（湖南專用）高考數(shù)學二輪復習 專題限時集訓（二十三）配套作業(yè) 理

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1、專題限時集訓(二十三) [第23講　數(shù)學建模與應用問題] (時間：30分鐘) 　　　　 　　 　　　 　　 　　　　　 　 1．某個體企業(yè)的一個車間有8名工人，以往每人年薪為1萬元，從今年起，計劃每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪為8千元，第二年起與老工人的年薪相同．若以今年為第一年，如果將第n年企業(yè)付給工人的工資總額y(萬元)表示成n的函數(shù)，則其表達式為(　　) A．y＝(3n＋5)1.2n＋2.4 B．y＝8×1.2n＋2.4n C．y＝(3n＋8)1.2n＋2.4 D．y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.

2、4 2．如圖23－1所示，單位圓中AB的長為x，f(x)表示弧AB與弦AB所圍成的弓形面積的2倍，則函數(shù)y＝f(x)的圖象是(　　) 圖23－1 圖23－2 3．如圖23－3所示，有一圓錐形容器，其底面半徑等于圓錐的高，若以9π cm3/s的速度向該容器注水，當水深10 cm時，則水面上升的速度為________． 圖23－3 4．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈Z)件．當x≤20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x>20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年

3、利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大．(年利潤＝年銷售總收入－年總投資) 5．如圖23－4，從山腳下P處經(jīng)過山腰N到山頂M拉一條電纜，PN的長為a米，NM的長為2a米，在P處測得M，N的仰角分別為45°，30°，在N處測得M的仰角為30°. (1)求此山的高度； (2)試求平面PMN與水平面所成角的余弦值． 圖23－4 6．如圖23－5是曲柄連桿機的示意圖，當曲柄CB繞點C旋轉時，通過連桿AB的傳遞，活塞作直線往復運動，當曲柄在CB0位置時，曲柄和連桿成

4、一條直線，連桿的端點A在A0處，設連桿AB長為l mm，曲柄CB長為r mm，l>r. (1)若l＝300，r＝80，當曲柄CB按順時針方向旋轉角為θ時，連桿的端點A此時離A0的距離為A0A＝110 mm，求cosθ的值； (2)當曲柄CB按順時針方向旋轉角θ為任意角時，試用l、r和θ表示活塞移動的距離(即連桿的端點A移動的距離A0A)． 圖23－5 7．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/小時

5、)是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)，當橋上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)． (1)當0≤x≤200時，求函數(shù)v(x)的表達式； (2)當車流密度x為多大時，車流量(單位時間內通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時)f(x)＝x·v(x)可以達到最大，并求出最大值．(精確到1輛/小時) 8．甲、乙兩人用農藥治蟲，由于計算錯誤，在A，B兩個噴霧器中分別配制成12%和6%的藥水各10千克

6、，實際要求兩個噴霧器中的農藥的濃度是一樣的，現(xiàn)在只有兩個容量為1千克的藥瓶，他們從A，B兩個噴霧器中分別取1千克的藥水，將A中取得的倒入B中，B中取得的倒入A中，這樣操作進行了n次后，A噴霧器中藥水的濃度為an%，B噴霧器中藥水的濃度為bn%. (1)證明an＋bn是一個常數(shù)； (2)求an與an－1的關系式； (3)求an的表達式． 　　　　　　　 專題限時集訓(二十三) 【基礎演練】 1．A　[解析] 方法1：(直接法)第一年企業(yè)付給工人的工資總額為： 1×1.2×8＋0.8×3＝1×1.2×8＋2.4； 第二年企業(yè)付給工人的工資總額為：1×1.2

7、2×(8＋3)＋2.4； 第三年企業(yè)付給工人的工資總額為：1×1.23×(8＋3×2)＋2.4； 以此類推，第n年企業(yè)付給工人的工資總額為： y＝1×1.2n×[8＋3(n－1)]＋2.4＝(3n＋5)1.2n＋2.4.故選A. 方法2：(排除法)第一年企業(yè)付給工人的工資總額為：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(萬元)，而對4個選擇項來說，當n＝1時，C，D項相對應的函數(shù)值不為12，故可排除C，D項；A，B項相對應的函數(shù)值都為12，再考慮第2年付給工人的工資總額為：1×1.22×11＋0.8×3＝18.24(萬元)，當n＝2時，B項相對應的函數(shù)值均不為18.24，故又可

8、排除B項；故選A. 2．D　[解析] 當弧AB的長小于半圓時，函數(shù)y＝f(x)的值增加的越來越快，當弧AB的長大于半圓時，函數(shù)y＝f(x)的值增加的越來越慢，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象是D. 3. cm/s　[解析] 設t時刻水面高度為h，半徑為r，則r＝h，此時水的體積V＝πr2h＝πh3，又V＝9π·t， 所以π·h3＝9π·t，兩邊同時對t求導得π·h2·＝9π?＝，當h＝10時＝，即水面上升的速度為 cm/s. 4．y＝　16 [解析] 只要把成本減去即可，成本為x＋100，故得函數(shù)關系式為 y＝ 當020時y<1

9、40，故年產(chǎn)量為16件時，年利潤最大． 【提升訓練】 5．解：如圖過M作MA垂直過P的水平面于A， 過N作NB垂直過P的水平面于B，則MA∥NB， 連接AB，PA，PM，PB， 過N作NH⊥MA于H，依題意得： 四棱錐P－ABNM的底面ABNM為直角梯形， ∠NPB＝30°，∠MPA＝45°，∠MNH＝30°， ∴NB＝NPsin30°＝a，MH＝MN＝a， 山高MA＝MH＋HA＝MH＋NB＝a＋a＝a(米)， (2)解法1：設平面PMN與水平面所成角為θ，則 AP＝MA＝a，MP＝a，AB＝a，PB＝a， 在△MNP中，cos∠MNP＝＝， S△MNP＝NP·N

10、M·＝a2， △APB為直角三角形，S△ABP＝AP·PB＝a2， ∴cosθ＝＝. 解法2：以A為原點，AB，AM分別為y，z軸建立直角坐標系， 不妨設a＝1，則M，N，P， ＝，＝， 設平面MNP的一個法向量n＝(x，y，z)，則 即 令x＝1，解得n＝， 又水平面PAB的一個法向量m＝＝， 設平面PMN與水平面所成角為θ，則 |cosθ|＝＝＝， 故平面PMN與水平面所成角的余弦值為. 解法3：設直線MN與AB交于點C，連PC， 過B作BD垂直于PC于點D，連ND， 則∠NDB為所求二面角的平面角． 由MA∥NB，MA＝a，NB＝a得 BC＝a，

11、BD＝a， tan∠NDB＝，∴cos∠NDB＝， 故平面PMN與水平面所成角的余弦值為. 6．解：(1)由已知A0A＝110 mm時，可得AC＝300＋80－110＝270. 又AB＝l＝300 mm，BC＝r＝80 mm. ∴cosθ＝ ＝＝－. (2)設AC＝x，若θ＝0，則A0A＝0；若θ＝π，則A0A＝2r， 若0<θ<π，在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC， 即x2－2(rcosθ)x－(l2－r2)＝0. 解得x1＝rcosθ＋＝rcosθ＋. x2＝rcosθ－<0(不合題意，舍去)． ∴A0A＝A0C－AC＝l

12、＋r－rcosθ－. 若π<θ<2π，則根據(jù)對稱性，將上式中的θ改成2π－θ即可，有 A0A＝l＋r－rcosθ－. ∴當θ為任意角時，有A0A＝(l＋r－rcosθ－)(mm)． 7．解：(1)由題意當0≤x≤20時，v(x)＝60； 且v(200)＝0， 當20≤x≤200時，設v(x)＝ax＋b， 則有解得 故函數(shù)v(x)的表達式為v(x)＝ (2)依題意并由(1)可得f(x)＝ 當0≤x≤20時，f(x)為增函數(shù)，故當x＝20時，其最大值為60×20＝1 200； 當20≤x≤200時，f(x)＝x(200－x)≤＝， 當且僅當x＝200－x，即x＝100時，等

13、號成立． 所以當x＝100時，f(x)在區(qū)間[20，200]上取得最大值. 綜上，當x＝100時，f(x)在區(qū)間[0，200]上取得最大值≈3 333. 即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大，最大值約為3 333輛/小時． 8．解：(1)開始時，A中含有10×12%＝1.2千克的農藥，B中含有10×6%＝0.6千克的農藥，n次操作后，A中含有10×an%＝0.1an千克的農藥，B中含有10×bn%＝0.1bn千克的農藥，它們的和應與開始時農藥的重量和相等，從而有0.1an＋0.1bn＝1.2＋0.6，所以an＋bn＝18(常數(shù))． (2)第n次操作后，A中10千克藥水中農藥的重量具有關系式：9×an－1＋1×bn－1＝10an， 由(1)知bn－1＝18－an－1，代入化簡得an＝an－1＋①. (3)令an＋λ＝(an－1＋λ)，利用待定系數(shù)法可求出λ＝－9， 所以an－9＝(an－1－9)，可知數(shù)列{an－9}是以a1－9為首項，為公比的等比數(shù)列， 由①知，a1＝a0＋＝×12＋＝＝11.4， 由等比數(shù)列的通項公式知： an－9＝(a1－9)＝2.4＝＝3，所以an＝3＋9.