2022-2023學(xué)年甘肅省張掖市高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期5月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

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1、一、單選題 1．已知等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2，則的值為（????） A． B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解. 【詳解】由于等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比均為2， 所以， 故選：D 2．如圖，在正方體中，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（????） ?? A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平移直線(xiàn)法找出直線(xiàn)與所成的角，結(jié)合余弦定理，即可求出答案. 【詳解】在正方體中，且，所以為平行四邊形， 則，所以即為直線(xiàn)與所成的角（或所成角的補(bǔ)角）， 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)， 所以，則， 在中，，， 所以在中，， 因?yàn)?/p>

2、，所以. 故選：D 3．設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)的均值為2，方差為，則數(shù)據(jù)的均值和方差分別為（????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，即可求解. 【詳解】根據(jù)題意，易知新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為； 方差為. 故選：D. 4．已知，A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（????） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn) 【答案】B 【分析】設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用可得答案. 【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以? 因?yàn)?，所以，即? 所以，整理得，其軌跡是橢圓. 故選：B. 5．《萊茵德紙草書(shū)》是世界上最古老

3、的數(shù)學(xué)著作之一，書(shū)中有一道這樣的題目改編：把個(gè)面包分給個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且使較大的三份之和的是較小的兩份之和，則最小的份為（????） A．個(gè) B．個(gè) C．個(gè) D．個(gè) 【答案】A 【分析】由題意，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，列方程組求出數(shù)列首項(xiàng). 【詳解】設(shè)每個(gè)人所得按從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為， 由題意知， 解得，最小的份為個(gè). 故選：A. 6．已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，圓，過(guò)作直線(xiàn)，與上述兩曲線(xiàn)自上而下依次交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先設(shè)，，則，，再根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)知，利用基本不等式求出最小值且等號(hào)成

4、立條件可求出，，從而可得到，即可得到直線(xiàn)的斜率. 【詳解】設(shè)，，則，. ∵，∴， 由拋物線(xiàn)的性質(zhì)知， ∴，則， ∴. 又∵， 得，∴， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，， 此時(shí)，∴，∴， ∴， 又∵， 故. 故選：A 【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線(xiàn)性質(zhì)，以及基本不等式求最值時(shí)等號(hào)成立的條件，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬于較難題. 7．等比數(shù)列滿(mǎn)足，，數(shù)列滿(mǎn)足，時(shí)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（????） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)與累加法求解， 【詳解】根據(jù)題意得，，解得，故， 時(shí)，， 故 ． 故選：A 8．已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，

5、且與雙曲線(xiàn)右支交于A，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，、的內(nèi)切圓的圓心分別為，，則面積的取值范圍是（????） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，求得面積的解析式，再利用函數(shù)單調(diào)性即可求得面積的取值范圍 【詳解】設(shè)圓與，，分別切于點(diǎn)，，. 由雙曲線(xiàn)定義知，， ∴， ∵，，， ∴，又， ∴，，即點(diǎn)為雙曲線(xiàn)的右頂點(diǎn). ∵軸，∴的橫坐標(biāo)為1，同理：橫坐標(biāo)也為1. ∵平分，平分.∴， 設(shè)、的內(nèi)切圓半徑分別為，， ∵軸，∴， ∵，∴. 設(shè)直線(xiàn)傾斜角為，又為雙曲線(xiàn)右支上兩點(diǎn)， 又漸近線(xiàn)方程為，∴由題意得，∴， ∴， 又在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，；

6、 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， ∴. 故選：B. 二、多選題 9．對(duì)于拋物線(xiàn)，下列描述不正確的是（????） A．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 B．開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為 C．準(zhǔn)線(xiàn)方程為 D．準(zhǔn)線(xiàn)方程為 【答案】BC 【分析】把拋物線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合性質(zhì)可得答案. 【詳解】因?yàn)?，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)開(kāi)口向上，焦點(diǎn)為，其準(zhǔn)線(xiàn)方程為，結(jié)合選項(xiàng)可得A,D正確. 故選：BC. 10．已知數(shù)列 的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．若 ，則 B．若 ，則的最小值為 C．若 ，則數(shù)列的前項(xiàng)和為 D．若數(shù)列為等差數(shù)列，且，則當(dāng)時(shí)，的最大值為 【答案】BC 【分析】令時(shí)，由求出可判斷A；由知

7、，，當(dāng)時(shí)，取得的最小值可判斷B；若，求出數(shù)列的前項(xiàng)和可判斷C；由數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可得，則可判斷D. 【詳解】對(duì)于A，由，當(dāng)時(shí)，， 由，當(dāng)時(shí)，，所以A不正確； 對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，，則， 所以當(dāng)時(shí)，取得的最小值為； 對(duì)于C，若 ，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為， 所以 ，故C正確； 對(duì)于D，數(shù)列為等差數(shù)列，且， 則， 所以， 當(dāng)時(shí)，的最大值為，所以D不正確. 故選：BC. 11．已知為雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)，關(guān)于一條漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)剛好落在雙曲線(xiàn)上，則下列說(shuō)法正確的是（ ） A． B．雙曲線(xiàn)的離心率 C． D．漸近線(xiàn)方程為 【答案】BC 【分析】漸近線(xiàn)與的交點(diǎn)為關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)

8、點(diǎn)為，連接，運(yùn)用三角形的中位線(xiàn)定理和雙曲線(xiàn)的定義，求得，再計(jì)算可得． 【詳解】如圖所示，雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，由對(duì)稱(chēng)性，取一條漸近線(xiàn)， 關(guān)于漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為， 直線(xiàn)與線(xiàn)段的交點(diǎn)為，連接，因?yàn)辄c(diǎn)與關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)， 則，且為的中點(diǎn)，所以， 根據(jù)雙曲線(xiàn)的定義，有，故A不正確； ，即， 所以，故B正確； 易知是以為直角的直角三角形，所以，故C正確； 由于，所以漸近線(xiàn)方程為，故D不正確. 故選：BC 12．已知數(shù)列滿(mǎn)足，下列命題正確的有（????） A．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列 B．當(dāng)時(shí)，數(shù)列一定有最大項(xiàng) C．當(dāng)時(shí)，數(shù)列為遞減數(shù)列 D．當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最

9、大項(xiàng) 【答案】BCD 【分析】分別代入和計(jì)算判斷AB選項(xiàng)；再利用放縮法計(jì)算判斷C選項(xiàng)；按k的范圍分類(lèi)，可判斷D； 【詳解】當(dāng)時(shí)，，知A錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，，， 所以可判斷一定有最大項(xiàng)，B正確； 當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，C正確； 當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，令， 解得，則，當(dāng)時(shí)，， 結(jié)合B，數(shù)列必有兩項(xiàng)相等的最大項(xiàng)，故D正確； 故選：BCD. 三、填空題 13．已知數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____. 【答案】 【分析】利用數(shù)列和與通項(xiàng)的關(guān)系，分兩種情況求解. 【詳解】當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 因?yàn)?，所以?xún)墒较鄿p可得； 顯然不滿(mǎn)足上式， 綜上

10、可得. 故答案為： 14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________ 【答案】12 【分析】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線(xiàn)時(shí)有最大值，進(jìn)而求目標(biāo)式的最大值. 【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得， ∴， 圓變形得，即圓心，半徑， 要使最大，即最大，又， ∴使最大即可. 如圖所示： ∴當(dāng)共線(xiàn)時(shí)，有最大值為， ∴的最大值為， ∴的最大值，即的最大值為11+1=12， 故答案為：12 15．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣和一枚質(zhì)地均勻的骰子各一次，記“硬幣正面向

11、上”為事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是________. 【答案】 【分析】根據(jù)題意求得其對(duì)立事件，然后根據(jù)其與對(duì)立事件之和為，即可得到結(jié)果. 【詳解】因?yàn)?，所以? 又因?yàn)闉橄嗷オ?dú)立事件， 所以 所以中至少有一件發(fā)生的概率為 故答案為: 16．已知為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（P不在y軸上），的重心為G，內(nèi)心為M，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)__________． 【答案】/0.5 【分析】根據(jù)重心坐標(biāo)公式以及內(nèi)切圓的半徑，結(jié)合等面積法，得到的關(guān)系，即可求解離心率. 【詳解】設(shè)，由于G是的重心，由重心坐標(biāo)公式可得， 由于，所

12、以的縱坐標(biāo)為， 由于是的內(nèi)心，所以?xún)?nèi)切圓的半徑為， 由橢圓定義得， ， ， 故答案為： 四、解答題 17．已知數(shù)列的首項(xiàng)，. (1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）應(yīng)用等比數(shù)列定義證明即可； （2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解計(jì)算即得. 【詳解】（1）因?yàn)?，所以? 即，且， 所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列. （2）由（1）可求得，所以，即. 18．已知橢圓：與拋物線(xiàn)：有相同的焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交橢圓于，兩點(diǎn)，且. （1）求橢圓與拋物線(xiàn)的方程； （2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)交

13、橢圓于，兩點(diǎn)，求面積的最大值. 【答案】（1）橢圓的方程為：，拋物線(xiàn)的方程為：；（2）最大值為1. 【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的性質(zhì)，結(jié)合已知進(jìn)行求解即可； （2）根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，結(jié)合橢圓弦長(zhǎng)公式、三角形面積公式、基本不等式進(jìn)行求解即可. 【詳解】解析：（1）因?yàn)?，所以不妨設(shè)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為， 所以有：，∴，， ∴橢圓的方程為：，拋物線(xiàn)的方程為：； （2）由（1）可知：的坐標(biāo)為：， 設(shè)直線(xiàn)的方程為：，到的距離為，則， 聯(lián)立可得：，則， ， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為1. 19．如圖，四棱錐的底面是梯形，為延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，平面是中點(diǎn). (1)證明：

14、； (2)若，三棱錐的體積為，求二面角的余弦值. 【答案】(1)證明見(jiàn)解析 (2) 【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，進(jìn)而證明平面即可證明結(jié)論； （2）由題平面，進(jìn)而根據(jù)等體積法得，再以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可. 【詳解】（1）證明：平面平面. . 又，平面 平面. 平面. 取的中點(diǎn)，連接為的中點(diǎn)， . . ， ， 為的中點(diǎn)，. 又平面 平面. 平面. （2）解： . ，且四邊形為矩形， 平面. ∴，解得， 以為原點(diǎn)，分別以方向?yàn)檩S，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 則， 易知

15、是平面的一個(gè)法向量. 設(shè)平面的一個(gè)法向量為， ∴，即，不妨取，得. . 由圖知二面角的平面角為銳角， 二面角的余弦值為. 20．某校從小明所在的高一年級(jí)的600名學(xué)生中，隨機(jī)抽取了50名學(xué)生，對(duì)他們家庭中一年的月均用水量（單位：噸）進(jìn)行調(diào)查，并將月均用水量分為6組：，，，，，加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖． (1)求出圖中實(shí)數(shù)的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計(jì)小明所在的高一年級(jí)的600名同學(xué)家庭中，月均用水量不低于11噸的約有多少戶(hù)； (2)在月均用水量不低于11噸的樣本數(shù)據(jù)中，小明決定隨機(jī)抽取2名同學(xué)家庭進(jìn)行訪談，求這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率

16、． 【答案】(1)，84戶(hù) (2). 【分析】（1）根據(jù)圖表求出在的頻率為0.1，則，從而求出不低于11噸的頻率為，再乘以600名同學(xué)即可得到相應(yīng)戶(hù)數(shù)； （2）首先求出樣本數(shù)據(jù)有5戶(hù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)，再用列舉法列出所有情況以及滿(mǎn)足題意的情況數(shù)，則可求出概率. 【詳解】（1）因?yàn)楦鹘M的頻率之和為1, 所以月均用水量在區(qū)間的頻率為 所以圖中實(shí)數(shù). 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量不低于11噸的頻率為 所以小明所在學(xué)校600名同學(xué)家庭中,月均用水量不低于11噸的約有 （戶(hù)） （2）設(shè)事件:這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組 由圖可知,樣本數(shù)據(jù)中月均用水量在的

17、戶(hù)數(shù)為. 記這五名同學(xué)家庭分別為,,,, . 月均用水量在的戶(hù)數(shù)為. 記這兩名同學(xué)家庭分別為,. 則選取的同學(xué)家庭的所有可能結(jié)果為: 共21種. 事件的可能結(jié)果為: ，共10種. 所以. 所以這2名同學(xué)中恰有1人所在家庭的月均用水量屬于組的概率為. 21．已知雙曲線(xiàn)的右焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在雙曲線(xiàn)C上. (1)求雙曲線(xiàn)C的方程； (2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)C的右支交于A，B兩點(diǎn)，在x軸上是否存在不與F重合的點(diǎn)P，使得點(diǎn)F到直線(xiàn)PA，PB的距離始終相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. 【答案】(1) (2)存在，，理由見(jiàn)解析 【分析】（1）首先得，再

18、將點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線(xiàn)方程，聯(lián)立方程求解，即可求雙曲線(xiàn)方程； （2）假設(shè)存在點(diǎn)，據(jù)題意設(shè)，聯(lián)立方程得到，，再由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等可得，由此代入式子即可求得點(diǎn)坐標(biāo)，再考慮斜率不存在的情況即可 【詳解】（1）由題意得，， 所以，所以，， 所以雙曲線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為； （2）假設(shè)存在，設(shè)，， 由題意知，直線(xiàn)斜率不為0，設(shè)直線(xiàn)， 聯(lián)立，消去，得， 則，， 且，， 因?yàn)槭沟命c(diǎn)F到直線(xiàn)PA，PB的距離相等，所以PF是的角平分線(xiàn)， 則，即，則， 整理得，故， 即，因?yàn)?，所以，此時(shí)； 當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，根據(jù)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性，易得也能讓點(diǎn)F到直線(xiàn)PA，PB的距離相等； 綜上所述，故存在滿(mǎn)足題意 22．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，為數(shù)列的前n項(xiàng)和. (1)求； (2)若對(duì)于，恒成立，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用裂項(xiàng)相消法求和可得答案； （2）根據(jù)的表達(dá)式，求出的范圍，得到的最大值，可得答案. 【詳解】（1）因?yàn)椋? 所以 . （2）當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，， 且隨n的增大而增大，所以，所以， 當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，， 且隨n的增大而減小，所以， 所以，綜上可得且，則， 所以的最大值為（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得）. 因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立，所以? 所以的取值范圍為.