(江蘇專用)高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)《第11講 函數(shù)與方程》理(含解析) 蘇教版

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1、 A級 基礎(chǔ)達標演練 (時間:45分鐘 滿分:80分) 一、填空題(每小題5分,共35分) 1.(2011·南通無錫調(diào)研)已知方程2x=10-x的根x∈(k,k+1),k∈Z,則k=________. 解析 設(shè)f(x)=2x+x-10,則由f(2)=-4<0,f(3)=1>0,所以f(x)的零點在(2,3)內(nèi). 答案 2 2.(2011·山東省濟寧模擬)已知a是函數(shù)f(x)=2x-logx的零點,若0<x0<a,則f(x0)的值滿足________(與零的關(guān)系). 解析 因為f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),且f(a)=0,于是由0<x0<a,得f(x0)<f(a)=

2、0,即f(x0)<0. 答案 f(x0)<0 3.若函數(shù)f(x)=ax+b的零點為2,那么函數(shù)g(x)=bx2-ax的零點是________. 解析 由f(x)=ax+b有零點2,得2a+b=0(a≠0),代入g(x),得g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1),它有零點x=0和x=-. 答案 0,- 4.設(shè)函數(shù)y(x)=x-ln x(x>0),則函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1),(1,+∞)內(nèi)的零點個數(shù)分別為________. 解析 設(shè)y=x與y=ln x,作圖象可知f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)無零點,在(1,+∞)內(nèi)僅有兩個零點. 答案 0,2 5.(2011·常州模擬

3、)若函數(shù)f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2和3,則不等式af(-2x)>0的解集是________. 解析 ∵f(x)=x2+ax+b的兩個零點是-2,3. ∴-2,3是方程x2+ax+b=0的兩根, 由根與系數(shù)的關(guān)系知∴ ∴f(x)=x2-x-6.∵不等式af(-2x)>0, 即-(4x2+2x-6)>0?2x2+x-3<0, 解集為. 答案  6.(2011·山東省菏澤測試)設(shè)函數(shù)f(x)=則函數(shù)g(x)=f(x)-log4x的零點個數(shù)為________. 解析 設(shè)y=f(x)與y=log4 x,分別畫出它們的圖象,得恰有3個交點,所以函數(shù)g(x)的零點個數(shù)為3.

4、 答案 3 7.(2010·南通調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)g(x)=f(x)-m有3個零點,則實數(shù)m的取值范圍是________. 解析 畫出圖象,令g(x)=f(x)-m=0,即f(x)與y=m的圖象的交點有3個,∴0<m<1. 答案 (0,1) 二、解答題(每小題15分,共45分) 8.若函數(shù)f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)當a=0時,函數(shù)f(x)=-x-1為一次函數(shù),則-1是函數(shù)的零點,即函數(shù)僅有一個零點. (2)當a≠0時,函數(shù)f(x)=ax2-x-1為二次函數(shù),并且僅有一個零點,則一元二次方程ax2-x-1=0有兩個相等

5、實根.∴Δ=1+4a=0,解得a=-. 綜上,當a=0或a=-時,函數(shù)僅有一個零點. 9.關(guān)于x的方程mx2+2(m+3)x+2m+14=0有兩實根,且一個大于4,一個小于4,求實數(shù)m的取值范圍. 解 令f(x)=mx2+2(m+3)x+2m+14, 依題意得或即 或解得-<m<0, 即實數(shù)m的取值范圍是. 10.(★)已知函數(shù)f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個零點,求m的取值范圍,并求出該零點. 思路分析 由題意可知,方程4x+m·2x+1=0僅有一個實根,再利用換元法求解. 解 ∵f(x)=4x+m·2x+1有且僅有一個零點, 即方程(2x)2+m·2x+1=0僅

6、有一個實根. 設(shè)2x=t(t>0),則t2+mt+1=0. 當Δ=0時,即m2-4=0, ∴m=-2時,t=1;m=2時,t=-1(不合題意,舍去), ∴2x=1,x=0符合題意. 當Δ>0時,即m>2或m<-2時, t2+mt+1=0有兩正或兩負根, 即f(x)有兩個零點或沒有零點. ∴這種情況不符合題意. 綜上可知:m=-2時,f(x)有唯一零點,該零點為x=0. 【點評】 方程的思想是與函數(shù)思想密切相關(guān)的,函數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為方程問題來解決,方程問題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解決,本題就是函數(shù)的零點的問題轉(zhuǎn)化為方程根的問題. B級 綜合創(chuàng)新備選 (時間:30分鐘 滿分:

7、60分) 一、填空題(每小題5分,共30分) 1.(2011·蘇州模擬)偶函數(shù)f(x)在區(qū)間為[0,a](a>0)上是單調(diào),函數(shù),且f(0)·f(a)<0,則方程f(x)=0在區(qū)間[-a,a]內(nèi)根的個數(shù)是________. 解析 由f(0)·f(a)<0,且f(x)在[0,a](a>0)上單調(diào),知f(x)=0在[0,a]上有一根,又函數(shù)f(x)為偶函數(shù),f(x)=0在[-a,0]上也有一根.所以f(x)=0在區(qū)間[-a,a]內(nèi)有兩個根. 答案 2 2.(2010·南通調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)=x2-ax+a+3,g(x)=ax-2a.若存在x0∈R,使得f(x0)<0與g(x0)<0同時

8、成立,則實數(shù)a的取值范圍是________. 解析 g(x)=ax-2a=a(x-2), 當a<0時,x>2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7,舍去; 當a>0時,x<2,由f(2)<0,得4-2a+a+3<0,a>7. 綜上,a∈(7,+∞). 答案 (7,+∞) 3.(2010·南通模擬)如果函數(shù)f(x)=x2+mx+m+2的一個零點是0,則另一個零點是________. 解析 依題意知:m=-2. ∴f(x)=x2-2x, ∴方程x2-2x=0的另一個根為2,即另一個零點是2. 答案 2 4.(2011·鹽城市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)=1+x-+-+…+

9、,g(x)=1-x+-+-…-,設(shè)F(x)=f(x+3)·g(x-3),且函數(shù)F(x)的零點均在區(qū)間[a,b](a<b,a,b∈Z)內(nèi),則b-a的最小值為________. 解析 由f′(x)=1-x+x2-x3+…+x2 010=,則f′(x)>0,f(x)為增函數(shù),又f(0)=1>0,f(-1)<0,從而f(x)的零點在(-1,0)上;同理g(x)為減函數(shù),零點在(1,2)上,∴F(x)的零點在(-4,-3)和(4,5)上,要區(qū)間[a,b]包含上述區(qū)間(b-a)min=9. 答案 9 5.(2011·南京模擬)若直角坐標平面內(nèi)兩點P、Q滿足條件: ①P、Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;

10、 ②P、Q關(guān)于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P,Q)與(Q,P)看作同一個“友好點對”). 已知函數(shù)f(x)= 則f(x)的“友好點對”有________個. 解析 根據(jù)題意:“友好點對”,可知,只須作出 函數(shù)y=2x2+4x+1(x<0)的圖象關(guān)于原點對稱的圖象, 看它與函數(shù)y=(x≥0)交點個數(shù)即可. 如圖, 觀察圖象可得:它們的交點個數(shù)是:2. 即f(x)的“友好點對”有:2個. 答案 2 6.已知函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個零點在(2,3)內(nèi),則實數(shù)k的取值范圍是________. 解析 因為Δ=(1-k)2+

11、4k=(1+k)2≥0對一切k∈R恒成立,又k=-1時,f(x)的零點x=-1?(2,3),故要使函數(shù)f(x)=x2+(1-k)x-k的一個零點在(2,3)內(nèi),則必有f(2)·f(3)<0,即2<k<3. 答案 (2,3) 二、解答題(每小題15分,共30分) 7.已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2ax2+2x-3-a,如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-1,1]上有零點,求a的取值范圍. 解 當a=0時,函數(shù)f(x)=2x-3的零點x=?[-1,1]. 當a≠0時,函數(shù)f(x)在[-1,1]上的零點可能有一個與兩個這兩種情況. ①函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上只有一個零點,則有 或 解得

12、1≤a≤5或a=. ②函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上有兩個零點,則有 或 解得a<或a≥5. 綜上,得a的取值范圍是∪[5,+∞). 8.(1)m為何值時,f(x)=x2+2mx+3m+4. ①有且僅有一個零點;②有兩個零點且均比-1大; (2)若函數(shù)f(x)=|4x-x2|+a有4個零點,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)①f(x)=x2+2mx+3m+4有且僅有一個零點?方程f(x)=0有兩個相等實根?Δ=0,即4m2-4(3m+4)=0,即m2-3m-4=0,∴m=4或m=-1. ②法一 設(shè)f(x)的兩個零點分別為x1,x2, 則x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由題意,知? ? ∴-5<m<-1.故m的取值范圍為(-5,-1). 法二 由題意,知即 ∴-5<m<-1.∴m的取值范圍為(-5,-1). (2)令f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 則|4x-x2|=-a. 令g(x)=|4x-x2|, h(x)=-a. 作出g(x),h(x)的圖象. 由圖象可知,當0<-a<4, 即-4<a<0時,g(x)與h(x)的圖象有4個交點, 即f(x)有4個零點.故a的取值范圍為(-4,0).

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