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1、 一 定 積 分 的 元 素 法 (或 微 元 法 ) 通 過 對 不 均 勻 量 （ 如 曲 邊 梯 形 的 面 積 ， 變 速 直線 運 動 的 路 程 ） 的 分 析 ， 采 用 “ 分 割 、 近 似 代 替 、求 和 、 取 極 限 ” 四 個 基 本 步 驟 確 定 了 它 們 的 值 ， 并由 此 抽 象 出 定 積 分 的 概 念 ， 我 們 發(fā) 現(xiàn) ， 定 積 分 是確 定 眾 多 的 不 均 勻 幾 何 量 和 物 理 量 的 有 效 工 具 。 那么 ， 究 竟 哪 些 量 可 以 通 過 定 積 分 來 求 值 呢 ？ 為 了 說 明 微 元 法 ， 我 們 先 來 回
2、 顧 一 下 曲 邊 梯 形面 積 轉(zhuǎn) 化 為 定 積 分 的 計 算 過 程 。(1) 分 割 ： 任 意 劃 分 a,b為 n個 小 區(qū) 間1 , , 1,2, ,i ix x i n 相 應(yīng) 地 把 曲 邊 梯 形 分 為 n個 小 曲邊 梯 形 , 1,2, , iA i n 則 曲 邊 梯 形 的 面 積 為1 ,n iiA A (2)求 近 似 值 ： , 1 iii xx 則 有( ) , 1,2, ,i i iA f x i n (3) 取 極 限 ： | | 0 1lim ( )n i iT iA f x 從 而 1 ( ) .n i iiA f x 即 ( ) .baA f
3、 x dx 在 上 述 問 題 中 , 所 求 量 (即 面 積 )A滿 足 ：1。 與 區(qū) 間 a,b及 a,b上 連 續(xù) 函 數(shù) f(x)有 關(guān) ;2。 對 a,b具 有 可 加 性 ， ; 1 ini AA 即3。 )( ,)( iiii xoAfA 且 誤 差 為局 部 量 一 般 地 ,如 果 所 求 量 分 布 在 某 區(qū) 間 a,x上 ,或 者 說 是 區(qū)間 端 點 x的 函 數(shù) ,即 = (x),xa,b,而 (b)正 好 為 最 終 所 求的 值 .如 果 在 任 意 小 區(qū) 間 x,x+x上 ,能 把 的 微 小 增 量 近似 地 表 示 為 x的 線 性 形 式 f(x)
4、 x,其 中 f(x)為 某 一 連 續(xù) 函 數(shù) ,且 當(dāng) x0時 , -f(x)x=o(x),即 df(x)dx,那 么 只 要計 算 定 積 分 ( ) ba f x dx 就 能 求 出 量 .以 上 方 法 稱 為 微 元 法 . 二 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 面 積設(shè) 平 面 曲 線 C的 方 程 為 y=f(x),xa,b(f(x)0),這 一 曲 線繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 得 到 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 ,如 圖 xyO a bx x+xy=f(x)S 通 過 x軸 上 的 點 x與 x+x分 別 作 垂 直 于 x軸 的 平 面 ,它 們在 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 上 截 下 一 條 狹 帶 .當(dāng)
5、 x很 小 時 ,此 狹 帶 的 面 積 近 似 于 一 圓 臺 的 側(cè) 面 積 ,即 2 2 ( ) ( )S f x f x x x y 22 ( ) ) 1 ( ) ,yf x y xx 其 中 y=f(x+ x)-f(x).由 于 2 20 0lim 0, lim 1 ( ) 1 ( ),x x yy f xx 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 面 積 為所 以 22 1 .baS f x f x dx 2 22 ( ) ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( ) ( ).yf x y x f x f x x o xx 22 ( ) 1dS f x f x dx 故 2 22S y t x t y t
6、dt . 若 光 滑 曲 線 C由 參 數(shù) 方 程 x= x(t),y=y(t),t,給 出 ,且 y(t)0,則 由 弧 微 分 知 識 推 知 曲 線 C繞 x軸 轉(zhuǎn) 所 得 曲 面 的 面 積若 曲 線 由 極 坐 標(biāo) 方 程 r= r (q定 義 , 0 q ,則 旋 轉(zhuǎn) 曲曲 面 的 面 積 2 22S r r r d q q q q qsin . 24 .R 例 1 求 半 徑 為 R的 球 面 面 積 .繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 ,于 是 2 2y R x R x R, 解 :設(shè) 球 面 方 程 為 可 看 作 半 圓2 2 2x y R , 22 2 2 22 1RR xA R
7、 x dxR x a ao y x例 2 求 由 內(nèi) 擺 線 )0(sincos33 atay tax繞 x軸 旋 轉(zhuǎn) 而 成 的 旋 轉(zhuǎn) 曲 面 的 面 積 .解 : 由 對 稱 性 3 2 2 2 2204 3 3S a t a t t a t t dt sin ( cos sin ) sin cos ) 2 4 220 1212 5a t tdt a sin cos . 作 業(yè) P255： 1， 2， 3.qqqqq qq dA dttytxtyA ttyy txx dxxfxfdxxfA xx bxaxxfybaxfyxfy baba )()(sin)(2 )()( )()()(2 )()( )( )(1)(2)(2 )(,)()( 22 22 2給 出 ， 則 側(cè) 面 積 公 式 為若 曲 線 段 由 極 坐 標(biāo) 方 程 ：給 出 ， 則 側(cè) 面 積 公 式 為若 曲 線 段 由 參 數(shù) 方 程 的 側(cè) 面 積軸 旋 轉(zhuǎn) 一 周 所 得 旋 轉(zhuǎn) 體軸 所 圍 曲 邊 梯 形 繞 及，連 續(xù) ， 則 由 曲 線在及設(shè) 三 小 結(jié)
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