《期終復(fù)習(xí)》PPT課件

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1、.則 確定，12由方程),(設(shè).1 )0,1( 2 dz eexyzxyxzz z 1時(shí)，解得0,1解：當(dāng) zyx dy edxedyyzdxxzdz 22則 )1,0,1()1,0,1()0,1( zzyzzx z exyxzFFyzexy yzxFFxz eexyzxzyxF 2 2,2 22 12),(令 2 復(fù)習(xí)題二 2、交換積分次序 .),(20 4 2 2 xx dyyxfdx yy dxyxfdydxyxfdy 40402002 ),(),(解：原式 O 2 x 4-2y y=4-x2y=x-2 110 33 x y dyxedx、計(jì)算二次積分分析：這是先對(duì)y后對(duì)x的二次積分，但

2、先對(duì)y積分是積不出來的。故應(yīng)先交換積分次序，再計(jì)算。O 1 xy1 D y=xy=1先交換積分次序: y y dxxedy 010 3原式 10 2 321 dyey y )1(6161 1103 ee y 4、交換積分次序 .),(),( 21 2121 21 yy dxyxfdydxyxfdy xx dyyxfdx 121 ),(解：原式 O 1 2 x 2y21 x=2y=xxy 1 235. 1, ,( 1) ( ) .設(shè)為閉曲線取逆時(shí)針方向則yCC x yy x dx e x dy O 1 xy1 C Dy dxdyxdyxedxxy Green )2()()1( : 33 2公式得

3、由4)2(22 2 D dxdy利用對(duì)稱性C C dyxyxdxyxy yxC .)4sin()cos23( ,194.6 222的值為則曲線積分為正向閉曲線設(shè)O 2 x C D dxdydyxyxdxyxy Green )4sin()cos23( : 2公式得由6Cy 3 . ,0)2,(),(.7 22 xz yezxyxzz z則具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)其中確定由方程設(shè)函數(shù) 21 12 2 zzx ez xFFxz zzyx z ezFFxF yezxzyxF 2121 22 )2(,2,2 0)2,(),( 則令)(則點(diǎn),012 處的切平面平行于平面上點(diǎn)4、若曲面8 22的坐標(biāo)為Pzyx Py

4、xz )831,41,41)()831,41,41)( )831,41,41)()831,41,41)( DC BA 0)(1)(23)(22)( )( ),0(sincos.9 DCBAz Rtaatz tay tax 軸正向夾角的余弦為與向向量上任一點(diǎn)處的切線的方曲線 2212)cos(1,0,0 ,cos,sin 2 aakS kSkSkz atataS 所求夾角余弦為軸正向?yàn)槎繛榍€上任一點(diǎn)處的切向 A ) (),(,1,0 ,),(),(,),(、設(shè)10 2等于則所圍成的區(qū)域是由其中且連續(xù) DD dxdyyxfxxyy Ddudvvufxyyxfyxf(A) (B) 1 (C) 0

5、 (D) 81 81 Daxyyxfdxdyyxfa D ),(,),(則設(shè)adxaxx 31121)21( 10 25 O 1 xy x=1y=x2 2010 )()( xD dyaxydxdxdyaxya故有81 a )(,0,0,0,: ;0,:.11 22222 22221則有設(shè)空間區(qū)域 zyxRzyx zRzyx(A) (B) (C) (D) 21 4 xdVxdV 21 4 ydVydV 21 4 zdVzdV 21 4 xyzdVxyzdV O yzx O yzx1 2 22)(213)(213)(14)( ).(, )cos()sin(.12 2322 DCBAxoy jyex

6、iyeyxA xx的值為則的梯度場(chǎng)平面內(nèi)為某一數(shù)量函數(shù)在若向量場(chǎng) QdyPdx dyyexdxyeyxdu xx )cos()sin(: 2322 由題意知xQyP :關(guān)的充要條件定理得根據(jù)曲線積分與路徑無yexyex xx cos23cos 2222 B故選21,3 . ,)2,1,1(ln.13 222處指向下側(cè)的法向量在為曲面其中的方向?qū)?shù)處沿方向在點(diǎn)求數(shù)量場(chǎng)Myxzn nMz yxu 1,2,21,2,2, ),( )2,1,1(22 yxFFFn zyxzyxF Mzyx則令 0,21,0ln,ln2, )2,1,1(222 z yxyzxz yxuuugradu Mu Mzyx處的

7、梯度為在點(diǎn)而數(shù)量場(chǎng)nngradungradunu M 0則所求方向?qū)?shù)為 311,2,20,21,031 A B補(bǔ)充線段BA,設(shè)BA與曲線c共同圍成區(qū)域D52,32 5),(,23),( 222 xyxQxyyP yxyxyxQyxyyxP ).0,1()0,1()0(14 .,)5()23(.14 22 222 BAyyxc dyyxyxdxyxyI c到由點(diǎn)為上半橢圓其中計(jì)算曲線積分 O 1 xy D 22 21188 : DBAc dGreen公式得利用 BABAccI,從而 2422 11 dx c .)( .0)0(,),()( ,0)(,.15 )2,1( )0,0( dyxxyd

8、xx dyxxydxC C 計(jì)算積分且內(nèi)連續(xù)可微在其中積分若對(duì)任意光滑閉曲線O 1 xy (1,2)根據(jù)題意知該曲線積分與路經(jīng)無關(guān),yPxQ 故xx )(即0)0( 又221)( xx 1210 .21.)( 2010 )2,1( )0,0( 2)2,1( )0,0( dydx dyxxydxdyxxydx 從而 .11 ,)2(2.16 22 2上側(cè)為上半球面其中計(jì)算曲面積分yxz dydxzzdxydzdzxdyI 1)(1(,1: 221取下側(cè)補(bǔ)充平面 yxz zdv dydxzzdxydzdzxdyGauss4 )2(2 :1 2公式得根據(jù) 31144 21111020 zdzdddz

9、ddz )1:( 221 yxDdxdy xyDxy 而 314)(311 11 I O yzx 21 D yxyxyxDdxdyyx yx 1,1),(,18 2222其中、計(jì)算二重積分 O 1 xy利用極坐標(biāo)計(jì)算 DDD dddddxdyyx yx )sin(cossincos 222 x+y=1 122 yx 1 sincos 120 )sin(cos dd 22)1sin(cos20 d .41,2),(,)(.19 2222 zzyxzyxdxdydzyxzI其中計(jì)算 O yzx41(用柱坐標(biāo)) 10,2),( 221 zzyxzyx令 11I則 11 222 )( dzddzdxd

10、ydzyxz 其中 12842220 320 2 zdzdd 1 )( 22 dxdydzyxz而 21220 320 2 zdzdd 22552112811 I (用切片法) O yzx41 41,2),()( 22 zzyxyxzD切片z D(Z) )( 224122 )()( zD dxdyyxzdzdxdydzyxz )( 241 zD ddzdz 22552 41 3 20 32041 dzz ddzdz z .,)(.20 222 yxRzdSzy 為下半球面其中計(jì)算曲面積分 O R yzx zdSdSzy )(:利用對(duì)稱性得 22222 2222221 , yxR Rzz yxR

11、 yzyxR xz yx yx 則 xyD dxdyyxR RyxRzdS 222222 )(原式32 RRRdxdyR xyD Dxy A B補(bǔ)充線段BA,設(shè)BA與曲線c共同圍成區(qū)域Dyy yy exQxeyP yxeyxQxyeyxP ,12 cos),(,12),( .)1,1()1,1( ,)cos()12(.21 2的一段到上從點(diǎn)為曲線其中計(jì)算曲線積分BAxyc dyyxedxxyeI c yy O 1 xy D012 :對(duì)稱性公式得利用 DBAc xdGreen BABAccI,從而edxxe 2)12(0 1 1 c .01 ,.22 22 333部分取上側(cè)在是錐面其中求 zyx

12、z dydxzdxdzydzdyxI 1)(1(,1: 221取下側(cè)補(bǔ)充平面 yxz dvzyx dydxzdxdzydzdyxGauss )(3 : 222 3331公式得根據(jù) O yzx 109)(3)(3 231102022 dzzdddzddz )1:()1( 2231 yxDdxdy xyDxy 而 101109 11 I .01,)(.23 2222圍成與由曲面其中求 zyxzdVzyx dVzyxdVxyzyxdVzyx )()2()( 22222222對(duì)稱性 52sin 10 42020 drrdd O 1 yzx drddrr sin22球坐標(biāo) :)2,1,1(72 222處

13、的切平面方程在點(diǎn)先求曲面 zyx 2,1,222,2,4 )2,1,1( zyxn法向量為.)2,1,1(4 72.24 222處的切線方程在點(diǎn)求曲線 zyx zyx 722 0)2(2)1()1(2: zyx zyx即該切平面方程為 4722: zyx zyx則所求切線方程為 2,1,222,2,4 )2,1,1(1 zyxn法向量 1,0,11,1,12,1,221 nna 則切向量為120111: zyx則所求切線方程為 .22.25 22之間的最短距離與平面求曲面 zyxyxz O yzx 6 2222),(: 22 zyxdzyxzyxPyxz的距離到平面上點(diǎn)曲面)()22(61),

14、( 222 zyxzyxzyxF 令.06 )22( 2222下的條件極值在條件下面只要求 zyxzyxd 0 0)22(32 02)22(31 02)22(31 22 zyxF zyxF yzyxF xzyxFzyx 則由81,41 zyx解得唯一可能極值點(diǎn)為P6476 22: ,)81,41,41(, )81,41,41(min zyxd P且最短距離為就是最小值點(diǎn)所以點(diǎn)離肯定存在因由實(shí)際問題知最短距 在曲線C內(nèi)作一個(gè)足夠小的橢圓C1 :4(x-1)2+y2=r2(逆時(shí)針方向) )0,1(),(,)1(4 )1(4 )1(4 )1(),(,)1(4),( 222 22 2222 yxxQy

15、x yxyP yx xyxQyx yyxP . ,8,)1(4 )1(.26 2222沿逆時(shí)針方向?yàn)閳A周其中計(jì)算曲線積分xyxCyx dyxydxI C O 1 4 xy D00: 1 DCC dGreen 公式得利用 11, cCCCI從而 rrrdrr dyxydx DC 22)2(1)1(0 222 11 222)1(4 ryx C1 )0,0(),(,)4( 4 4),(,4),( 222 22 2222 yxxQyx yxyP yx xyxQyx yyxP .)2,1(1),0,1(1 )0,1(,4.27 2 22的路徑到再沿直線到點(diǎn)經(jīng)上半圓是由點(diǎn)其中計(jì)算曲線積分 DyxBxy A

16、cyx xdyydxI c O 1 xy D00: 1 DcDAc dGreen 公式得利用 11, cDAcDAccI從而 8781212arctan21140 11 202202 2 Dc dryxdyydxrydy AB cc1 2224 ryx .),(28 2 yxz，fyxxfz、 求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中設(shè)yffxz 121 )(1)1()( )1( 22222212 212 yxfyfyyxf fyfyyxz 22322122 1 fyxfyfyx .,),2(29 2 yxzxz，fyeyxfz、 x 求具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)其中設(shè)xyeffxz 212 )1()1(2 )2( 222121211 212 xxxxx effyefeeff fyefyyx z 22221211 )2(2 fyefefyef xxx