有限元分析課件

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1、 1)了解什么是有限單元法、有限單元法的基本思想。2)學(xué)習(xí)有限單元法的原理，主要結(jié)合彈性力學(xué)問題來介紹有限單元法的基本方法，包括單元分析、整體分析、載荷與約束處理、等參單元等概念。3)初步學(xué)會使用商用有限元軟件分析簡單工程問題。4)了解有限元軟件的基本結(jié)構(gòu)和有限單元法當(dāng)前的進展情況。 l課程評估作業(yè)25%隨堂測驗25%專題分析與報告50%l課程進度安排第16周，課堂教學(xué)第710周，學(xué)習(xí)ANSYS與上機練習(xí)第1215周，課堂教學(xué)第16周，課程總結(jié)/交流 1.王勖成,邵敏編著. 有限單元法基本原理和數(shù)值方法 . 北京 : 清華大學(xué)出版社, 19972.朱伯芳著. 有限單元法原理與應(yīng)用（第2版）.

2、北京: 中國水利水電出版社, 19983. Saeed Moaveni. Finite Element Method Theory and Application with ANSYS. New Jersey: Prentice-Hall, Inc., 1999 4. O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor. The finite element method( 5th ed). Oxford ; Boston : Butterworth-Heinemann, 20005.郭和德編. 有限單元法概論，清華大學(xué)，1998 1 有限單元法簡介1.1有限單元法的形成1.2有限單元

3、法的基本思路1.3有限單元法的計算步驟1.4有限單元法的進展與應(yīng)用 1.1有限單元法的形成l兩類典型的工程問題第一類問題，可以歸結(jié)為有限個已知單元體的組合。例如，材料力學(xué)中的連續(xù)梁、建筑結(jié)構(gòu)框架和桁架結(jié)構(gòu)。 平面桁架結(jié)構(gòu)，由6個承受軸向力的“桿單元”組成。1889年建成的Effiel塔，由18036個部件組成 大型編鐘“中華和鐘”的振動分析及優(yōu)化設(shè)計，由曾攀教授完成。 第二類問題，通?？梢越⑺鼈儜?yīng)遵循的基本方程，即微分方程和相應(yīng)的邊界條件。例如彈性力學(xué)問題，熱傳導(dǎo)問題，電磁場問題等。熱傳導(dǎo)問題的控制方程與換熱邊界條件如下：tTcQzTzyTyxTx TThnT f 300MW汽輪機低壓轉(zhuǎn)子淬

4、火 兩類問題的對比l第一類問題的研究對象稱為離散系統(tǒng)。離散系統(tǒng)是可解的，但是求解復(fù)雜的離散系統(tǒng)，要依靠計算機技術(shù)。l第二類問題的研究對象稱為連續(xù)系統(tǒng)?？梢越⒚枋鲞B續(xù)系統(tǒng)的基本方程和邊界條件，通常只能得到少數(shù)問題的解析解。對于許多實際的工程問題，需要用近似算法求解。 有限單元法形成的背景在尋找近似解法的過程中，工程師和數(shù)學(xué)家從兩個不同的路線得到了相同的結(jié)果，即有限單元法（Finite Element Method)。有限單元法的形成可以回顧到二十世紀50年代，它的形成直接得益于土木結(jié)構(gòu)分析中的矩陣位移法和在飛機結(jié)構(gòu)分析中所獲得的成果。 l 1954-1955年，J.H.Argyris在航空工程

5、雜志上發(fā)表了一組能量原理和結(jié)構(gòu)分析論文。l 1956年，M.J.Turner, R.W.Clough, H.C.Martin, L.J.Topp在紐約舉行的航空學(xué)會年會上介紹了一種新的計算方法，將矩陣位移法推廣到求解平面應(yīng)力問題。l 1960年， R.W. Clough在他的名為“The finite element in plane stress analysis”的論文中首次提出了有限元（Finite Element）這一術(shù)語 從固體力學(xué)的角度來看，桁架結(jié)構(gòu)與分割成有限個分區(qū)后的連續(xù)體在結(jié)構(gòu)上存在相似性。 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（1）l數(shù)學(xué)家們則發(fā)展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法，變

6、分原理和加權(quán)余量法。l在1963年前后，經(jīng)過J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞學(xué)磺）等許多人的工作，認識到有限單元法就是變分原理中Ritz近似法的一種變形，發(fā)展了用各種不同變分原理導(dǎo)出的有限元計算公式。 有限單元法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（2）l 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（張佑啟）發(fā)現(xiàn)只要能寫成變分形式的所有場問題，都可以用與固體力學(xué)有限單元法的相同步驟求解。l 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加權(quán)余量法特別是Galerkin法，導(dǎo)出標準的有限

7、元過程來求解非結(jié)構(gòu)問題。 我國學(xué)者的貢獻陳伯屏（結(jié)構(gòu)矩陣方法）錢令希（余能原理）錢偉長（廣義變分原理）胡海昌（廣義變分原理）馮康（有限單元法理論）20世紀60年代初期，馮康等人在大型水壩應(yīng)力計算的基礎(chǔ)上，獨立于西方創(chuàng)造了有限元方法并最早奠定其理論基礎(chǔ)。-數(shù)學(xué)辭海第四卷 1.2 有限單元法的基本思路l將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個分區(qū)或單元l用標準方法對每個單元提出一個近似解l將所有單元按標準方法組合成一個與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。 自重作用下等截面直桿的解受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長度為L，截面積為A，彈性模量為E，單位長度的重量為q，桿的內(nèi)力為N。試求：桿的位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力。 )()(

8、 xLqxN EA dxxLqEAdxxNxdL )()()( x xLxEAqEAdxxNxu 0 2 )2()()( )( xLEAqdxdux )( xLAqE xx 自重作用下等截面直桿的材料力學(xué)解答 自重作用下等截面直桿的有限單元法解答1）離散化如圖所示，將直桿劃分成n個有限段，有限段之間通過一個鉸接點連接。稱兩段之間的連接點為結(jié)點，稱每個有限段為單元。第i個單元的長度為L i，包含第i，i+1個結(jié)點。 2）用單元節(jié)點位移表示單元內(nèi)部位移第i個單元中的位移用所包含的結(jié)點位移來表示。)()( 1 ii iii xxL uuuxu 第i結(jié)點的位移 iuix第i結(jié)點的坐標 i iii L

9、uudxdu 1第i個單元的應(yīng)變i iiii L uuEE )( 1 i iiii L uuEAAN )( 1 應(yīng)力內(nèi)力 3）把外載荷集中到節(jié)點上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結(jié)點上 4）建立結(jié)點的力平衡方程2 )( 11 iiii LLqNN對于第i+1結(jié)點，由力的平衡方程可得： 1 i ii LL令221 )11(2)1( iiiiiii LEAquuu )(2)()( 11 121 iii iii ii LLqL uuEAL uuEA 根據(jù)約束條件，01 u對于第n+1個結(jié)點，第n個單元的內(nèi)力與第n+1個結(jié)點上的外載荷平衡，2nn qLN EAqLuu nnn 2 2

10、1 建立所有結(jié)點的力平衡方程，再加上約束條件可以得到由n+1個方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個結(jié)點的位移。 1.3 有限單元法的計算步驟有限單元法的計算步驟歸納為以下三個基本步驟：l網(wǎng)格劃分（離散化）l單元分析l整體分析 1.3.1網(wǎng)格劃分對彈性體進行必要的簡化，再將彈性體劃分為有限個單元組成的離散體。單元之間通過單元節(jié)點相連接。由單元、結(jié)點、結(jié)點連線構(gòu)成的集合稱為網(wǎng)格。 1.3.1網(wǎng)格劃分通常把三維實體劃分成四面體（Tetrahedron）或六面體（Hexahedron）單元的網(wǎng)格四面體4結(jié)點單元六面體8結(jié)點單元 1.3.1網(wǎng)格劃分三維實體的四面體單元劃分三維實體的六面體單元劃分 1.3.1

11、網(wǎng)格劃分通常把平面問題劃分成三角形（triangular)或四邊形(quadrilateral)單元的網(wǎng)格三角形3節(jié)點單元 四邊形4節(jié)點單元 1.3.1網(wǎng)格劃分平面問題的三角形單元劃分平面問題的四邊形單元劃分 1.3.2單元分析彈性力學(xué)問題的單元分析，就是建立各個單元的節(jié)點位移和節(jié)點力之間的關(guān)系式。由于將單元的節(jié)點位移作為基本變量，單元分析首先要為單元內(nèi)部的位移確定一個近似表達式，然后計算單元的應(yīng)變、應(yīng)力，再建立單元中節(jié)點力與節(jié)點位移的關(guān)系式。 1.3.2單元分析單元有三個結(jié)點I、J、M，每個結(jié)點有兩個位移u、v和兩個結(jié)點力U、V。 1.3.2單元分析單元的所有結(jié)點位移、結(jié)點力，可以表示為結(jié)點

12、位移、結(jié)點力向量（vector） mmjjiie vuvuvu mmjjiie VUVUVUF單元的結(jié)點位移和結(jié)點力之間的關(guān)系用張量（tensor）來表示 eee KF 1.3.3整體分析對由各個單元組成的整體進行分析，建立節(jié)點外載荷與結(jié)點位移的關(guān)系，以解出結(jié)點位移，這個過程為整體分析。在邊界結(jié)點i上受到集中力作用。結(jié)點i是三個單元的結(jié)合點，因此要把這三個單元在同一結(jié)點上的結(jié)點力匯集在一起建立平衡方程。 1.3.3整體分析i結(jié)點的結(jié)點力： e eiiii UUUU )()3()2()1( e eiiii VVVV )()3()2()1(i結(jié)點的平衡方程： iye eie ixei PV PU

13、)( )( 1.4有限單元法的進展與應(yīng)用1.4.1 主要研究領(lǐng)域與有限元軟件從二十世紀60年代中期以來，進行了大量的理論研究，不但拓展了有限單元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖?主要的研究領(lǐng)域有：計算方法：大型線性方程組的解法，非線性問題的解法，動力問題計算方法。高精度單元多物理場耦合與復(fù)雜材料模型 目前使用較多的通用有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制，由MSC維護開發(fā)MSC/Dytran動力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件 ABAQUS非線性分析軟件 一些專

14、用的有限元軟件如下表所列軟件名稱簡介Deform金屬體積成形分析Autoform金屬板料成形分析DYNAFORM金屬板料成形分析SysWeld焊接與熱處理分析 MSC中國http:/ ANSYS中國http：/ ADINAhttp:/ DEFORMhttp:/ AUTOFORMhttp:/ 1.4.2應(yīng)用實例有限單元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：l固體力學(xué)包括強度、穩(wěn)定性、震動和瞬態(tài)問題的分析；l傳熱學(xué)l電磁場l流體力學(xué) 轉(zhuǎn)向機構(gòu)支架的強度分析（劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動，用MSC/Nastran完成） 金屬體積成形過程的分析（用Deform軟件完成）型材擠壓成形模擬 T形鍛件的成形模擬 焊接殘余應(yīng)力分析（用Sysweld完成）焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力 結(jié)構(gòu)與焊縫布置 復(fù)雜形狀工件的組織轉(zhuǎn)變預(yù)測（用NSHT3D完成）淬火3.06 min 時的溫度、組織分布