信號與線性系統(tǒng)分析(第四版)第5章

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1、信號與系統(tǒng) 5.1 拉 普 拉 斯 變 換 5.2 拉 普 拉 斯 變 換 性 質(zhì) 5.3 拉 普 拉 斯 逆 變 換 5.4 復(fù) 頻 域 分 析第 五 章 連 續(xù) 系 統(tǒng) 的 s域 分 析 信號與系統(tǒng) 頻 域 分 析 以 虛 指 數(shù) 信 號 ejt為 基 本 信 號 ， 任 意 信 號 可分 解 為 眾 多 不 同 頻 率 的 虛 指 數(shù) 分 量 之 和 ， 使 響 應(yīng) 的 求 解得 到 簡 化 ， 物 理 意 義 清 楚 。 但 也 有 不 足 ：（ 1） 有 些 重 要 信 號 不 存 在 傅 里 葉 變 換 ， 如 e2t(t);（ 2） 對 于 給 定 初 始 狀 態(tài) 的 系 統(tǒng) 難

2、 于 利 用 頻 域 分 析 。 在 這 一 章 將 通 過 把 頻 域 中 的 傅 里 葉 變 換 推 廣 到 復(fù) 頻域 來 解 決 這 些 問 題 。 本 章 引 入 復(fù) 頻 率 s = +j,以 復(fù) 指 數(shù) 函 數(shù) e st為 基 本 信號 ， 任 意 信 號 可 分 解 為 不 同 復(fù) 頻 率 的 復(fù) 指 數(shù) 分 量 之 和 。這 里 用 于 系 統(tǒng) 分 析 的 獨(dú) 立 變 量 是 復(fù) 頻 率 s ， 故 稱 為 s域 分析 。 所 采 用 的 數(shù) 學(xué) 工 具 為 拉 普 拉 斯 變 換 。 信號與系統(tǒng)5.1 拉 普 拉 斯 變 換 信號與系統(tǒng)一 、 從 傅 里 葉 變 換 到 拉 普

3、 拉 斯 變 換有 些 函 數(shù) 不 滿 足 絕 對 可 積 條 件 ， 求 解 傅 里 葉 變 換 困 難 。為 此 ， 可 用 一 衰 減 因 子 e- t(為 實(shí) 常 數(shù) ） 乘 信 號 f(t) ， 適當(dāng) 選 取 的 值 ， 使 乘 積 信 號 f(t) e- t當(dāng) t時 信 號 幅 度 趨近 于 0 ， 從 而 使 f(t) e- t的 傅 里 葉 變 換 存 在 。 相 應(yīng) 的 傅 里 葉 逆 變 換 為f(t) e - t= j1 ( j )e d2 tbF Fb(+j)= F f(t) e- t= j ( j )( )e e d ( )e dt t tf t t f t t (

4、j )1( ) ( j )e d2 tbf t F 令 s = + j,d=ds/j， 有 信號與系統(tǒng)定 義b( ) ( ) dstF s f t e t j bj1( ) ( )e d2j stf t F s s 雙邊拉普拉斯變換對Fb(s)稱 為 f(t)的 雙 邊 拉 氏 變 換 （ 或 象 函 數(shù) ） ，f(t)稱 為 Fb(s) 的 雙 邊 拉 氏 逆 變 換 （ 或 原 函 數(shù) ） 。 信號與系統(tǒng)二 、 收 斂 域 只 有 選 擇 適 當(dāng) 的 值 才 能 使 積 分 收 斂 ， 信 號 f(t)的 雙 邊拉 普 拉 斯 變 換 存 在 。 使 f(t)拉 氏 變 換 存 在 的 的

5、 取 值 范 圍 稱 為 Fb(s)的 收 斂 域 。 下 面 舉 例 說 明 Fb(s)收 斂 域 的 問 題 。 信號與系統(tǒng)例 1： 因 果 信 號 f1(t)= e t (t) ， 求 拉 氏 變 換 。解 ： ( ) ( ) j1 00 e 1( ) e e d 1 lime e ( )s tt st t tb tF s t s s 1 , Re ss 不 定 ，無 界 ，可 見 ， 對 于 因 果 信 號 ， 僅 當(dāng)Res=時 ， 其 拉 氏 變 換 存在 。 收 斂 域 如 圖 所 示 。 收 斂 域收 斂 邊 界 信號與系統(tǒng)例 2： 反 因 果 信 號 f2(t)= et(t)

6、， 求 拉 氏 變 換 。解 ： ( )0 0 ( ) j2 e 1( ) e e d 1 lim e e ( ) ( )s tt st t tb tF s t s s , Re 1( ) ss 無 界不 定 ，可 見 ， 對 于 反 因 果 信 號 ， 僅 當(dāng)Res=時 ， 其 收 斂 域?yàn)?Res 22 2 1 1( ) ( ) 3 2f t F s s s Res= 33 3 1 1( ) ( ) 3 2f t F s s s 3 2可 見 ， 象 函 數(shù) 相 同 ， 但 收 斂 域 不 同 。 雙 邊 拉 氏 變 換 必須 標(biāo) 出 收 斂 域 。 信號與系統(tǒng)通 常 遇 到 的 信 號

7、都 有 初 始 時 刻 ， 不 妨 設(shè) 其 初 始 時 刻 為坐 標(biāo) 原 點(diǎn) 。 這 樣 ， t ， 可 以 省 略 。 本 課 程 主 要 討 論 單 邊 拉 氏 變 換 。 信號與系統(tǒng)三 、 單 邊 拉 氏 變 換def 0( ) ( )e dstF s f t t def jj1( ) ( )e d ( )2j stf t F s s t 簡 記 為 F(s)= f(t) f(t)= -1F(s) 或 f(t) F(s) 信號與系統(tǒng)四 、 常 見 函 數(shù) 的 拉 普 拉 斯 變 換（ 1） (t) 1， -（ 2） (t)或 1 1/s ， 0（ 3） 指 數(shù) 函 數(shù) es0t 01ss

8、 Res0cos 0t = (ej0t+ e-j0t )/2 202 s ssin 0t = (ej0t e-j0t )/2j 202 0s 信號與系統(tǒng)(4) 周 期 信 號 fT(t) 0 2 ( 1)0 0( ) ( )e d( )e d ( )e d ( )e dstT TT T n Tst st stT T TT nTnF s f t tf t t f t t f t t 0 00 1e ( )e d ( )e d1 eT TnsT st stT TsTnt t nT f t t f t t 令 ， 則 原 式特 例 ： T(t) 1/(1 esT) 信號與系統(tǒng)五 、 單 邊 拉 氏

9、變 換 與 傅 里 葉 變 換 的 關(guān) 系0( ) ( )e dstF s f t t Res0 j(j ) ( )e dtF f t t 要 討 論 其 關(guān) 系 ， f(t)必 須 為 因 果 信 號 。 根 據(jù) 收 斂 坐 標(biāo) 0的 值 可 分 為 以 下 三 種 情 況 ： （ 1） 02；則 F(j)=1/( j+2) 信號與系統(tǒng)（ 2） 0 =0， 即 F(s)的 收 斂 邊 界 為 j軸 ， 0(j ) lim ( )F F s 如 f(t)= (t)F(s)=1/s 2 2 2 20 0 01 j(j ) lim lim limjF = () + 1/j （ 3） 0 0， F(

10、j)不 存 在 。 例 : f(t)=e2t(t) F(s)=1/(s 2) , 2； 其 傅 里 葉 變換 不 存 在 。 信號與系統(tǒng)5.2 拉 普 拉 斯 變 換 性 質(zhì) 信號與系統(tǒng)一 、 線 性 性 質(zhì)若 f1(t)F1(s) Res1 , f2(t)F2(s) Res2則 a1f1(t)+a2f2(t)a1F1(s)+a2F2(s) Resmax(1,2) 例 : f(t) = (t) + (t)1 + 1/s， 0 信號與系統(tǒng)二 、 尺 度 變 換若 f(t) F(s) , Res0， 且 有 實(shí) 數(shù) a0 ，則 f(at) 1 ( )sFa a 0( ) ( )e dstf at

11、f at t at令 ， 則 0( ) ( )e ds a f at f a 01 ( )e ds af a 證 明 ： 1 ( )sFa a , Resa0LL 信號與系統(tǒng)三 、 時 移 特 性若 f(t) F(s) , Res0, 且 有 實(shí) 常 數(shù) t00 ,則 f(tt0)(t t0) est0F(s) , Res0 與 尺 度 變 換 相 結(jié) 合f(att0)(att0) asFa sat0e1例 1: 求 如 圖 信 號 的 單 邊 拉 氏 變 換 。解 ： f1(t) = (t) (t1)， f2(t) = (t+1) (t1)F1(s)= )e1(1 ss F2(s)= F1(

12、s) 信號與系統(tǒng)例 2: 已 知 f1(t) F1(s),求 f2(t) F2(s)解 ： f2(t) = f1(0.5t) f10.5(t2)f1(0.5t) 2F1(2s)f10.5(t2) 2F1(2s)e2sf 2(t) 2F1(2s)(1 e2s)例 3: 求 f(t)= e2(t1)(t) F (s)=? 信號與系統(tǒng)四 、 復(fù) 頻 移 （ s域 平 移 ） 特 性若 f(t) F(s) , Res0 , 且 有 復(fù) 常 數(shù) sa=a+ja,則 f(t)esat F(ssa) , Res0+a 例 1: 已 知 因 果 信 號 f(t)的 象 函 數(shù) F(s)= 2 1ss 求 et

13、f(3t2)的 象 函 數(shù) 。 解 ： etf(3t2) 2( 1)321 e( 1) 9 sss 例 2: f(t)=cos (2t/4) F(s)= ?解 cos (2t/4) =cos (2t)cos (/4) + sin (2t)sin (/4) 42222242224)( 222 ssss ssF 信號與系統(tǒng)五 、 時 域 的 微 分 特 性 （ 微 分 定 理 ）若 f(t) F(s) , Res0, 則 f (t) sF(s) f(0) 2 2d ( ) 0 (0 )d ( ) (0 ) (0 )f t s sF s f ft s F s sf f 1 1 ( )0d ( ) (

14、 ) (0 )dn nn n r rrf t s F s s ft 推 廣 ：證 明 ： 00 0e d e e d 0 ( )st st stf t t f t sf t tf sF s LL 信號與系統(tǒng)舉 例若 f(t)為 因 果 信 號 ， 則 f(n)(t) snF(s) 例 1: (n)(t) ? 例 2: ?2cos dd tt例 3: ?)(2cosdd ttt 信號與系統(tǒng)六 、 時 域 積 分 特 性 （ 積 分 定 理 ） sfssFft )0()(d)( 1 證 明 ： fff tt ddd 00 01f 0 0 ded tf stt t sttst ttfsfs 000

15、de1de (1) (2)(1)(2) t st ttfs 0 de1 1 0f s F ss若 L f(t)=F(s)， 則 L 信號與系統(tǒng))(1d)(0 sFsxxf nnt 例 1: t2(t)? 0 ( )d ( )t x x t t 220 0( )d ( )d ( )2t t tx x x x x t 2 32( )t t s 信號與系統(tǒng)例 2: 已 知 因 果 信 號 f(t)如 圖 ,求 F(s)解 ： 對 f(t)求 導(dǎo) 得 f (t)， 如 圖0 ( )d ( ) (0 )t f x x f t f 由 于 f(t)為 因 果 信 號 ， 故f(0)=0 0( ) ( )d

16、tf t f x x f (t)=(t)(t 2) (t 2) F1(s) 2 21 (1 e ) es ss 1( )( ) F sF s s結(jié) 論 ： 若 f(t)為 因 果 信 號 ， 已 知 f(n)(t) Fn(s) 則 f(t) Fn(s)/sn 信號與系統(tǒng)七 、 卷 積 定 理時 域 卷 積 定 理 若 因 果 函 數(shù) f1(t) F1(s) , Res1 , f2(t) F2(s) , Res2則 f1(t) f2(t) F1(s)F2(s) 復(fù) 頻 域 （ s域 ） 卷 積 定 理 j1 2 1 2j1( ) ( ) ( ) ( )d2j ccf t f t F F s 例

17、1： t (t) ?例 2： 已 知 F(s)= ?)e1( 1 2 ss 0 0 )2()2(*)( n n ntntt ?e1 e1e1 1 2 sTsTsT例 3： 信號與系統(tǒng)八 、 s域 微 分 和 積 分若 f(t) F(s) , Res0, 則 d ( )( ) ( ) dF st f t s d ( )( ) ( ) dnn nF st f t s 例 1： t2e2t(t) ? e 2t (t) 1/(s+2) t2e2t(t) 322 )2( 2)21(dd sss( ) ( )sf t F dt 信號與系統(tǒng)例 2： sin ( ) ?t tt 21sin ( ) 1t t

18、s 2sin 1 1( ) d arctan arctan arctan1 2sst t st s 例 3： 21 e ?tt 2 1 11 e 2t s s 2 1 11 1 11 e 1 1 2( )d ln ln2 2t ss s sst s s s s 信號與系統(tǒng)九 、 初 值 定 理 和 終 值 定 理初 值 定 理 和 終 值 定 理 常 用 于 由 F(s)直 接 求 f(0+)和 f(） ，而 不 必 求 出 原 函 數(shù) f(t)初 值 定 理設(shè) 函 數(shù) f(t)不 含 (t)及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) （ 即 F(s)為 真 分 式 ，若 F(s)為 假 分 式 化 為 真 分

19、式 ） ，則 0(0 ) lim ( ) lim ( )t sf f t sF s 終 值 定 理 若 f(t)當(dāng) t 時 存 在 ， 并 且 f(t) F(s) , Res0, 00， 則 0( ) lim ( )sf sF s 信號與系統(tǒng)舉 例例 1： 2 2( ) 2 2sF s s s 22 2(0 ) lim ( ) lim 22 2s s sf sF s s s 220 0 2( ) lim ( ) lim 02 2s s sf sF s s s 例 2： 22( ) 2 2sF s s s 21 22 2(0 ) lim ( ) lim 22 2s s s sf sF s s s

20、 22 2( ) 1 2 2sF s s s 1 2 2 2( ) 2 2sF s s s 設(shè) 信號與系統(tǒng)5.3 拉 普 拉 斯 逆 變 換直 接 利 用 定 義 式 求 反 變 換 復(fù) 變 函 數(shù) 積 分 ， 比 較 困 難 。通 常 的 方 法 : 查 表 利 用 性 質(zhì) 部 分 分 式 展 開 結(jié) 合 若 象 函 數(shù) F(s)是 s的 有 理 分 式 ， 可 寫 為 11 1 011 1 0( ) m mm mn nnb s b s bs bF s s a s a s a 若 mn （ 假 分 式 ） ,可 用 多 項 式 除 法 將 象 函 數(shù) F(s)分解 為 有 理 多 項 式 P

21、(s)與 有 理 真 分 式 之 和 。 0( )( ) ( ) ( )B sF s P s A s 信號與系統(tǒng)4 3 2 23 2 3 28 25 31 15 2 3 3( ) 26 11 6 6 11 6s s s s s sF s ss s s s s s 由 于 L -11=(t)， L -1sn=(n)(t)， 故 多 項 式 P(s)的拉 普 拉 斯 逆 變 換 由 沖 激 函 數(shù) 構(gòu) 成 。 下 面 主 要 討 論 有 理 真 分 式 的 情 形 。 信號與系統(tǒng)一 、 零 、 極 點(diǎn) 的 概 念若 F(s)是 s的 實(shí) 系 數(shù) 有 理 真 分 式 （ mn)， 則 可 寫 為 1

22、1 1 011 1 0( )( ) ( ) m mm mn nna s a s a s aB sF s A s s b s bs b 1 21 2( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( )m mn nb s z s z s zB sF s A s a s p s p s p 分 解零 點(diǎn)極 點(diǎn) z1， z2， z3， ， zm是 B(s)=0的 根 ， 稱 為 F(s)的 零 點(diǎn)因 為 B(s)=0 F(s)=0p1， p2， p3， ， pn是 A(s)=0的 根 ， 稱 為 F(s)的 極 點(diǎn)因 為 A(s)=0 F(s)= 信號與系統(tǒng)二 、 拉 氏 逆 變 換 的 過

23、 程求 F(s)的 極 點(diǎn)將 F(s)展 開 為 部 分 分 式查 變 換 表 求 出 原 函 數(shù) f(t) 信號與系統(tǒng)部 分 分 式 展 開第 一 種 情 況 ： 單 階 實(shí) 數(shù) 極 點(diǎn)1 2( )( ) ( )( ) ( )nB sF s s p s p s p 1 21 2( ) n nKK KF s s p s p s p ( ) ( ) ii i s pK s p F s p1， p2， p3， ， pn為 不 同 的 實(shí) 數(shù) 根 。1 1 e ( )ip ti ts p L 信號與系統(tǒng)單 階 實(shí) 極 點(diǎn) 舉 例(1)求 極 點(diǎn) 22 3 3( 1)( 2)( 3)s sF s s

24、s s (2)展 為 部 分 分 式 31 21 2 3KK KF s s s s 1 5 6 ( ) 1 2 3F s s s s 所 以 23 22 3 3( ) 6 11 6s sF s s s s (3)逆 變 換求 系 數(shù) 21 1 12 3 3( 1) ( )| | 1( 2)( 3)s ss sK s F s s s 1e t t s 由 L 2 3( ) e 5e 6et t tf t 得 (t0) 信號與系統(tǒng)假 分 式 情 況 ：3 225 9 7( ) 3 2s s sF s s s 作 長 除 法 2 3s 462 772 23 79523 2223 232 sss ss

25、 sss sssss 13( ) 2 2 ( )1 2sF s s s F ss s 1 2 1( ) 1 2F s s s 2f t t t 22e ( ) e ( )t tt t 信號與系統(tǒng)第 二 種 情 況 ： 極 點(diǎn) 為 共 軛 復(fù) 數(shù) 2 21 B sF s A s s 1j jF ss s 共 軛 極 點(diǎn) 出 現(xiàn) 在 j 1 2j jK KF s s s 1 j jK s F s s 1 j2 jF 2 j jK s F s s 1 j2 jF 成 共 軛 關(guān) 系 ：可 見 21,KK1 jK A B *2 1jK A B K 信號與系統(tǒng)求 f(t)j1 1j | | eK A B

26、 K * j2 1 1j | | eK A B K K s Ks K jj *111 *1 1e e e t j t j tK K tBtAt sincose2 j j*1 1 1 10 | | e | | e( ) j j j jK K K KF s s s s s =2|K1|e- tcos ( t+ )(t) f0(t)=L 信號與系統(tǒng)共 軛 極 點(diǎn) 舉 例 22 3( ) ( )( 2)( 2 5)sF s f ts s s 求 的 逆 變 換 。 2 3( 1 j2)( 1 j2)( 2)sF s s s s 0 1 22 1 j2 1 j2K K Ks s s 1,2, 0 取 0

27、 2 7( 2) 5sK s F s 21 1 j23 1 j2( 2)( 1 j2) 5ssK s s 1 2,5 5A B 27 1 2e 2e cos 2 sin 25 5 5 t tf t t t (t0) 信號與系統(tǒng)第 三 種 情 況 ： 有 重 根 存 在2 31 22 2( ) ( 2)( 1) 2 1 ( 1)KK KsF s s s s s s 2 1 2 2( 2) 4( 2)( 1) ssK s s s 223 2 1( 1) 1( 2)( 1) ssK s s s 如 何 求 K2 ? 信號與系統(tǒng)K2的 求 法 21 1 222( 1)( 2) ( 1) 0( 2)s

28、s K K s Ks 2 2 22 2d 2 ( 2) 4d 2 ( 2) ( 2)s s s s s ss s s s 2 3K 所 以 2 ( 1)s對 原 式 兩 邊 乘 以 3 21 , 1, ,s K K 令 時 只 能 求 出 若 求 兩 邊 再 求 導(dǎo)2 1 2 3d ( 1) ( 1)d 2Ks s K Ks s 右 邊 2d ( 1) ( )d s F ss 左 邊 2,1 Ks 右 邊此 時 令 2 2 14 3( 2) ss ss 左 邊 2 2 1 2 3( 1) ( 1)2 2Ks s K s Ks s 信號與系統(tǒng)逆 變 換 24 3 1( ) 2 1 ( 1)F s

29、 s s s 所 以 f(t)=L 1F(s)=(4e2t 3et + tet )(t) 信號與系統(tǒng)一 般 情 況 1!)( nn sntt 1 11 12 11 1 1( )( ) ( ) ( )k k kF s K Ks p s p s p 1( 1) 121 1( )k kK Ks p s p 求 K11， 方 法 同 第 一 種 情 況 ：求 其 他 系 數(shù) ， 要 用 下 式 1 111 1 1( ) ( ) ( )ks p s pK F s s p F s 111 111 d ( ) 1,2,3, ,( 1)! d ii i s pK F s i ki s 1)(dd ,2 112

30、 pssFsKi 當(dāng) 1)(dd21 ,3 12213 pssFsKi 當(dāng) )(e!1)( 1 1111 ttnps tpnn LL 信號與系統(tǒng)舉 例32( ) ( 1)sF s s s 1311 12 23 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)KK K KF s s s s s 311 1 12( 1) ( )| | 3s ssK s F s s 312 1 12d ( 2)( 1) ( )| | 2d s ss sK s F ss s 2 313 1 12 41 d 1 4( 1) ( )| | 22 d 2s ssK s F ss s 2 0 032( ) | | 2( 1)s ssK

31、 sF s s 信號與系統(tǒng) 23( ) ( e 2 e 2e 2)( )2 t t tf t t t t 所 以 3 23 2 2 2( ) ( 1) ( 1) ( 1)F s s s s s 信號與系統(tǒng)5.4 復(fù) 頻 域 分 析一 、 微 分 方 程 的 變 換 解 描 述 n階 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 的 一 般 形 式 為 ( ) ( )0 0( ) ( )n mi ji ji ja y t b f t 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 為 y(0) ， y(1)(0)， ， y(n1) (0)。思 路 ： 用 拉 普 拉 斯 變 換 微 分 特 性1( ) 1 ( ) 0( ) ( )

32、(0 )ii i i p ppy t s Y s s y 若 f (t)在 t = 0時 接 入 系 統(tǒng) ， 則 f (j)(t) s j F(s) 信號與系統(tǒng)1 1 ( )0 0 0 0 ( ) (0 ) ( )n n i mi i p p ji i ji i p ja s Y s a s y b s F s ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) zi zsM s B sY s F s Y s Y sA s A s y(t)， yzi(t)， yzs(t) s域 的 代 數(shù)方 程 信號與系統(tǒng)舉 例例 1： 描 述 某 LTI系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 y(t) +

33、5y(t) + 6y(t) = 2f (t)+ 6 f (t)已 知 初 始 狀 態(tài) y(0) = 1， y(0)= 1， 激 勵 f (t) = 5cos t(t)，求 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) y(t)解 ： 方 程 取 拉 氏 變 換 ， 并 整 理 得 2 2(0 ) (0 ) 5 (0 ) 2( 3)( ) ( )5 6 5 6sy y y sY s F ss s s s Yzi(s) Yzs(s)zi zs 24 2 5( ) ( ) ( ) ( 2)( 3) 2 1s sY s Y s Y s s s s s 信號與系統(tǒng)j26.6 j26.62 1 4 5 e 5 e( ) 2 3

34、 2 j jY s s s s s s y(t)= 2e2t (t) e3t (t) - 4e2t (t) + 2 5 cos ( 26.6 )( )t t yzi(t) yzs(t)暫 態(tài) 分 量 y t(t) 穩(wěn) 態(tài) 分 量 ys(t) 信號與系統(tǒng)二 、 系 統(tǒng) 函 數(shù)系 統(tǒng) 函 數(shù) H(s)定 義 為 def ( ) ( )( ) ( ) ( )zsY s B sH s F s A s 它 只 與 系 統(tǒng) 的 結(jié) 構(gòu) 、 元 件 參 數(shù) 有 關(guān) ， 而 與 激 勵 、 初 始狀 態(tài) 無 關(guān) 。yzs(t)= h(t) f (t)H(s)= L h(t) Yzs(s)= L h(t)F(s

35、) 信號與系統(tǒng) 例 2： 已 知 當(dāng) 輸 入 f(t)= et(t)時 ， 某LTI因 果 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) yzs(t) = (3et 4e2t + e3t)(t)求 該 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 和 描 述 該 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 。 信號與系統(tǒng)解 ： 2( ) 2( 4) 4 2 2 8( ) ( ) ( 2)( 3) 2 3 5 6zsY s s sH s F s s s s s s s h(t)= (4e2t 2e3t) (t)微 分 方 程 為 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2f (t)+ 8f (t) s2Yzs(s) + 5sYzs(s) + 6

36、Yzs(s) = 2sF(s)+ 8F(s) 取 逆 變 換 y zs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2f (t)+ 8f (t) 信號與系統(tǒng)三 、 系 統(tǒng) 的 s域 框 圖時 域 框 圖 基 本 單 元f(t) ( ) ( )dty t f af(t) y(t) = a f (t) s域 框 圖 基 本 單 元 (零 狀 態(tài) )s1F(s) Y(s) = s1F(s)aF(s) Y(s) = a F(s)f1(t)f2(t) y(t) = f1(t)+ f2(t)+ F1(s) Y(s) = F1(s)+F2(s)F2(s)+ 信號與系統(tǒng)例 3： 如 圖 框 圖 ， 列 出 其

37、微 分 方 程X(s) s1X(s) s2X(s)解 ： 畫 出 s域 框 圖 ,s1 s1F(s) Y(s)設(shè) 左 邊 加 法 器 輸 出 為 X(s)， 如 圖X(s) = F(s) 3s1X(s) 2s2X(s) s域 的 代 數(shù) 方 程Y(s) = X(s) + 4s 2X(s) 1 21( ) ( )1 3 2X s F ss s 21 21 4 ( )1 3 2s F ss s 22 4 ( )3 2s F ss s 微 分 方 程 為 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = f (t)+ 4f (t) 再求h(t)? 信號與系統(tǒng)四 、 用 拉 氏 變 換 法 分 析 電 路

38、 的 步 驟 :列 s域 方 程 （ 可 從 兩 方 面 入 手 ）求 解 s域 方 程 。 )()( tfsF ， 得 到 時 域 解 答 。l 列 時 域 微 分 方 程 ， 用 微 積 分 性 質(zhì) 求 拉 氏 變 換 ；l 直 接 按 電 路 的 s域 模 型 建 立 代 數(shù) 方 程 。什 么 是 電 路 的 s域 模 型 ？ 信號與系統(tǒng)五 、 電 路 的 s域 模 型對 時 域 電 路 取 拉 氏 變 換 1. 電 阻 元 件 的 s域 模 型 i(t) u(t)R I(s)U(s)RU(s)= R I(s)u(t)= R i(t) 電 阻 元 件 的 s域 模 型 信號與系統(tǒng)2. 電

39、 感 元 件 的 s域 模 型d ( )( ) dLi tu t L tU(s)= sLIL(s) LiL(0) sisUsLsI L L )0()(1)( 電 感 元 件 的 s域 模 型 信號與系統(tǒng)3. 電 容 元 件 的 s域 模 型d ( )( ) dCu ti t C tI(s)=sCUC(s) CuC(0) susIsCsU CC )0()(1)( 電 容 元 件 的 s域 模 型 信號與系統(tǒng)4. KCL、 KVL方 程( ) 0i t ( ) 0u t ( ) 0I s ( ) 0U s 求 響 應(yīng) 的 步 驟 畫 0-等 效 電 路 ， 求 初 始 狀 態(tài) ； 畫 s域 等 效

40、 模 型 ； 列 s域 方 程 （ 代 數(shù) 方 程 ） ； 解 s域 方 程 ， 求 出 響 應(yīng) 的 拉 氏 變 換 U(s)或 I(s)； 拉 氏 反 變 換 求 u(t)或 i(t)。 信號與系統(tǒng)例 ：如 圖 所 示 電 路 ， 已 知 uS(t) = (t) V， iS(t) =(t)， 起 始狀 態(tài) uC(0) =1V， iL(0) = 2A， 求 電 壓 u(t)。 解 ： 畫 出 電 路 的 s域 模 型 Us(s)=1/s， Is(s)=1 1)(2)()(12 SS ssUsssIsUss 22 )1( 311122)( ssss ssUu(t) = et(t) 3tet(t) V 若 求 uzi(t)和 uzs(t)？