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1、第 5講 質數與合數 概念 1、質數 只有 1和本身是因數，沒有其 他因數 (也叫約數 ) 2、合數 除了 1 和本身之外，還有其他 的因數 注意： 1既不是質數也不是合數 分解質因數 每個合數都可以分解為一系列質數的積的 形式，這種過程叫做 分解質因數 。且這種 分解的結果是唯一的。 分解質因數是解決數字問題的常用思路 性質 1、 合數有無數個 如果你愿意，可以用任何一個數產生無數 個合數，比如 2n (n是自然數 ) 2、 質數也有無數個 我們找出開始的幾個質數： 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47， 53， 59，
2、 61， 67, 可以發(fā)現，質數逐漸 稀疏，即使如此，也可以證明，質數的個數有 無數個。 質數有無窮多個的經典證明 證：假設只有有限多個質數： p1， p2， ， pn , 構造一個數： N=(p1p2 pn)!+1, 則 N是一個新的質數 。 若不然 ， 則 N是一個合數 ， 于是 N可以被 p1， p2， ， pn中的某一個質數 pi整 除 ， 而 pi必然整除 (p1p2 pn)!， 因此 1=N- (p1p2 pn)!可被 pi整除 ， 矛盾 ！ 例題 1、試判別 359是不是質數 分析： 首先知道 182359192,約數都是成 對出現的，因此若 359有一個大于 18的約 數，則必
3、有一個小于 18的約數，因此只要 檢驗到 18的質因數即可。 用 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17依次試除 359， 發(fā)現都不是 359的約數，因此 359式質數。 2、求質數 p,使得 p+10和 p+14都是質數 試驗 ：此題看不出什么規(guī)律，因此不妨取幾個數字看 看，把 p取值分別為 2， 3， 5， 7， 11 可以發(fā)現什么？ 猜想 ： 除了 3 之外，后面的質數不太可能滿足條 件。但是，如何證明這一點？ 證明 :把所有的整數按照被 3 除的余數分類： 3k,3k-1.3k+1 3、將 1,2,3, ， 2000這些數任意排列成 為一行，得到一個數 N， 求證： N一定是個
4、合數。 分析：這樣的題目看似沒有方向，我們須 確定一點 其中必然隱藏了一些特點， 那就是解題的關鍵。 本題事實上用到了被 3 整除的數字特征。 2000個數字排列的時候，數字之和是一 個不變的東西，抓住這一點即可。 4、已知三個不同的質數 a,b,c滿足 abbc+a=2000,求 a+b+c。 分析：本題用到了分解質因數。 abbc+a=a(bbc+1)=24 53, 右邊只有 2 個質因數 ,故 a=2或 5 練習 1、 自然數 n至少含有 2 個大于 10的質因 數 ， 那么 n的最小值是 _. 2 、 3599是質數還是合數？ 解： 3599=3600-1=602-1 =（ 60+1）
5、（ 60-1） =61 59 因此 3599是一個合數。 3、用 1、 2、 3、 4、 5任意組成一個 五位數，所得的數中有幾個質數？ 解 :因為 1+2+3+4+5=15可以被 3整除 ,因 此這個五位數可以被 3 整除 ,因此其 中沒有質數 . 4、 p是質數。 +2也是質數，則 1997+ _ 2p 4p 5、 3 個不同的質數 m， n,p滿足 m+n=p， 則 mnp的最小值是 _ 6、已知三個質數 m,n,p的乘積等于它們 的和的 5 倍，則 _ 2 2 2m n p 7、 2 個質數的和為 1995，則它們的積 是 _ 8 、 a,b,c,d,e 是 5 個質數 ， 其中 ab,ac,ad,并且 a+b+c+d=e,則 a=_ 9、已知正整數 p,q都是質數，且 7p+q與 pq+11都是質數，試求 p,q的值。 10、 (1)是否存在連續(xù)個正整數 ， 他們 均為合數 ？ 若存在 ， 求出其中一組最小值； 若不存在 ， 說明理由 (2)寫出 10個連續(xù)的正整數，使其中每個 都是合數 . 11、某書店積存了若干畫片，按照每張 5 角出售，無人購買，現決定按照成本價出 售，一下子全部售出，共賣了 31元 9角 3 分， 問一共有多少張畫片？
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