 三 元 二 次 方 程 的 化 簡(x,y,z) + (b ,b ,b ) + c = 0 n一 般 三 元 二 次 方 程 的 化 簡A是 實(shí) 對(duì) 稱 矩 陣 正 交 矩 陣 P， 正 交 替 換 X=PY, Y=(x1,y1,z1)XTAX =YT(PTAP)Y =YTdiag(1, 2, 3)Y 二 次 型 標(biāo) 準(zhǔn) 形則 方 程 (1)變 成再 令 d ,d ,d 1x12 + 2y12 + 3z12 + d1x1 + d2y1 + d3z1 + c = 0 將 此 方 程 配 平 方

38、， 再 做 平 移 變 換 ， 得 二 次 方 程 標(biāo) 準(zhǔn) 形 。 1 2 32 1= = = A的 特 征 值 ： ， 11 2 2 0111 =, ,對(duì) 特 征 值 ， 方 程 組 的 基 礎(chǔ) 解 系T E A X 2 32 3110 1 2 1 21 T= - , , , / , / ,將 ， 正 交 化 ： T 2 32 3 1 0110 101 = = , , , , , ,對(duì) 特 征 值 的 基 礎(chǔ) 解 系T TE A X 1 1 3 2 321 1 1 1 1 1 1 203 3 3 2 2 6 6 6 , , , , , , ,將 ， ， 單 位 化 ：T TTp p p 1

39、2 3 1 3 1 2 1 61 3 1 2 1 61 3 0 2 6 , ,得 正 交 矩 陣 ： =P p p p 1 1 12 1 1 ( ,- ,- ), , , , , ,則 有 ，令 其 中 ， =T T TP AP diagX X x y z Y x y zPY2 2 2 2 2 1 xy xz yz x y 2 1 1 2 2 0 1 ( , , ) , , TY diag PYY2 2 21 1 1 12 2 1 x y z y2 2 21 1 1 12 2 1 0 =x y z y得 2 2 0 1 , ,TX AX X 2 2 21 1 1 12 2 1 0 = 將 配

40、方 x y z y2 1 2 12 1 1 做 平 變 換 ：移x xy yz z它 是 一 個(gè) 圓 錐 面 。 22 21 1 12 1 0 =x y z2 2 22 2 22 0 =得 這 是 原 曲 面 方 程 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 ，x y z 橢 球 面A正 定 , 2 2 22 2 2 1 x y za b c 二 次 曲 面 方 程 的 化 簡 和 分 類 定 理 適 當(dāng) 選 取 坐 標(biāo) 系 ， 二 次 曲 面 的 方 程 總 可以 化 成 下 列 五 個(gè) 簡 化 方 程 中 的 一 個(gè) ： .0,0)5( ;0,02)4( ;0,0)3( ;0,02)2( ;0,0)1( 114

41、4211 241124211 221144222211 34221134222211 33221144233222211 aaxa aayaxa aaayaxa aaazayaya aaaazayaxa ;01)10(;01)9( ;02)8(;02)7( ;0)6(;0)5( ;01)4(;01)3( ;01)2(;01)1( 22222222 22222222 222222222222 222222222222 222222222222 byaxbyax zbyaxzbyax czbyaxczbyax czbyaxczbyax czbyaxczbyax 定 理 通 過 適 當(dāng) 選 取 坐

42、標(biāo) 系 ， 二 次 曲 面 的 方程 總 可 以 寫 成 下 面 十 七 種 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程 的 一 種 形 式 ： .017( ;0)16(;0)15( ;02)14(;0)13( ;0)12(;01)11( 2 2222 22222 22222222 x axax pyxbyax byaxbyax） 二 次 曲 面 方 程 的 化 簡 和 分 類v 橢 球 面v （ 單 頁 ， 雙 葉 ） 雙 曲 面v （ 橢 圓 ， 雙 曲 ） 拋 物 面v （ 橢 圓 ， 雙 曲 ， 拋 物 ） 柱 面v 橢 圓 錐 面v （ 兩 相 交 ， 兩 平 行 ， 重 合 ） 平 面v 一 條 直 線 v

43、一 點(diǎn) （ 雙 曲 ， 拋 物 ） 錐 面 2zb 2222 yax 2zb 2222 yax 該 變 換 是 對(duì)坐 標(biāo) 軸 作 了一 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) . 注 1： 在 例 16中 將 兩 個(gè) 一 次 項(xiàng) 之 和 化 為 一個(gè) 一 次 項(xiàng) 時(shí) ， 用 了 一 個(gè) 正 交 變 換 ， 如 何看 出 它 是 一 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 變 換 呢 ？事 實(shí) 上 ， 對(duì) 于 一 個(gè) 正 交 變 換 x=Qy, 如 果|Q|=1， 則 稱 該 變 換 是 第 一 類 正 交 變 換 ，其 對(duì) 應(yīng) 的 是 將 坐 標(biāo) 軸 作 了 一 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) 。 如果 |Q|= - 1， 稱 該 變 換 是 第 二 類 正 交 變

44、換 ，其 對(duì) 應(yīng) 的 是 將 坐 標(biāo) 軸 作 了 一 個(gè) “ 鏡 像 變換 ” (可 以 先 做 一 個(gè) 旋 轉(zhuǎn) )。 (了 解 即 可 ) ： 如 果 一 個(gè) 方 程 的 形 式 為如 果 一 個(gè) 方 程 的 形 式 為 特 別 地 ， 假 設(shè) 二 次 曲 面 方 程 為 如 下 形 式 ，記 ， ，方 程 即 為 不 難 求 出 實(shí) 對(duì) 稱 陣 A的 特 征 值 (從 而知 道 A的 正 負(fù) 慣 性 指 數(shù) ), 然 后 對(duì) 曲 面 分 類 .1.當(dāng)2.當(dāng)3.當(dāng) 有4.當(dāng) 有5.當(dāng) 有 6.當(dāng) 有7.當(dāng) 有8.當(dāng) 有7.當(dāng) 有 x yzO 雙 曲 柱 面 2 22 2 1x yb a 平

45、行 于 z 軸 的 直 線 為 母 線 .xoy 坐 標(biāo) 面 上 的 拋 物 線 為 準(zhǔn) 線 、 平 行 于 z 軸 的 直 線 為 母 線 . x yzO拋 物 柱 面 x2 = ayxoy 坐 標(biāo) 面 上 的 拋 物 線 為 準(zhǔn) 線 、 三 元 二 次 方 程平 面 稱 為 一 次 曲 面 截 痕 法 ： 曲 面 形 狀已 知 平 行 截 面 面 積 可 計(jì) 算 體 積 ;已 知 平 行 截 面 形 狀 可 掌 握 曲 面 形 狀 四 、 二 次 曲 面所 表 示 的 曲 面 稱 為 二 次 曲 面 .0),( zyxF二 平 面 的 交 線 是 直 線 ;平 面 和 曲 面 的 交 線

46、是 平 面 曲 線 ;二 個(gè) 曲 面 的 交 線 是 空 間 曲 線 ;曲 面 方 程 ,平 行 平 面 與 曲 面 相 截 所 得 的 交 線 （ 即 截 痕 ） , 橢 圓 錐 面 2 2 22 2x y za b x yo 當(dāng) x=0為 二 條 相 交 直 線 y= bz n次 齊 次 方 程 F(x,y,z)= 0 的 圖 形 是 以 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面 ；方 程 F(x,y,z)= 0是 n次 齊 次 的 ： ).,(),( zyxFttztytxF n若 準(zhǔn) 線頂 點(diǎn) n次 齊 次 方 程 F(x,y,z)= 0.反 之 ， 以 原 點(diǎn) 為 頂 點(diǎn) 的 錐 面 的 方

47、程 是 錐 面 是 直 紋 面x 0z y t是 任 意 數(shù) 一 般 錐 o z yx 橢 球 面 1222222 czbyax 1、 橢 球 面 與 三 個(gè) 坐 標(biāo) 面 的 交 線 ：2 22 2 10 x ya bz 2 22 2 10 x za cy 2 22 2 10y zb cx o z yx 2、 橢 球 面 與 平 面 z=z0 的 交 線 為 橢 圓同 理 與 平 面 x = x0 和 y = y0 的 交 線 也 是 橢 圓 .2 22 22 20 02020 1(1 ) (1 ),x yz za bc ccz zz 1222222 czbyax 3、 橢 球 面 的 幾 種

48、 特 殊 情 況 ：,)1( ba 1222222 czayax 的 旋 轉(zhuǎn) 橢 球 面12222 czax由 橢 圓 繞 軸 旋 轉(zhuǎn) 生 成z 1222 22 cza yx可 寫 成,)2( cba 1222222 azayax .2222 azyx 方 程 可 寫 為 1222222 czbyax 2 22 2 1x ya a 由 圓 繞 x 軸 或 y 軸 旋 轉(zhuǎn) 生 成 的 球 面x y zO 雙 曲 面 單 葉 雙 曲 面 1222222 czbyax x yz o對(duì) 垂 直 于 z 軸 的 平 面 z=z02 22 2 2 20 02 2 1(1 ) (1 )x yz za bc

49、c 對(duì) 垂 直 于 y 軸 的 平 面 y = y02 22 22 20 02 2 1(1 ) (1 )x zy ya cb b 同 樣 , 對(duì) 垂 直 于 x 軸 的 平 面 x = x0 當(dāng) | y0|b,實(shí) 軸 沿 z 軸 方 向 1222222 czbyax 例 如 ， 儲(chǔ) 水 塔 、電 視 塔 等 建 筑 都有 用 這 種 結(jié) 構(gòu) 的 。 . 雙 葉 雙 曲 面 1222222 czbyax x yo 1 222222 czbyax 1222222 czbyax 0222222 czbyax單 葉 ：雙 葉 ： yx zo 在 平 面 上 ， 雙 曲 線有 漸 近 線 。 相 仿 ，

50、 單 葉 雙 曲 面和 雙 葉 雙 曲 面有 漸 近 錐 面 。 用 z=h去 截 它 們 ，當(dāng) |h|無 限 增 大 時(shí) ，雙 曲 面 的 截 口 橢 圓 與它 的 漸 近 錐 面 的 截口 橢 圓 任 意 接 近 ， 即 ：雙 曲 面 和 錐 面 任 意 接近 。漸 近 錐 面 ： 錐 （ 二 ） 拋 物 面 2 22 2x y za b 橢 圓 拋 物 面用 坐 標(biāo) 面 xoy (z = 0) 與 曲 面 相 截得 坐 標(biāo) 原 點(diǎn) O(0,0,0)原 點(diǎn) 也 叫 橢 圓 拋 物 面 的 頂 點(diǎn) . x yzo與 平 面 z=z0 0 的 交 線 為 橢 圓 .與 平 面 x=x 0和 y

51、=y0相 交 均 截 得 拋 物 線 線 .特 殊 地 ： 當(dāng) a=b這 是 由 拋 物 線 y2=a2z 繞 z 軸 旋 轉(zhuǎn) 生 成 的 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面時(shí) ， 方 程 變 為 2 22x y za oy xz 雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ） 2 22 2x y za b 對(duì) z = z0 ,對(duì) 應(yīng) 于 z00, 0 的 截 痕 是 雙 曲 線這 些 雙 曲 線 都 以 z0=0所 對(duì) 應(yīng) 的 直 線 為 共 同 漸 近 線by xa 對(duì) x = x0 是 形 狀 相 同 開 口 朝 下 的 拋 物 線對(duì) y = y0 則 是 形 狀 相 同 開 口 朝 上 的 拋 物 線 L l

52、雙 曲 拋 物 面 是 拋 物線 l 當(dāng) 其 頂 點(diǎn) 沿 拋物 線 L平 行 移 動(dòng) 所產(chǎn) 生 的 曲 面 zbyax 2222 2 22 2x y za b 當(dāng) x = x0雙 曲 拋 物 面 （ 馬 鞍 面 ）是 形 狀 相 同 開 口 朝 下 的 拋 物 線22 02 21 xz yb a 拋 物 線 的 頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) ( x0 , ) 2020, xa頂 點(diǎn) 坐 標(biāo) 滿 足 220 xz ay 頂 點(diǎn) 軌 跡 是 xoz 平 面 上 拋 物 線馬 鞍 面 與 xoz 平 面 相 交 的 截 痕 解 平 面 解 析 幾 何 中 空 間 解 析 幾 何 中2x 422 yx 1 xy 平 行 于 y軸 的 直 線 平 行 于 yoz面 的 平 面 圓 心 在 )0,0( ，半 徑 為 2的 圓 以 z軸 為 中 心 軸 的 圓 柱 面斜 率 為 1的 直 線 平 行 于 z軸 的 平 面 方 程下 列 方 程 在 平 面 解 析 幾 何 中 和 空 間 解 析 幾 何 中 分別 表 示 什 么 圖 形 ？;2)1( x ;4)2( 22 yx .1)3( xy思 考 題 思 考 題 3 254 222x zyx .3 164 22 x zy表 示 雙 曲 線 .解 答方 程 3 254 222x zyx 表 示 怎 樣 的 曲 線 ？