《平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例（12頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十七) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
1．(2012豫東、豫北十校階段性測(cè)試)若向量a ＝(x ＋1,2)和向量b ＝(1，－1)平行，則|a ＋b |＝( )
A.10
B.10
2 C. 2
D.22
2．(2012廣東省考前適應(yīng)性訓(xùn)練)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，則a 在b 方向上的投影為( )
A.13
B.13
5 C.65
D.655
3.(2013汕頭質(zhì)檢)如圖，半圓的直徑AB ＝6，O 為圓心，C 為半圓上不同于A ，B 的任
意一點(diǎn)，若P 為半徑OC
2、 上的動(dòng)點(diǎn)，則(PA u u u r ＋PB u u u r )
PC u u u
r 的最小值是( )
A ．－9
2
B.92 C ．2
D ．－2
4．(2012湖南高考)在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB u u u r
BC u u u
r ＝1，則BC ＝( ) A. 3 B.7 C ．2 2
D.23
5．已知非零向量a ，b 滿足|a ＋b |＝|a －b |＝23
3
|a |，則a ＋b 與a －b 的夾角θ為( ) A ．30 B ．60 C ．120
D ．150
6．(2012廣州統(tǒng)考)如圖，在△ABC
3、 中，AD ⊥AB ，BC u u u r ＝3BD u u u r ，
|AD u u u r |＝1，則AC u u u r AD u u u r
＝( )
A ．2 3
B ．3 3 C.3
2
D. 3
7．(2013“江南十?！甭?lián)考)若|a |＝2，|b |＝4，且(a ＋b )⊥a ，則a 與b 的夾角是________． 8．(2012新課標(biāo)全國(guó)卷)已知向量a ，b 夾角為45，且|a |＝1，|2a －b |＝10，則|b |＝________.
9．(2012湛江模擬)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，
4、(a ＋b )
⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，則向量MN u u u u r
的模為_(kāi)_______．
10．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n )，a 與b 的夾角是45. (1)求b ；
(2)若c 與b 同向，且a 與c －a 垂直，求c . 11．已知|a |＝4，|b |＝8，a 與b 的夾角是120. (1)計(jì)算：①|(zhì)a ＋b |，②|4a －2b |； (2)當(dāng)k 為何值時(shí)，(a ＋2b )⊥(k a －b )?
12．設(shè)在平面上有兩個(gè)向量a ＝(cos α，sin α)(0≤α(1)求證：向量a ＋b 與a －b 垂直；
(2)當(dāng)向量
5、3a ＋b 與a －3b 的模相等時(shí)，求α的大?。?
1．已知兩個(gè)非零向量a ，b 滿足|a ＋b |＝|a －b |，則下面結(jié)論正確的是( ) A ．a(chǎn) ∥b
B ．a(chǎn) ⊥b
C ．|a |＝|b |
D ．a(chǎn) ＋b ＝a －b
2．(2012山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)四診)△ABC 的外接圓的圓心為O ，半徑為1，若AB u u u r ＋AC u u u
r ＝2AO u u u r ，且|OA u u u r |＝|AC u u u r |，則向量BA u u u r
在向量BC u u u r 方向上的射影為( )
A.32
B.32
C ．3
6、
D ．－
32
3．已知AB u u u r
＝(6,1)，BC u u u r ＝(x ，y )，CD u u u r ＝(－2，－3)．
(1)若BC u u u r ∥DA u u u r
，求x 與y 之間的關(guān)系式；
(2)在(1)條件下，若AC u u u r ⊥BD u u u r
，求x ，y 的值及四邊形ABCD 的面積．
[答 題 欄]
A 級(jí) 1._________ 2._________ 3._________ 4._________
5.__________
6._________
B 級(jí)
1.______
2.______
7.
7、__________ 8. __________ 9. __________ 答 案
課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二十七)
A 級(jí)
1．選C 依題意得，－(x ＋1)－21＝0，得x ＝－3，故a ＋b ＝(－2,2)＋(1，－1)＝(－1,1)，所以|a ＋b |＝(－1)2＋12＝ 2.
2．選D 依題意得，向量a 在b 方向上的投影為a b |b |＝2(－4)＋37(－4)2＋72
＝65
5.
3．選A 設(shè)|PO u u u r |＝x ，則(PA u u u r ＋PB u u u r )PC u u u
r ＝2PO u u u r PC u u u r ＝2|PO u
8、 u u r ||PC u u u r |cos π＝－2x (3
－x )＝2????x －322－92，所以x ＝32時(shí)，最小值為－9
2
. 4．選A ∵AB u u u r
BC u u u
r ＝1，且AB ＝2， ∴1＝|AB u u u r ||BC u u u r |cos(π－B )，∴|BC u u u r |cos B ＝－1
2
.
在△ABC 中，|AC |2＝|AB |2＋|BC |2－2|AB ||BC |cos B ， 即9＝4＋|BC |2－22????－12. ∴|BC |＝ 3.
5．選B 將|a ＋b |＝|a －b |兩邊同時(shí)平方得
9、ab ＝0； 將|a －b |＝23
3|a |兩邊同時(shí)平方得
b 2＝1
3
a 2，
所以cos θ＝(a ＋b )(a －b )|a ＋b ||a －b |＝a 2－b 243a 2＝1
2.
6.選D 建系如圖．
設(shè)B (x B,0)，D (0,1)，C (x C ，y C )，
BC u u u r
＝(x C －x B ，y C )， BD u u u r
＝(－x B,1)， ∵BC u u u r ＝3BD u u u r ，∴x C －x B ＝－3x B ?x C ＝(1－3)x B ，y C ＝3，AC u u u r ＝((1－3)x B ，3)，
10、
AD u u u r ＝(0,1)，AC u u u r AD u u u r
＝ 3.
7．解析：設(shè)向量a ，b 的夾角為θ.由(a ＋b )⊥a 得(a ＋b )a ＝0，即|a |2＋a b ＝0，
∵|a |＝2，∴a b ＝－4，∴|a ||b |cos θ＝－4，又|b |＝4，∴cos θ＝－12，即θ＝2π
3.∴向量a ，b
的夾角為2π
3
.
答案：2π3
8．解析：∵a ，b 的夾角為45，|a |＝1， ∴a b ＝|a ||b |cos 45＝2
2
|b |， ∴|2a －b |2＝4－42
2
|b |＋|b |2＝10.
11、∴|b |＝3 2. 答案：3 2
9．解析：∵a ∥b ，∴x ＝4.∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，解得y ＝－4.
∴向量MN u u u u r ＝(－8,8)，∴|MN u u u u r
|＝8 2.
答案：8 2
10．解：(1)∵a b ＝2n －2，|a |＝5， |b |＝
n 2＋4，
∴cos 45＝
2n －25n 2＋4
＝2
2
， ∴3n 2－16n －12＝0(n >1)．
∴n ＝6
12、或n ＝－2
3(舍)．∴b ＝(－2,6)．
(2)由(1)知，a b ＝10，|a |2＝5. 又∵c 與b 同向，故可設(shè)c ＝λb (λ>0)． ∵(c －a )a ＝0， ∴λb a －|a |2＝0.∴λ＝
|a |2b a ＝510＝1
2
.
∴c ＝1
2
b ＝(－1,3)．
11．解：由已知得，a b ＝48????－1
2＝－16. (1)①∵|a ＋b |2＝a 2＋2a b ＋b 2 ＝16＋2(－16)＋64＝48， ∴|a ＋b |＝4 3.
②∵|4a －2b |2＝16a 2－16a b ＋4b 2 ＝1616－16(－16)＋464＝7
13、68， ∴|4a －2b |＝16 3. (2)∵(a ＋2b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋2b )(k a －b )＝0， ∴k a 2＋(2k －1)a b －2b 2＝0， 即16k －16(2k －1)－264＝0. ∴k ＝－7.
即k ＝－7時(shí)，a ＋2b 與k a －b 垂直．
12．解：(1)證明：因?yàn)?a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2＝(cos 2α＋sin 2α)－14＋3
4＝0，
所以a ＋b 與a －b 垂直．
(2)由|3a ＋b |＝|a －3b |，兩邊平方得 3|a |2＋23ab ＋|b |2＝|a |2－23ab ＋3|
14、b |2， 所以2(|a |2－|b |2)＋43ab ＝0. 而|a |＝|b |，所以ab ＝0， 則????－12cos α＋3
2sin α＝0， 即cos(α＋60)＝0， 所以α＋60＝k 180＋90， 即α＝k 180＋30，k ∈Z .
又0≤α＜360，則α＝30或α＝210.
B 級(jí)
1．選B 因?yàn)閨a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a b ＝0，故a ⊥b .
2．選A 由已知條件可以知道，△ABC 的外接圓的圓心在線段BC 的中點(diǎn)O 處，因此△
ABC 是直角三角形，且∠A ＝π2.又|OA u u u r |＝|CA
15、 u u u r |，所以∠C ＝π3，∠B ＝π
6，AB ＝3，AC ＝1，故
BA u u u r 在BC u u u r 上的射影|BA u u u r |cos π6＝3
2.
3．解：(1)∵AD u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u
r ＋CD u u u r ＝(x ＋4，y －2)， ∴DA u u u r ＝－AD u u u r
＝(－x －4,2－y )．
又∵BC u u u r ∥DA u u u r 且BC u u u
r ＝(x ，y )，
∴x (2－y )－y (－x －4)＝0， 即x ＋2y ＝0.①
(2)由于
16、AC u u u r ＝AB u u u r ＋BC u u u
r ＝(x ＋6，y ＋1)，
BD u u u r ＝BC u u u
r ＋CD u u u r ＝(x －2，y －3)， 又AC u u u r ⊥BD u u u r ，
所以AC u u u r BD u u u r ＝0，
即(x ＋6)(x －2)＋(y ＋1)(y －3)＝0.② 聯(lián)立①②化簡(jiǎn)，得y 2－2y －3＝0. 解得y ＝3或y ＝－1. 故當(dāng)y ＝3時(shí)，x ＝－6，
此時(shí)AC u u u r ＝(0,4)，BD u u u r
＝(－8,0)， 所以S ABCD ＝12
|AC u u u
r ||BD u u u r |＝16；
當(dāng)y ＝－1時(shí)，x ＝2，
此時(shí)AC u u u r ＝(8,0)，BD u u u r
＝(0，－4)， ∴S ABCD ＝12
|AC u u u
r ||BD u u u r |＝16.
平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例
