聊城大學(xué)《固體物理》第一章1第四節(jié)

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1、第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院3） 倒 格 空 間 的 畫 圖 。 本 節(jié) 重 點(diǎn)1） 倒 格 子 的 定 義 ；2） 倒 格 子 與 正 格 子 間 的 關(guān) 系 ； 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 1、 倒 格 子 概 念 的 引 入晶體研究 已 知 成 分 X射 線 衍 射透 射 電 鏡 衍 射 晶 體 結(jié) 構(gòu)點(diǎn) 陣 常 數(shù)周 期 分 布 的 點(diǎn) 、 環(huán)倒 格 子未 知 成 分 結(jié) 構(gòu)測 成 分測 結(jié) 構(gòu) 能 譜 儀 、 電 子 探 針 等 X射 線 衍 射透 射 電 鏡 衍 射 周 期

2、 分 布的 點(diǎn) 、 環(huán)倒 格 子 晶 體 結(jié) 構(gòu)點(diǎn) 陣 常 數(shù)性 能 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 由 于 晶 格 的 周 期 性 ， 標(biāo) 志 晶 體 中 一 族 晶 面 特 征 的 是 它 的 法 線 的取 向 。 如 果 已 知 晶 格 的 基 矢 和 法 線 的 方 向 ， 即 可 得 出 晶 面 的 指數(shù) ， 進(jìn) 一 步 晶 面 族 中 最 靠 近 原 點(diǎn) 的 晶 面

3、 的 截 距 和 面 間 距 都 可 得出 ， 這 樣 ， 晶 面 族 就 完 全 決 定 。設(shè) 想 存 在 這 樣 的 逆 問 題 ： 晶 格 的 基 矢 是 未 知 的 ， 現(xiàn) 在 只 有 一 些 周期 性 分 布 的 點(diǎn) 子 （ 或 環(huán) ） ， 同 所 討 論 的 晶 格 中 的 每 族 晶 面 有 一 一對 應(yīng) 的 關(guān) 系 ， 則 通 過 對 應(yīng) 關(guān) 系 所 聯(lián) 系 的 規(guī) 律 ， 就 可 以 把 晶 格 的 基矢 確 定 下 來 ， 此 外 還 可 以 把 晶 面 族 指 數(shù) 確 定 出 來 。 所 謂 倒 格 子 就 是 類 似 上 面 所 設(shè) 想 的 那 些 點(diǎn) 子 所 組 成

4、的 格 子 。 所 說的 對 應(yīng) 關(guān) 系 即 晶 格 （ 正 格 子 ） 與 倒 格 子 之 間 聯(lián) 系 的 規(guī) 律 ， 就 是 數(shù)學(xué) 中 的 傅 里 葉 變 換 。 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 我 們 通 過 晶 體 X射 線 衍 射 來 引 入 倒 格 子 。O BBA APM S0 S 晶 面LL1 N N1C D如 圖 ， 相 鄰 平 行 晶 面 AA、 BB， 入 射 線 單 位 矢 量 為S0， 衍 射 線 單 位 矢 量 為 S。 M、 P、 O為 格 點(diǎn) 位 置 。晶 面 間 距 為 |OP|=d， 且 OP=l1a1+

5、l2a2+ l3a3。 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院2） 對 于 不 同 晶 面 上 的 原 子 P、 O， 反 射 后 光 程 差 為 ： 1） 對 于 同 一 晶 面 上 的 原 子 P、 M的 散 射 線 ， 處 于 反 射 線 位 置 時 ，光 程 差 為 0， 產(chǎn) 生 衍 射 加 強(qiáng) ； sin2dODCO 因 此 在 這 個 方 向 散 射 線 互 相 加 強(qiáng) 的 條 件 為 nd sin2 布 拉 格 方 程上 式 說 明 ， 晶 體 的 X衍 射 可 以 看 作 晶 面 反 射 。 只 有 在 滿 足 布 拉 格方 程 的

6、上 才 能 發(fā) 生 衍 射 。經(jīng) 過 O點(diǎn) 和 P點(diǎn) 的 X光 ， 衍 射 后 的 光 程 差 可 以 用 矢 量 表 示 ： SOPSOP 0 )( 0SSOP 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 又 X射 線 衍 射 加 強(qiáng) 的 條 件 為 nSSOP )( 0式 中 為 波 長 ， n為 整 數(shù) 。 引 入 衍 射 波 矢 和 衍 射 波 矢 ：)(2 00 SSkk 則 衍 射 加 強(qiáng) 的 條 件 變 為 nkkOP 2)( 0 令 0kkKh 則 nKOP h 2可 以 發(fā) 現(xiàn) 的 量 綱 是 互 為 倒 逆 的 ， 是 格 點(diǎn) 的 位

7、 置 矢 量 ，稱 為 正 格 矢 ， 稱 為 正 格 矢 的 倒 矢 量 ， 簡 稱 倒 格 矢 。hKOP與 OPhK 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 2、 倒 格 基 矢 與 正 格 基 矢 的 關(guān) 系如 圖 ， 以 原 點(diǎn) O建 立 正 格 子 ，其 基 矢 分 別 為 a1、 a2、 a3 ； 正格 子 的 坐 標(biāo) 面 a1a2， a2 a3， a3a1各 有 其 對 應(yīng) 的 晶 面 族 。 O 1a 2a3a因 此 得 到 三 個 矢 量 b 1， b2， b3， 稱 為 倒 格 子 基 矢 。設(shè) a1a2， a2 a3， a3a

8、1面 族 的 面 間 距 分 別 為 d3， d1， d2。 P3b作 OP垂 直 a1a2面 ， 并 另 OP= b3， 使 b3=2/ d3。1b同 理 ， 對 于 a 2 a3面 ， 得 到 b1 = 2/ d1 ；對 于 a3a1面 ， 得 到 b2 = 2/ d2。 2b 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 2133 22 aadb 又 因 矢 量 b3和 矢 量 a1 a2的 方 向 一 致 ， 所 以 33 2db 底Sd 3又 21 aa )(2 213 aab O 1a 2a3aP3b 1b 2b 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城

9、 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 同 理 還 有 ,)(2 132 aab )(2 321 aab 即 倒 格 子 基 矢 bj(j=1,2,3)和 正 格 子 基 矢 ai(i=1,2,3)之 間 符 合 以 下 關(guān)系 ： 又 正 格 子 體 積 )( 321 aaa )( 132 aaa )( 213 aaa 所 以 倒 格 子 基 矢 和 正 格 子 基 矢 存 在 如 下 關(guān) 系 ：,2 11 ab ,222 ab 33 2ab ijji ba 2若 i = j， 則 ai bj = 2 ； 若 i j， 則 ai bj = 0 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大

10、學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 (1)倒 格 子 線 度 的 量 綱 為 米 -1， 和 波 矢 的 單 位 相 同 ， 而 常 用 波 矢 來描 述 晶 格 和 電 子 的 運(yùn) 動 狀 態(tài) ， 可 以 認(rèn) 為 由 倒 格 子 所 組 成 的 空 間 為狀 態(tài) 空 間 ， 而 由 正 格 子 所 組 成 的 空 間 稱 為 坐 標(biāo) 空 間 ， 倒 格 子 是 正格 子 在 狀 態(tài) 空 間 的 化 身 。注 意 ：(2)由 倒 格 基 矢 在 三 維 空 間 重 復(fù) 取 點(diǎn) ， 可 以 得 到 倒 易 點(diǎn) 陣 。 倒 易 點(diǎn)陣 是 正 格 點(diǎn) 陣 經(jīng) 過 一 定 轉(zhuǎn) 化 導(dǎo) 出

11、的 抽 象 點(diǎn) 陣 。 倒 易 點(diǎn) 陣 的 每 一 個倒 易 點(diǎn) 對 應(yīng) 著 正 格 空 間 的 一 組 晶 面 。倒 易 點(diǎn) 陣 的 主 要 應(yīng) 用 ： 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院3、 倒 格 子 與 正 格 子 的 關(guān) 系1） 正 格 子 原 胞 體 積 與 倒 格 子 原 胞 體 積 之 積 等 于 3)2( 證 明 ： 設(shè) 倒 格 子 原 胞 體 積 為 *， 其 數(shù) 學(xué) 表 達(dá) 式 如 下 ：)( 321* bbb )()()()2( 2113323 3 aaaaaa (1)可 以 解 釋 衍 射 圖 像 ；(2)研 究 能 帶

12、 理 論 ；(3)推 導(dǎo) 晶 體 學(xué) 公 式 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 )()()()2( 2113323 3* aaaaaa 由 于 CBABCACBA )()()( 則 )()( 2113 aaaa 1213 )( aaaa 2113 )( aaaa 1213 )( aaaa 1a所 以 132 3 3* )()2( aaa 23 3)2( 所 以 3* )2( 2） 倒 格 子 與 正 格 子 互 為 對 方 的 倒 格 子證 明 ： 設(shè) 正 格 子 基 矢 為 ， 倒 格 子 基 矢 為 ， 倒 格子 的 倒 格 基 矢 為 3

13、21 , aaa 321 , bbb* 321 , bbb 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 按 照 倒 格 子 的 定 義 ， 倒 格 子 的 倒 格 基 矢 計 算 如 下 ：* 32*1 )(2 bbb 112 2* )2(2 aa 同 理 可 以 證 明 3322 * , abab )()()2(2 21132 2* aaaa 證 明 ： 設(shè) 正 格 子 基 矢 為 ， 321 , aaa 321 , bbb倒 格 子 基 矢 為 ，3） 倒 格 矢 量 與 正 格 子 晶 面 組 (h1h2h3)正 交332211 bhbhbhKh

14、第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 O C B A11ha 22ha33ha hK如 圖 設(shè) ABC是 離 原 點(diǎn) 最 近 的 晶 面 (h1h2h3)該 晶 面 在 三 個 晶 軸 上 的 截 距 矢 量 分 別 為 ：11haOA 22haOB 33haOC 則 1133 hahaOAOCAC 1122 hahaOAOBAB 所 以 ABKh )()( 1122332211 hahabhbhbh 022 ACKh )()( 1133332211 hahabhbhbh 022 倒 格 矢 量 與 正 格 子 晶 面 組 (h1h2h3)正 交3

15、32211 bhbhbhKh 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院hu+kv+lw=0 晶 帶 定 理 設(shè) 晶 帶 軸 的 晶 向 指 數(shù) 為 uvw， 由 矢 量 代 數(shù) 可 知 ， 該 晶 帶 中 任 一 晶面 (hkl)與 晶 帶 軸 指 數(shù) 間 具 有 如 下 關(guān) 系 ： 證 明 ： 根 據(jù) 上 述 結(jié) 論 ， 晶 面 (hkl)與 下 面 倒 格 矢 量 垂 直而 晶 帶 軸 平 行 于 晶 面 (hkl)， 所 以 晶 帶 軸 與 上 述 倒 格 矢 量 垂 直 ， 即0)()( * clbkahcwbvau 0)(2 lwkvhu 0

16、 lwkvhu 晶 帶 定 理 適 用 所 有 晶 系* clbkahKh 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 4） 倒 格 矢 量 Kh的 模 與 晶 面 族 (h1h2h3)的 面 間 距 成 反 比證 明 ： 設(shè) d是 晶 面 族 (h1h2h3)的 面 間 距 ， O C BA11ha 22ha33ha hKABC是 離 原 點(diǎn) 最 近 的 晶 面 (h1h2h3) 則 有 11haOA 22haOB 33haOC 設(shè) Kh與 晶 面 ABC正 交 于 一 點(diǎn) N， NONd ),cos( hKOAOA hhKKha 11 hK bhbh

17、bhha 33221111 hK2即 倒 格 矢 量 Kh的 模 與 晶 面 族 (h1h2h3)的 面 間 距 成 反 比 。 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院證 明 ： 根 據(jù) 倒 格 子 與 正 格 子 間 的 關(guān) 系 得 到 晶 面 族 (hkl)的 面 間 距 為 例 、 若 基 矢 a、 b、 c構(gòu) 成 簡 單 正 交 系 ， 證 明 ： 晶 面 族 (hkl)面 間 距 為)()()( 1 22 clbkahdhkl hklhkl Kd 2 321 2 blbkbh clbkah 222 2 又 設(shè) 正 格 子 三 個 晶 軸 方

18、 向 的 單 位 矢 量 分 別 為 ， 則 有 ， 所 以 上 式 化 簡 為 如 下 的 形 式 ：kji ,kccjbbiaa , 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院kc ljbkiahdhkl 222 2 cklb jkaih 222 2 )()()( 1 22 clbkah 若 晶 體 結(jié) 構(gòu) 為 立 方 系 ， 晶 格 常 數(shù) 為 a， 晶 面 族 (hkl)的 面 間 距 為 222 lkh adhkl 可 以 發(fā) 現(xiàn) ， 晶 面 指 數(shù) 簡 單 的 晶 面 族 ， 其 面 間 距 大 。 由 于 單 位 體 積 內(nèi)的 格 點(diǎn) 數(shù)

19、一 定 ， 則 必 有 面 間 距 大 的 晶 面 上 ， 格 點(diǎn) 分 布 的 密 度 大 。解 理 面 指 數(shù) ？ 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 5） 正 格 子 空 間 的 周 期 函 數(shù) 可 以 展 成 倒 格 矢 量 的 傅 立 葉 級 數(shù)在 正 格 子 空 間 中 ， 任 意 一 點(diǎn) 用 基 矢 表 示 ， 具 有 如 下 的 形 式 ：321 , aaa(xi不 一 定 是 整 數(shù) , i=1,2,3)332211 axaxaxx 則 一 個 具 有 晶 格 周 期 性 的 函 數(shù) V(x)表 示 如 下 ：(li是 整 數(shù) ,

20、 i=1,2,3)()( 332211 alalalxVxV 該 函 數(shù) 可 以 看 成 以 x1、 x2 、 x3為 變 量 ， 周 期 為 l 的 周 期 函 數(shù) ， 其 傅立 葉 級 數(shù) 表 示 如 下 ： )(2),( 332211321 321 321 xhxhxhixpeVxxxV hhh hhh h1， h2， h3為 整 數(shù) ， 其 中 系 數(shù) 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 ),()(2exp 3213322110 30 20 1321 xxxVxhxhxhidxdxdxV 111hhh 再 設(shè) 倒 格 子 基 矢 為 ，

21、則 根 據(jù) ， 用 倒 格 基 矢 來表 示 變 量 ： 321 , bbb ijji ba 2332211 axaxaxx xbx 33 21 xbx 11 21 xbx 22 21 )(2),( 332211321 321 321 xhxhxhixpeVxxxV hhh hhh 所 以 xbhbhbhiVhhh hhh )(exp 332211321 32 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 令 )exp()( xKiVxV hh h 則 傅 立 葉 級 數(shù) 為 為 一 倒 格 矢 量332211 bhbhbhKh 討 論 ： 已 知 晶 體

22、 結(jié) 構(gòu) 如 何 求 其 倒 格 呢 ？晶 體結(jié) 構(gòu) 正 格 正 格基 矢 倒 格基 矢 倒 格 321 , aaa 321 , bbb 332211 bhbhbhKh 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 例 、 下 圖 是 一 個 二 維 晶 體 結(jié) 構(gòu) 圖 ， 試 畫 出 其 倒 格 點(diǎn) 的 排 列 。a a a a iaa 1jaa 2解 ： ijji ba 2 )ji( 2 )(0 ji 0221 11 ba ba 2022 12 ba ba 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院jab iab

23、 2221 2211 bhbhKh 倒 格 是 邊 長 為 的 正 方 形 格 子 。a2即 a2 a2 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 例 、 證 明 體 心 立 方 的 倒 格 是 面 心 立 方 。 a bc a2 a1a3O解 ： 在 體 心 立 方 結(jié) 構(gòu) 中 ， 點(diǎn) 陣 常 數(shù) 為 a，, cba基 矢 為 原 胞 基 矢 為 321 , aaa建 立 如 圖 坐 標(biāo) 系 ， 根 據(jù) 矢 量 運(yùn) 算 把原 胞 基 矢 表 示 為 晶 胞 基 矢 ： kjiaa 2 1 kjiaa 22 kjiaa 23 3321 21 aaaa 第 五 節(jié) 倒 格 子 聊 城 大 學(xué) 物 理 科 學(xué) 與 信 息 工 程 學(xué) 院 213 132 321 222 aab aab aab jiab 22 kiab 21 kjab 23體 心 立 方 的 倒 格 是 邊 長 為 4/a的 面 心 立 方 。同 理 面 心 立 方 的 倒 格 是 邊 長 為 4/a的 體 心 立 方 。 kiaa 22 jiaa 21 kjaa 23