5、,1)為圓心,2為半徑的圓上,畫圖可知,z=1-i時|z|min=.
10.已知復(fù)數(shù)z=a+bi(a、b∈R+)(i是虛數(shù)單位)是方程x2-4x+5=0的根.復(fù)數(shù)ω=u+3i(u∈R+)滿足|ω-z|<2,求u的取值范圍.
解 原方程的根為x1,2=2±i.
∵a、b∈R+,∴z=2+i,
∵|ω-z|=|(u+3i)-(2+i)|
=<2,
∴-2<u<6.
B級 綜合創(chuàng)新備選
(時間:30分鐘 滿分:60分)
一、填空題(每小題5分,共30分)
1.(2011·南京學(xué)情分析)復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的
6、點(diǎn)位于第________象限.
解析 ==--i,點(diǎn)在第三象限.
答案 三
2.(2011·南京模擬)若復(fù)數(shù)(1-i)(a+i)是實(shí)數(shù)(i是虛數(shù)單位),則實(shí)數(shù)a的值為________.
解析 由(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i∈R,得a=1.
答案 1
3.(2011·蘇北四市調(diào)研)若復(fù)數(shù)z1=1-i,z2=2+4i,其中i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z1z2的虛部是________.
解析 z1z2=(1-i)(2+4i)=6+2i的虛部為2.
答案 2
4.(2011·南京模擬)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)-3+i和1-i對應(yīng)的點(diǎn)間的距離為________.
解析 |-3+i-
7、1+i|=|-4+2i|===2.
答案 2
5.已知x,y為共軛復(fù)數(shù),且(x+y)2-3xyi=4-6i,則x為________.
解析 設(shè)x=a+bi(a,b∈R),則y=a-bi,
x+y=2a,xy=a2+b2,
代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,
根據(jù)復(fù)數(shù)相等得
解得或或或
故所求復(fù)數(shù)為或
或或
答案 1+i或1-i或-1-i或-1+i
6.(2010·江蘇蘇中六校聯(lián)考)給出下列四個命題:
①若z∈C,|z|2=z2,則z∈R;
②若z∈C,=-z,則z是純虛數(shù);
③若z∈C,|z|2=zi,則z=0或z=i;
④若z1,z2∈C,|
8、z1+z2|=|z1-z2|,則z1z2=0.
其中真命題的個數(shù)為________個.
解析 設(shè)z=a+bi(a,b∈R),若|z|2=a2+b2=z2=a2-b2+2abi,則所以b=0,所以z∈R,①正確;
若z=0,則z不是純虛數(shù),②錯;
若a2+b2=-b+ai,則a=0,b=0或b=-1,
所以z=0或z=-i,③錯;
若|z1+z2|=|z1-z2|,設(shè)z1=a+bi(a,b∈R),
z2=c+di(c,d∈R).
則(a+c)2+(b+d)2=(a-c)2+(b-d)2,
整理得:ac+bd=0,
所以z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+b
9、c)i≠0,④錯.
答案?、?
二、解答題(每小題15分,共30分)
7.已知m∈R,復(fù)數(shù)z=+(m2+2m-3)i,當(dāng)m為何值時.
(1)z∈R;
(2)z是虛數(shù);
(3)z是純虛數(shù);
(4)=+4i.
解 (1)由z∈R,得解得m=-3.
(2)由z是虛數(shù),得m2+2m-3≠0,且m-1≠0,
解得m≠1且m≠-3.
(3)由z是純虛數(shù),得
解得m=0或m=-2.
(4)由=+4i,得-(m2+2m-3)i=+4i,
所以即
解得m=-1.
8.設(shè)z是虛數(shù),已知ω=z+是實(shí)數(shù),且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的實(shí)部的取值范圍;
(2)設(shè)u=,求證:
10、u為純虛數(shù);
(3)求ω-u2的最小值.
(1)解 因?yàn)棣亍蔙,所以=ω,所以+=z+,
即(z-)=0,因?yàn)閦為虛數(shù),所以z≠.
所以z=1,從而|z|2=1,即|z|=1.
設(shè)z=a+bi(a、b∈R),∵|z|=1,∴a2+b2=1
∴ω=z+=a+bi+=a+bi+=2a
∵-1<ω<2,∴-1<2a<2,∴-<a<1.
即z的實(shí)部取值范圍是
(2)證明 (1)因?yàn)閦=1,所以=.
所以u+=+=+=+=0,且u≠0,所以=-u,所以u為純虛數(shù).
(3)解 由(2)可設(shè)u=ti(t∈R且t≠0),則由=ti,得z=,所以ω=z+=+=,u2=-t2,
所以ω-u2=+t2=1+t2+-3≥2-3=1,當(dāng)且僅當(dāng)t2+1=2,t=±1時等號成立,故ω-u2的最小值為1.