高中數(shù)學 第2講 直線與圓的位置關(guān)系 第1節(jié) 圓周角定理課件 新人教A版選修4-1

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1、第 二 講 直線與圓的位置關(guān)系 第一節(jié)圓周角定理 1了解圓周角、圓心角的概念;2理解并靈活運用圓周角定理及其推論,圓心角定理. 課 標 定 位 1對圓周角定理的考查(重點)2常與直角三角形的相關(guān)知識結(jié)合命題(難點)3多以選擇題、填空題的形式考查. No.1 預習學案 1圓周角定理及其推論(1)圓周角定理:圓上一條弧所對的_等于它所對的_的一半(2)推論1:_ 所對的圓周角相等;_ 中,相等的圓周角所對的_也相等(3)推論2:_ (或_)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是_ 2圓心角定理:圓心角的_等于它所對弧的_ 圓周角 圓心角同弧或等弧同圓或等圓弧 半圓直徑直徑度數(shù)度數(shù) 1下列命題中

2、正確的是()A圓周角的頂點一定在圓上B頂點在圓上的角是圓周角C圓周角的兩邊并不一定和圓相交D兩邊都和圓相交的角是圓周角 解析:A圓周角的頂點一定是在圓上的B頂點在圓上,但是若角的兩邊與圓沒有交點,也不是圓周角C圓周角的兩邊一定是與圓相交的D一個角的兩邊和圓相交,但若角的頂點不在圓上,也不是圓周角答案:A 解析:BACBDC,ACDABD,AEDBEC,AEBDEC,共有4對相等的角答案:C 3.如圖所示,已知 O為ABC的外接圓,ABAC6,弦AE交BC于D,若AD4,則AE_.答案:9 4如圖,已知 O的直徑AB垂直弦CD于點E,連接CO并延長交AD于點F,若CF AD,AB2,求CD的長

3、No.2 課堂學案 (2010遼寧高考)如圖,ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.與圓周角定理相關(guān)的證明 規(guī)律方法利用圓周角定理證明等量關(guān)系是一類重要的數(shù)學問題,在解決此題問題時,主要分析圓周角、圓心角、弧之間的關(guān)系,經(jīng)常與三角形聯(lián)系在一起進行考查 1.本例中,已知不變求證:BE2AEDE. 如圖,點A、B、C、D都在 O上,若 C34,求 AOB和 ADB的度數(shù)圓中相關(guān)角度數(shù)的求解 2.如圖所示,點A、B、C、D、E都在 O上,若 A14, E12,求 DOB的度數(shù) 有關(guān)圓弧的問題 規(guī)律方法(1)證明與弧有關(guān)問題的解題步驟根據(jù)題意作出輔助線;證明兩個圓心角、兩個圓周角,或兩條弧所

4、在的弦相等;利用圓周角定理的相關(guān)推論作出結(jié)論(2)注意事項在圓中,只要有弧,就存在著弧所對的圓周角因此,若要判斷兩弧相等,可以通過判斷兩條弧所對的圓周角相等其實圓心角、兩條弦、兩條弧中任何一組相等,那么它們所對應的其余各個量也相等 3.下列命題,是真命題的是()A相等的圓周角所對的弧相等B圓周角的度數(shù)等于圓心角的度數(shù)的一半C90的圓周角所對的弦是直徑D長度相等的弧所對的圓周角相等解析:在半徑不同的圓中,相等的圓周角所對的弧長不相等,因此A錯誤;根據(jù)圓周角定理可知,只有對應的是同一條弧才成立,因此B錯誤;根據(jù)圓周角定理的推論2,可得C正確;在半徑不同的圓中,長度相等的弧所對的圓周角不相等,因此D

5、錯誤;故選C答案:C 如圖,已知AB為 O的直徑,弦CD AB,垂足為H.(1)求證:AHABAC2;(2)若過A的直線與弦CD(不含端點)相交于點E,與 O相交于點F,求證:AEAFAC2;(3)若過A的直線與直線CD相交于點P,與 O相交于點Q,判斷APAQAC 2是否成立(不必證明) 直徑所對的圓周角 思路點撥要證AHABAC2及AEAFAC2只需證明三角形相似,利用直徑的性質(zhì) 規(guī)律方法在圓中,直徑是一條特殊的弦,其所對的圓周角是直角,所對的弧是半圓,利用此性質(zhì)既可以計算角大小、線段長度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系,還可以證明比例式相等 4.如圖,AB是 O的直徑,AB2 cm,點

6、C在圓周上,且 BAC30, ABD120,CD BD于D求BD的長 解析:連接BC,AB為O的直徑,ACB90A30,AB2 cm,BC1(cm ),ABD120,DBC1206060,CDBD,BCD906030,BD0.5 cm . 思路點撥要證等腰三角形,可分別用弧的度數(shù)表示APQ與AQP,然后根據(jù)等腰三角形的定義作出判斷圓周角定理和圓心角定理的綜合應用 規(guī)律方法如何應用圓周角和圓心角定理解題?觀察圖形,尋找相應弦及所對的??;利用圓周角定理和圓心角定理求出相關(guān)的角;進行適當變形;得出結(jié)論 5.如圖,已知A、B、C、D是 O上的四個點,ABBC,BD交AC于點E,連接CD、AD(1)求證

7、:DB平分 ADC(2)若BE3,ED6,求AB的長 1解題時如何將圓中的直徑與90的圓周角聯(lián)系在一起?一般地,若題目中有直徑,往往要作出直徑所對的圓周角,從而得到兩直線互相垂直;而要說明某一條弦為直徑時,也往往先得出該弦所對的圓心角為90.2方法提示和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計算,不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段,有時,還可以通過比例線段,相似比來計算 3利用圓中角的關(guān)系證明應注意哪些問題?(1)分析已知和所求,找出所在的三角形,并根據(jù)三角形所在圓的特殊性,尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁;(2)當圓中出現(xiàn)直徑時,要注意尋找直徑所對的圓周角,然后在直角三角形中處理相關(guān)問題4圓心角定理及其推論中的注意事項(1)圓心角定理中,圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù),與圓的半徑?jīng)]有關(guān)系,相同度數(shù)的圓心角所對的弧的度數(shù)相等;弧的度數(shù)相等,它們所對的圓心角的度數(shù)也相等 (2)在同圓或等圓中,相同度數(shù)的圓心角不但所對的弧的度數(shù)相等,而且弧長、所含的弦長也是相等的,若兩圓的半徑不相等,雖然圓心角相等,其所對的弧的度數(shù)也相等,但此時相應的弧長、所含的弦長并不相等(3)在推論1中,要理解“等弧”的概念所謂“等弧”,就是兩弧的度數(shù)和長度都相等,其實“等弧”所在的圓的半徑也是相等的(4)推論2的作用是把90的角與直徑聯(lián)系起來,這就架起了圓與代數(shù)運算的橋梁,在幾何證明中要注意直徑的運用

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