信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第4版第2章

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1、第二章 連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析 第二章將研究線性時(shí)不變（ LTI）連續(xù)系統(tǒng)的分析方法，即對(duì)于給 定的激勵(lì)，根據(jù)描述系統(tǒng)響應(yīng)與激勵(lì)之間關(guān)系的微分方程求得其響 應(yīng)的方法。由于分析是在時(shí)間域內(nèi)進(jìn)行的，稱為時(shí)域分析。 本章將在用經(jīng)典法求解微分方程的基礎(chǔ)上，討論零輸入響應(yīng)，特 別是零狀態(tài)響應(yīng)的求解。在引入系統(tǒng)的沖激響應(yīng)后，零狀態(tài)響應(yīng)等 于沖激響應(yīng)與激勵(lì)的卷積積分。沖激響應(yīng)和卷積積分概念的引入， 使 LTI系統(tǒng)分析更加簡(jiǎn)捷，明晰，它們?cè)谙到y(tǒng)理論中有重要作用。 11 1 1 0 - 1 1 - 1 1 - 1 0 ( ) , ( ) , L T I ( ) ( ) ( ) ( ) (2.1- 1a ) nn n

2、 mm m m m i f t y t n y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b b f t a 一 、 微 分 方 程 的 經(jīng) 典 解 一 般 而 言 ， 如 果 單 輸 入 - 單 輸 出 系 統(tǒng) 的 激 勵(lì) 為 響 應(yīng) 為 則 描 述 連 續(xù) 系 統(tǒng) 激 勵(lì) 與 響 應(yīng) 之 間 關(guān) 系 的 數(shù) 學(xué) 模 型 是 階 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 ， 它 可 寫 為 或 縮 寫 為 00 ( 2.1 - 1b) ( 0 , 1 , , ) ( 0 , 1 , , ) 1 nm ij j ij i j n hp hp y t b f t a

3、i n b j m a y t y t y t y t y t 式 中 和 均 為 常 數(shù) ， 。 該 微 分 方 程 的 全 解 由 齊 次 解 余 函 數(shù) 和 特 解 組 成 ， 即 ( 2.1 - 2) 2.1 LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng) 11 1 1 0 1 1 1 0 0 ( 2.1 3 ) 2.1 3 0 0, nn n tt n t n t t t n y t a y t a y t a y t C e C e C e C a e C a e C a e C 齊 次 解 齊 次 解 是 齊 次 微 分 方 程 的 解 ， 它 是 形 式 為 的 一 些 函 數(shù) 的 線 性 組 合 。

4、將 代 入 式 （ ） ， 得 由 于 且 對(duì) 1 1 1 0 0 2.1 4 2.1 1 ) 2.1 3 ) 1 , 2 , , 2- 1 nn n h ii t a a a n i n yt C D A 任 意 上 式 均 成 立 ， 上 式 可 簡(jiǎn) 化 為 （ ） 上 式 稱 為 微 分 方 程 式 ( 、 ( 的 特 征 方 程 ， 其 個(gè) 根 （ ） 稱 為 微 分 方 程 的 特 征 根 。 齊 次 解 的 函 數(shù) 形 式 由 特 征 根 確 定 ， 表 列 出 了 特 征 根 取 不 同 值 時(shí) 所 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 解 ， 其 中 、 、 ii 和 等 為 待 定 系 數(shù) 。

5、 1 2 .1 - 1 2 .1 - 5i i n t hi i i n y t C e C 例 如 ， 若 方 程 式 （ ） 的 個(gè) 特 征 根 均 為 實(shí) 單 根 ， 則 其 齊 次 解 式 中 常 數(shù) 將 在 求 得 全 解 后 ， 由 初 始 條 件 確 定 。 12 - 1 - 2 1 2- 1 h t r t r t t rr yt Ce r C t e C t e C t e C 表 不 同 特 征 根 所 對(duì) 應(yīng) 的 齊 次 解 特 征 根 齊 次 解 單 實(shí) 根 重 實(shí) 根 0 1 , 2 12 1 1 2 2 00 c os si n c os , c os c os c

6、 os t t j rr r r r r e e C t D t A t a j Ae C j D r A t t A t t At 一 對(duì) 共 軛 復(fù) 根 或 其 中 重 共 軛 復(fù) 根 t e 2- 2 iP 特 解 特 解 的 函 數(shù) 形 式 與 激 勵(lì) 函 數(shù) 的 形 式 有 關(guān) 。 表 列 出 了 幾 種 激 勵(lì) 及 其 所 對(duì) 應(yīng) 的 特 解 。 選 定 特 解 后 ， 將 它 代 入 到 原 微 分 方 程 ， 求 出 各 待 定 系 數(shù) ， 就 得 出 方 程 的 特 解 。 1 1 1 0 2- 2 ( ) ( ) 0 p m m m m m rm m f t y t t P

7、 t P t P t P t P t 表 不 同 激 勵(lì) 所 對(duì) 應(yīng) 的 特 解 激 勵(lì) 特 解 所 有 的 特 征 根 均 不 等 于 01 1 10 r 0 e e e e m m tt tt P t P Pa P t P 有 重 等 于 的 特 征 根 不 等 于 特 征 根 ； 1 r 1 1 0 e e e e c os( ) c os( ) si n( ) r t r t t t r a P t P t P t P a r t P t Q t j 等 于 特 征 單 根 ； 等 于 重 特 征 根 所 有 的 特 征 根 均 不 等 于 或 ( ) ( ) si n c os j

8、t A t Ae P j Q 或 ， 其 中 1 2 . 2 - 1 2. 1 - 6 ( ) 0 0 , i i n t h p i p i y t y t y t C e y t f t t y t 全 解 式 （ ） 的 常 系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 完 全 解 是 齊 次 解 與 特 解 之 和 。 如 果 微 分 方 程 的 特 征 根 均 為 實(shí) 單 根 ， 則 其 全 解 為 （ ） 設(shè) 激 勵(lì) 信 號(hào) 是 在 時(shí) 接 入 的 ， 微 分 方 程 的 全 解 也 適 合 于 區(qū) 間 ） 。 對(duì) 1 2 1 0 0 0 0 n i n n y y y y C 于 階 常

9、系 數(shù) 線 性 微 分 方 程 ， 利 用 已 知 的 個(gè) 初 始 條 件 、 、 、 、 就 可 求 得 全 部 待 定 系 數(shù) 。 2 2. 1 - 1 L T I ( ) 5 ( ) 6 ( ) ( ) 1 ( ) 2 , 0 ; 0 2 , ( 0) 1 2 ( ) , 0 ; 0 1 , ( 0) 0 1 2. 1 - 7 t t y t y t y t f t f t e t y y f t e t y y 例 描 述 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 求 ： （ ） 當(dāng) 時(shí) 的 全 解 ； （ ） 當(dāng) 時(shí) 的 全 解 。 解 （ ） 式 （ ） 的 特 征 方 程 為 2 12 2

10、3 12 5 6 0 2 , 3 2- 2 ( ) 2 tt h t y t C e C e f t e 其 特 征 根 - - 。 微 分 方 程 的 齊 次 解 由 表 可 知 ， 當(dāng) 輸 入 時(shí) ， 其 特 解 可 設(shè) 為 t p y t P e 23 12 2. 1 - 7 5 ( ) 6 2 1 ppp t t t t t p t t t hp y t y t y t Pe Pe Pe e P y t e y t y t y t C e C e e 將 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 和 f(t) 代 入 到 式 （ ） ， 得 由 上 式 可 解 得 。 于 是 得 微 分 方 程

11、 的 特 解 微 分 方 程 的 全 解 其 一 階 導(dǎo) 數(shù) 2 3 12 12 12 12 2 2 3 0, ( 0) 1 2 ( 0) 2 3 1 1 3 , 2 , ( ) 3 t t t t y t C e C e e t y C C y C C CC y t e 令 并 將 初 始 值 代 入 ， 得 由 上 式 可 解 得 = =- 最 后 得 微 分 方 程 的 全 解 3 2 , 0 ( 2 .1- 9) tt e e t 齊次解 特解 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) L T I () 2 1 2. 1 - 8 , i ft C 由 以 上 可 見 ， 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型 常 系

12、數(shù) 線 性 微 分 方 程 的 全 解 由 齊 次 解 和 特 解 組 成 。 齊 次 解 的 函 數(shù) 形 式 僅 依 賴 于 系 統(tǒng) 本 身 的 特 性 ， 而 與 激 勵(lì) 的 函 數(shù) 形 式 無(wú) 關(guān) ， 稱 為 系 統(tǒng) 的 自 由 響 應(yīng) 或 固 有 響 應(yīng) 。 但 應(yīng) 注 意 ， 齊 次 解 的 系 數(shù) 是 與 激 勵(lì) 有 關(guān) 的 。 特 解 的 形 式 由 激 勵(lì) 信 號(hào) 確 定 ， 稱 為 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) 。 （ ） 由 于 微 分 方 程 與 （ ） 相 同 ， 故 特 征 根 也 相 同 ， 齊 次 解 仍 如 式 （ ） 即 23 h 1 2 2 22 10 2 2 2 1 1

13、 1 1 0 1 0 0 ( ) 2 2- 2 ( ) ( ) 2. 1 - 7 10 6 4 5 10 6 tt t tt p ppp t t t y t C e C e f t e y t P te P e y y y f t P P P te P P P P P e e 當(dāng) 激 勵(lì) 時(shí) ， 其 指 數(shù) （ - ） 與 特 征 根 之 一 相 重 。 由 表 知 ， 其 特 解 應(yīng) 為 將 、 、 和 代 入 到 式 （ ） 并 稍 加 整 理 ， 得 （ 4 ） （ -4 ） 由 上 式 10 22 0 1, tt p PP y t te P e 可 解 得 但 未 能 求 得 （ 這

14、是 因 為 激 勵(lì) 的 指 數(shù) 與 特 征 根 相 重 ） ， 于 是 微 分 方 程 的 特 解 2 3 2 2 2 3 2 1 2 0 1 0 2 2 3 2 2 1 0 2 1 0 2 1 ( ) ( ) 2( ) 3 2 0, ( 0) 1 ( 0) 2 t t t t t t t t t t t y t C e C e te P e C P e C e te y t C P e C e e te t y C P C y C P 微 分 方 程 的 全 解 為 其 一 階 導(dǎo) 數(shù) 將 初 始 條 件 代 入 , 得 02 1 0 2 2 3 2 1 0 1 0 3 1 0 2 , 1

15、, ( ) 2 , 0 ( 2. 1- 10 ) 2 t t t C C P C y t e e te t C P C P 由 上 式 解 得 - 最 后 得 微 分 方 程 的 全 解 上 式 第 一 項(xiàng) 的 系 數(shù) 中 ， 不 能 區(qū) 分 和 ， 因 而 也 不 能 區(qū) 分 自 由 響 應(yīng) 和 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) 。 i sin( ) 0 a t a t e e t a 通 常 ， 當(dāng) 輸 入 信 號(hào) 是 階 躍 函 數(shù) 或 有 始 的 周 期 函 數(shù) （ 例 如 ， 有 始 正 弦 函 數(shù) 、 方 波 等 ） 時(shí) ， 穩(wěn) 定 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) 也 可 分 解 為 瞬 態(tài) （ 暫 態(tài) ）

16、 響 應(yīng) 和 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 。 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 是 指 激 勵(lì) 接 入 以 后 ， 全 響 應(yīng) 中 暫 時(shí) 出 現(xiàn) 的 分 量 ， 隨 著 時(shí) 間 的 增 長(zhǎng) ， 它 將 消 失 。 也 就 是 說 ， 全 響 應(yīng) 中 按 指 數(shù) 衰 減 的 各 項(xiàng) 如 、 等 ， 其 中 組 成 瞬 態(tài) 分 量 。 如 果 系 統(tǒng) 微 分 方 程 的 特 征 根 的 實(shí) 部 均 為 負(fù) （ 這 樣 的 系 統(tǒng) 是 穩(wěn) 定 的 ， 其 齊 次 解 均 按 指 數(shù) 衰 減 2. 1 - 1 ） ， 那 么 ， 由 全 響 應(yīng) 中 除 去 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 就 是 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) ， 它 通 常 也 是 由 階

17、躍 函 數(shù) 或 周 期 函 數(shù) 組 成 的 。 對(duì) 于 特 征 根 有 正 實(shí) 部 的 不 穩(wěn) 定 系 統(tǒng) 或 激 勵(lì) 不 是 階 躍 信 號(hào) 或 有 始 周 期 信 號(hào) 的 系 統(tǒng) ， 通 常 不 這 樣 區(qū) 分 （ 如 例 ） 。 23 h 1 2 2. 1 - 2 5 6 ( ) ( ) ( 2. 1- 11 ) ( ) 10 c os , 0 , ( 0) 2 , ( 0) 0 2. 1 - 1 2- 2 , tt y t y t y t f t f t t t y y y t C e C e 例 描 述 某 系 統(tǒng) 的 方 程 為 求 輸 入 時(shí) 的 全 響 應(yīng) 。 解 本 例 的

18、微 分 方 程 與 例 相 同 ， 故 其 齊 次 解 為 由 表 因 輸 入 為 余 弦 函 數(shù) ， 其 特 解 c os si n ( ) 2. 1 - 11 5 6 ) c os ( 5 6 ) si n 10 c os 0 5 5 10 5 5 0 p ppp y t P t Q t y y y f t P Q P t Q P Q t t t PQ PQ 將 、 、 和 代 入 方 程 式 （ ） 得 （ - 因 上 式 對(duì) 所 有 的 成 立 ， 故 有 23 12 23 12 4 4 4 1, c os si n 2 c os ( 2.1- 12) 2 c os 2 3 2 si

19、n 0, p tt tt PQ y t t t t y t C e C e t y t C e C e t t 由 上 式 解 得 得 方 程 的 特 解 于 是 方 程 的 全 解 ， 即 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) 其 一 階 導(dǎo) 數(shù) - 令 并 代 入 初 始 條 件 ， 得 12 12 12 23 0 1 2 0 2 3 1 0 2 , 1 , 2 2 c os 0 ( 2.1- 13) 4 tt y C C y C C CC y t e e t t 由 上 式 可 解 得 最 后 得 該 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) ， 固有響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 瞬態(tài)響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) j j t j t j L T

20、I c os e e e e Re Re 10 , p zs p p jt f t F t f t F F F F y t f t f t y t y t y t f t e 通 常 ， 對(duì) 于 系 統(tǒng) ， 當(dāng) 輸 入 為 余 正 弦 函 數(shù) 時(shí) ， 為 求 得 其 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) ， 可 設(shè) 式 中 ， 并 進(jìn) 一 步 求 得 方 程 的 特 解 。 根 據(jù) 線 性 性 質(zhì) ， 當(dāng) 激 勵(lì) 時(shí) ， 應(yīng) 有 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 。 對(duì) 于 本 例 ， 設(shè) 微 分 方 程 的 特 解 為 j jj j 4 ( ) 2. 1 - 11 , j 5 6 e 10 e 10 2 5 j 5 t p ppp

21、 tt y t Y e y y y f t Y Y Y Ye 將 、 、 和 代 入 方 程 式 （ ） 得 （ - ） 令 上 式 等 號(hào) 兩 端 系 數(shù) 相 等 ， 得 得 微 分 方 程 的 特 解 44 z 2 2 R e 2 c os 4 2 .1 - 1 2 jtj jt p s p p y t e e e y t y t y t t 于 是 系 統(tǒng) 的 穩(wěn) 態(tài) 響 應(yīng) 與 式 （ ） 結(jié) 果 相 同 。 0 0 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) 0 00 ( ) 0( ) 0 0 ( ) ( 0 ) ( ) 0 , 1 , , 1 0 ( ) ( 0 ) ( ) jj

22、jj f t t t t t t t t t t y y t j n t t y y t 二 、 關(guān) 于 與 初 始 值 在 用 經(jīng) 典 法 解 微 分 方 程 時(shí) ， 若 輸 入 是 在 或 時(shí) 接 入 的 ， 那 么 方 程 的 解 也 適 用 于 或 。 為 確 定 的 待 定 系 數(shù) 所 需 的 一 組 初 始 條 件 是 指 或 時(shí) 刻 的 值 ， 即 或 （ ） 。 在 系 統(tǒng) 分 析 中 ， 或 時(shí) ， 激 勵(lì) 已 經(jīng) 接 入 ， 因 而 或 包 含 輸 入 信 號(hào) 的 作 用 - - -0 ( ) ( ) -0 0 () 0 ( ) ( 0 ) ( ) 0( ) ( ) L T

23、 I ( jj j t t t y y t t t t y t y ， 它 不 便 于 描 述 系 統(tǒng) 的 歷 史 信 息 。 在 系 統(tǒng) 分 析 中 ， 或 時(shí) ， 激 勵(lì) 尚 未 接 入 ， 因 而 響 應(yīng) 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 在 該 時(shí) 刻 的 值 或 反 映 了 系 統(tǒng) 的 歷 史 情 況 而 激 勵(lì) 無(wú) 關(guān) ， 它 們 為 求 得 或 的 響 應(yīng) 提 供 了 以 往 歷 史 的 全 部 信 息 ， 稱 這 些 值 為 初 始 狀 態(tài) 。 通 常 ， 對(duì) 于 具 體 的 系 統(tǒng) ， 初 始 狀 態(tài) 常 容 易 求 得 。 這 樣 ， 為 求 解 描 述 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程

24、時(shí) ， 就 需 要 從 已 知 的 初 始 狀 態(tài) - ( ) ( ) ( ) - 0 0 0 ) ( ) ( 0 ) ( ) j j j y t y y t 或 設(shè) 法 求 得 或 。 下 面 以 二 階 系 統(tǒng) 為 例 具 體 說 明 。 2. 1 - 3 L T I 2 2 ( 2.1- 13) 0 1 , 0 1 , ( ) , ( 0 ) 0 ( ) 2 2 y t y t y t f t f t y y f t t y y f t t y t y t y t t 例 描 述 某 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 已 知 求 和 。 解 ： 將 輸 入 代 入 微 分 方 程 ， 得

25、0 ( 2.1- 14) ( 2. 1- 14 ) ( 2. 1- 14 ) ( ) ( 2.1 t tt y t t y t y t a t b t c t r t 因 式 對(duì) 所 有 的 成 立 ， 故 等 號(hào) 兩 端 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 的 系 數(shù) 應(yīng) 分 別 相 等 ， 于 是 知 式 中 必 含 有 ， 即 含 有 沖 激 函 數(shù) 導(dǎo) 數(shù) 的 最 高 階 為 二 階 ， 故 令 0 1 10 - 15 ) ( ) ( 2. 1- 15 ) ( ) ( 2.1- 16) ( ) ( ) ( ) d t a b c r t t t y t a t b t r t r t c t r

26、x x 式 中 、 、 為 待 定 常 數(shù) ， 函 數(shù) 中 不 含 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 。 對(duì) 式 等 號(hào) 兩 端 從 到 積 分 ， 得 上 式 中 t它 不 含 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 。 2 t 21 - 2. 1 - 16 ( ) ( ) ( ) ( 2.1- 17) ( ) ( ) ( ) d ( t y t a t r t r t b t r x x t 對(duì) 式 （ ） 等 號(hào) 兩 端 從 - 到 積 分 ， 得 式 中 它 也 不 含 0 1 2 ) 2. 1 - 15 2. 1 - 16 2. 1 - 17 2. 1 - 14 ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )

27、 2 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) a t a b t a b c t r t r t r t tt 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 。 將 式 （ ） 、 （ ） 、 （ ） 代 入 到 微 分 方 程 式 （ ） 并 稍 加 整 理 ， 得 2. 1 - 18 () 1 2 0 2 2 1 , 2 , 5 2. 1 - 16 , 00 ( 0 ) t a ab a b c a b c a b yy （ ） 上 式 中 等 號(hào) 兩 端 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 的 系 數(shù) 應(yīng) 分 別 相 等 ， 故 得 由 上 式 可 解 得 。 將 、 代 入 式 （ ） 并 對(duì) 等 號(hào) 兩 端 從 到 進(jìn)

28、行 積 分 ， 有 0 0 0 1 0 0 0 ( 0 ) ( ) d 2 ( ) d ( ) dt t t t r t t - - - 1- 0 0 0 1 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) d 0 ( ) d 0 0 0 0 , ( ) d 1 , ( 0 ) ( 0 ) 2 ( 0 ) 1 , ( 0 ) ( 0 ) 2 1 r t t r t t t t t t yy y yy 由 于 不 含 （ ） 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) ， 而 且 積 分 在 無(wú) 窮 小 區(qū) 間 ， 進(jìn) 行 的 ， 故 ， 而 （ ） （ ） 故 有 已 知 得 同 樣 地 ， 0 0 0 0 0 0 0 0

29、0 0 2. 1 - 15 0 0 ( 0 ) ( 0 ) ( ) d 2 ( ) d 5 ( ) d ( ) d 0 0 ( ) ( ) ( ) 0 , ( 0 ) ( 0 ) a b c y y t t t t t t r t t t t r t yy 將 、 、 代 入 到 式 （ ） ， 并 對(duì) 等 號(hào) 兩 端 從 到 進(jìn) 行 積 分 ， 得 由 于 在 ， 區(qū) 間 、 及 的 積 分 均 為 故 得 5 ( 0 ) 1 ( 0 ) ( 0 ) 5 4 c y yy 將 代 入 上 式 得 - ( ) 0 0 0 0 1 ( ) () ( ) yt f t t yt y t t 由 上

30、 可 見 ， 當(dāng) 微 分 方 程 等 號(hào) 右 端 含 有 沖 激 函 數(shù) 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 時(shí) ， 響 應(yīng) 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 由 到 的 瞬 間 將 發(fā) 生 躍 變 。 這 時(shí) 可 按 下 述 步 驟 由 值 求 得 值 （ 仍 以 二 階 系 統(tǒng) 為 例 ） ： （ ） 將 輸 入 代 入 微 分 方 程 。 如 等 號(hào) 右 端 含 有 （ ） 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) ， 根 據(jù) 微 分 方 程 等 號(hào) 兩 端 各 奇 異 函 數(shù) 的 系 數(shù) 相 等 的 原 理 ， 判 斷 方 程 左 端 的 最 高 階 導(dǎo) 數(shù) 對(duì) 于 二 階 系 統(tǒng) 為 所 含 （ ） 導(dǎo) 數(shù) 的 最 高 階

31、 次 例 如 為 0 - ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) - , ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) ( ) 0 0 0 ( 0 ) t y t a t b t c t r t y t t y t y t y t y t y t yt y t y t y y 。 （ ） 令 對(duì) 進(jìn) 行 積 分 （ 從 到 ） 逐 次 求 得 和 。 （ ） 將 、 和 代 入 微 分 方 程 ， 根 據(jù) 方 程 等 號(hào) 兩 端 各 奇 異 函 數(shù) 的 系 數(shù) 相 等 ， 從 而 求 得 中 的 各 待 定 系 數(shù) 。 （ ） 分 別 對(duì) 和 等 號(hào)

32、兩 端 從 到 進(jìn) 行 積 分 ， 依 次 求 得 各 值 和 ( 0 ) 。 0 L T I ( ) ( 0) ( ) 2. 1 - 1 ( ) 0 zi n j j zi j yt x y t a y t （ ） 三 、 零 輸 入 響 應(yīng) 系 統(tǒng) 完 全 響 應(yīng) 也 可 分 為 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 零 輸 入 響 應(yīng) 是 激 勵(lì) 為 零 時(shí) 僅 由 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 所 引 起 的 響 應(yīng) ， 用 表 示 。 在 零 輸 入 條 件 下 ， 微 分 方 程 式 （ ） 等 號(hào) 右 端 為 零 ， 化 為 齊 次 方 程 ， 即 1 ( 2.1- 19

33、) ( 2.1- 20) 0 0 0 , ( 0 , 1 , , 1 ) j n t zi zij j zij jjj zi zi y t C e C y y y j n 若 其 特 征 根 均 為 單 根 ， 則 其 零 輸 入 響 應(yīng) 式 中 為 待 定 常 數(shù) 。 由 于 輸 入 為 零 ， 故 初 始 值 ( 2.1- 21) 2.1 20由 給 定 的 初 始 狀 態(tài) 即 可 確 定 式 （ ） 中 的 各 待 定 常 數(shù) 。 2. 1 - 4 ( ) 5 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( 2.1 - 22 ) ( 0 ) 1 , ( 0 ) 5 , 0 ( ) 5 y

34、 t y t y t f t f t yy zi zi y t y 例 若 描 述 某 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 和 初 始 狀 態(tài) 為 求 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 。 解 該 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 滿 足 方 程 及 初 始 值 2 0 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 1 ( 2. 1- 23) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 5 5 4 0 ( ) 4 ( ) i zi zi zi z zi y y y y y y t y t 上 述 微 分 方 程 的 特 征 方 程 為 12 4 12 4 12 1 , 4 , ( ) ( 2.1- 24) ( ) 4 (

35、2.1- 2 tt zi zi zi tt zi zi zi y t C e C e y t C e C e 特 征 根 - - 故 零 輸 入 響 應(yīng) 及 其 導(dǎo) 數(shù) 為 12 12 12 5) 0 2. 1 - 23 ( 2.1- 24) ( 2.1- 25) , 0 1 0 4 5 3 , 2 , 2. 1 - 24 , 3 zi zi zi zi zi zi zi zi zi t y C C y C C CC y t e 令 ， 將 式 （ ） 中 的 初 始 條 件 代 入 式 和 式 得 由 上 式 可 解 得 - 將 它 們 代 入 式 （ ） 得 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng)

36、 4 2 , 0 ( 2.1- 26) tt et nm j 0 i 0 ( ) 2. 1 - 1 ( ) ( ) ( 2.1 27 ) 00 zs ij ji j zs ft yt a y t b f t y zs 四 、 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 是 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 為 零 時(shí) ， 僅 由 輸 入 信 號(hào) 引 起 的 響 應(yīng) ， 用 表 示 。 這 時(shí) 方 程 式 （ ） 仍 是 非 齊 次 方 程 ， 即 初 始 狀 態(tài) 。 若 微 分 方 程 的 特 征 根 均 為 單 根 ， 則 其 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 1 ( 2.1 - 28) n zs zs j p

37、 j zs j p j t y t C e y t C y t 式 中 為 待 定 常 數(shù) ， 為 方 程 的 特 解 。 z s z s z s 2. 1 - 5 2. 1- 4 ( ) ( ) , y ( t) 5y ( t) 4y ( t) 2f ( t) 4f ( t) ( 2.1- 29) ( 0 ) ( 0 ) 0 ( ) ( ) , 2. 1 - 29 - -z s z s f t t yy f t t 例 如 例 中 的 系 統(tǒng) 輸 入 求 該 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 解 該 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 滿 足 方 程 及 初 始 狀 態(tài) 由 于 輸 入 代 入

38、 式 （ ） 后 等 號(hào) 右 端 將 含 有 沖 激 函 - 0 0 0 0 ( ) ( 2. 1- 29 ) ( ) 5 ( ) 4 ( ) 2 ( ) 4 ( ) ( 2. 1- 30 ) z s z s z s t ft y t y t y t t t 數(shù) ， 故 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 在 時(shí) 將 產(chǎn) 生 突 變 ， 其 不 等 于 值 。 為 此 ， 首 先 求 得 響 應(yīng) 的 值 。 將 代 入 式 ， 得 0 1 0 ( ) ( ) ( 2.1- 31a ) -, zs zs y t a t r t t y t r t 按 前 述 求 值 的 方 法 ， 令 對(duì) 上 式 積 分 （

39、從 到 ） 得 2 0 1 2 2.1- 31b 2. 1- 31c 2. 1 - 31 2. 1 - 30 , 2 2. 1 - 31 00 - zs y t r t r t r t r t t a 式 中 、 和 均 不 含 （ ） 及 其 導(dǎo) 數(shù) 。 將 式 （ ） 的 各 式 代 入 式 （ ） 不 難 求 得 。 對(duì) 式 （ ） 等 號(hào) 兩 端 積 分 （ 從 至 ） ， 得 0 1 0 00 0 00 0 0 d 0 0 0 d d 0 0 0 0 0 0 0 0 2 zs zs zs zs zs zs zs zs zs zs y y r t t y y a t t r t t a

40、 yy yy y y a 由 以 上 二 式 得 考 慮 到 ( 2.1- 32) 4 12 4 12 0 , 2. 1 30 5 4 4 2. 1 - 33 1 1 2 zs zs zs tt zs zs p tt zs zs zs t y t y t y t C e C e y t y t C e C e 對(duì) 于 式 （ - ） 可 寫 為 （ ） 不 難 求 得 其 齊 次 解 為 ， 其 特 解 ， 于 是 有 （ 4 12 4 12 12 4 .1 - 34 2. 1 - 32 0 1 0 4 2 21 2 1 , 0 t zs zs t zs zs zs zs tt zs t C

41、C e C C e CC y t e e t ） 將 式 （ ） 的 初 始 條 件 代 入 上 式 及 其 導(dǎo) 數(shù) （ 令 ） 得 - - 由 上 式 可 解 得 ， - 。 最 后 ， 得 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ( 2.1- 35) ( ) L T I 2. 1 - 6 L T I 2 2 ( 2.1 ft y t y t f t f t f t 在 求 解 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 時(shí) ， 若 微 分 方 程 等 號(hào) 右 端 含 有 激 勵(lì) 的 導(dǎo) 數(shù) 時(shí) ， 利 用 系 統(tǒng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 線 性 性 質(zhì) 和 微 分 特 性 ， 可 使 計(jì) 算 簡(jiǎn) 化 。 例

42、描 述 某 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 1 1 11 - 36) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 2 ( 2.1 - 37 ) f t t f t y t y t T f t y t y t f t 若 ， 求 該 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 解 設(shè) 僅 由 作 用 于 上 述 系 統(tǒng) 所 引 起 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 ， 即 顯 然 ， 它 滿 足 方 程 且 初 1 1 1 1 1 1 0 0 1. 6- 11 0 0 2. 1 - 36 2 - zs y y t T f t y t T f t y t y t y t y t 始 狀 態(tài) 為 零 ， 即 。 根

43、據(jù) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 微 分 特 性 式 ， 有 ， ， 根 據(jù) 線 性 性 質(zhì) ， 式 （ ） 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ( 2.1 - 38 ) 11 11 2 1 2 1 - 2. 1 - 37 0 0 0 0 2. 1 - 37 0. 5 00 0.5 1 0 2.1 - 3 t t f t t f t t y t y t t yy Ce y y t e t 現(xiàn) 在 求 當(dāng) 時(shí) 方 程 式 的 解 。 由 于 當(dāng) 時(shí) ， 等 號(hào) 右 端 僅 有 階 躍 函 數(shù) ， 故 含 有 跳 躍 ， 而 在 處 是 連 續(xù) 的 ， 從 而 有 。 不 難 求 得 式 的 齊 次 解 為 ， 特

44、 解 為 常 數(shù) ， 代 入 初 始 值 后 ， 得 ， 11 2 1 9a 0 , 0 2.1- 39a 0.5 1 2.1 - 39 b t y t t y t y t e t 由 于 為 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ， 故 時(shí) 。 式 可 寫 為 ， 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 0.5 1 2 2 2. 1 - 38 1 2 2. 1 - 40 t t t t t t t zs y t e t e t e t y t e t e t t e t y t y t y t y t t e t 其 一 階 、 二 階 導(dǎo) 數(shù) 分 別 為 將 、 和 代 入 式 ， 得 該 系 統(tǒng)

45、的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 可 見 ， 引 入 奇 異 函 數(shù) 后 ， 利 用 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 線 性 性 質(zhì) 和 微 分 特 性 ， 可 使 求 解 簡(jiǎn) 便 。 L T I 2.1- 41 0 , zi zs j j j zi zs ft y t y t y t y t y t y t j 五 、 全 響 應(yīng) 如 果 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 不 為 零 ， 在 激 勵(lì) 的 作 用 下 ， 系 統(tǒng) 的 響 應(yīng) 稱 為 全 響 應(yīng) ， 它 是 零 輸 入 響 應(yīng) 與 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 之 和 ， 即 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 為 ， - - - - 1 , , 1 2.1- 42 0 0 0

46、 0 2.1- 43 0 0 0 j j j zi zs j j j zi zs n t y y y y y y 上 式 對(duì) 也 成 立 ， 故 有 - 2.1- 44 0 0 0 0 0 0 0 2.1- 45 0 2.1- 44 2.1- 45 0 0 0 j zs j j j zi zi ty y y y 對(duì) 于 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ， 在 時(shí) 激 勵(lì) 尚 未 接 入 ， 故 ， 因 而 零 輸 入 響 應(yīng) 的 值 根 據(jù) 給 定 的 初 始 狀 態(tài) 即 值 ， 利 用 式 、 式 以 及 前 述 由 值 求 值 的 方 法 ， 可 求 得 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的

47、 值 。 1 1 1 1 L T I 2.1- 4 6 j j j j n n n t t t j p zij zs j p j j j n t j zi j y t C e y t C e C e y t C e C 綜 上 所 述 ， 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) 可 分 為 自 由 固 有 響 應(yīng) 和 強(qiáng) 迫 響 應(yīng) ， 也 可 分 為 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 。 若 微 分 方 程 的 特 征 根 均 為 單 根 ， 它 們 的 關(guān) 系 是 式 中 11 1 , 2 , , jj nn tt j zs j jj j zij zs j e C e C C C j n 即 ，

48、 zij j C C 可 見 ， 兩 種 分 解 方 式 有 明 顯 的 區(qū) 別 。 雖 然 自 由 響 應(yīng) 和 零 輸 入 響 應(yīng) 都 是 齊 次 方 程 的 解 ， 但 二 者 系 數(shù) 各 不 相 同 ， 僅 由 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 所 決 定 ， 而 要 由 系 統(tǒng) 的 初 始 狀 態(tài) 和 激 勵(lì) 信 號(hào) 共 同 來 確 定 。 在 初 始 狀 態(tài) 為 零 時(shí) ， 零 輸 入 響 應(yīng) 等 于 零 ， 但 在 激 勵(lì) 信 號(hào) 的 作 用 下 ， 自 由 響 應(yīng) 并 不 為 零 。 也 就 是 說 ， 系 統(tǒng) 的 自 由 響 應(yīng) 包 含 零 輸 入 響 應(yīng) 和 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的

49、 一 部 分 。 2. 1 - 7 L T I 3 2 2 6 2.1- 47 0 2 0 1 1 zi y t y t y t f t f t y y f t t yt 例 描 述 某 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 已 知 ， ， ， 求 該 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 、 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 和 全 響 應(yīng) 。 解 零 輸 入 響 應(yīng) 滿 足 方 程 - - 12 3 2 0 2.1- 48 2.1- 45 0 0 0 0 2 0 0 0 1 2. 1 - 48 1 zi zi zi zi zi zi zi y t y t y t y y y y y y 由 式 知 ， 其 值 式

50、的 特 征 根 - ， 2 12 12 2 0 2.1- 49 0 2 0 tt zi zi zi zi zi zi zi zi y C e C e y C C yC - ， 故 零 輸 入 響 應(yīng) 將 初 始 值 代 入 上 式 及 其 導(dǎo) 數(shù) ， 得 12 12 2 21 5 3 2.1- 49 5 3 0 2.1- 50 zi zi zi tt zi C CC y t e e t 由 上 式 解 得 ， - 。 將 它 們 代 入 式 ， 得 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 為 ， - - + 0 2 2. 1 - 47 3 2 2 6 2.1 - 51 0 0 0 0 0 zs zs

51、zs zs zs zs zs zs zs zs y t f t t yt y t y t y t t t y y y y t y t a t r t 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 是 初 始 狀 態(tài) 為 零 ， 且 時(shí) ， 式 的 解 ， 即 滿 足 方 程 及 初 始 狀 態(tài) 。 先 求 和 ， 由 于 上 式 等 號(hào) 右 端 含 有 ， 令 1 2 2.1- 52a - 2.1 - 52b zs zs t y t r t y t r t 積 分 從 到 得 - 00 - 0 1 00 - 2.1- 52c 2.1 - 51 2 2.1 - 52a 2.1 - 52b 0 0 d 0 d 0 0 -

52、0 2 , zs zs zs zs zs y t y t y t a r t t r t t y y a 將 、 和 代 入 式 可 求 得 。 對(duì) 式 、 等 號(hào) 兩 端 從 到 積 分 ， 并 考 慮 到 ， ， 可 求 得 - 0 - 0 0 0 2 0 0 0 2. 1 - 51 zs zs zs zs yy yy t 解 上 式 ， 得 ， 。 對(duì) 于 ， 式 可 寫 為 2 12 2 12 3 2 6 3 3 2.1- 53 zs zs zs tt zs zs tt zs zs zs y t y t y t C e C e y t C e C e 不 難 求 得 其 齊 次 解 為

53、 ， 其 特 解 為 常 數(shù) 。 于 是 有 將 初 始 值 代 入 上 式 及 其 導(dǎo) 數(shù) ， 得 12 12 12 2 0 3 0 0 2 2 4 , 1 2. 1 53 4 3 0 2.1- 54 3 zs zs zs zs zs zs zs zs tt zs y C C y C C CC y t e e t yt 由 上 式 可 求 得 - ， 將 它 們 代 入 式 ， 得 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 為 ， 全 響 應(yīng) 22 2 2.1- 50 2.1- 54 5 3 4 3 0 2 3 0 zi zs t t t t tt y t y t y t e e e e t e e

54、t 由 式 和 可 得 系 統(tǒng) 的 全 響 應(yīng) 為 ， ， 強(qiáng)迫響應(yīng) 自由響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng) 自由響應(yīng) 強(qiáng)迫響應(yīng) L T I 2. 2 1 t ht t 一 、 沖 激 響 應(yīng) 一 個(gè) 系 統(tǒng) ， 當(dāng) 其 初 始 狀 態(tài) 為 零 時(shí) ， 輸 入 為 單 位 沖 激 函 數(shù) 所 引 起 的 響 應(yīng) 稱 為 單 位 沖 激 響 應(yīng) ， 簡(jiǎn) 稱 沖 激 響 應(yīng) ， 用 表 示 ， 如 圖 所 示 。 就 是 說 ， 沖 激 響 應(yīng) 是 激 勵(lì) 為 單 位 沖 激 函 數(shù) 時(shí) ， 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ， 即 1-2 .2 ,0 tTth d e f 下面研究系統(tǒng)沖激響應(yīng)的求解方法

55、。 2.2 沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) 2. 2- 1 L T I 5 6 2.2 - 2 2. 2- 2 5 6 zs y t y t y t f t ht f t t y t h t ht h t h t h t t 例 設(shè) 描 述 某 二 階 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 求 其 沖 激 響 應(yīng) 。 解 根 據(jù) 沖 激 響 應(yīng) 的 定 義 ， 當(dāng) 時(shí) ， 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ， 由 式 可 知 滿 足 2.2 - 3 0 0 0 0 0 00 0 hh tt t t t t 由 于 沖 激 函 數(shù) 僅 在 處 作 用 ， 而 在 區(qū) 間 函 數(shù) 為 零 。 也 就 是 說 ， 激

56、勵(lì) 信 號(hào) 的 作 用 是 在 的 瞬 間 給 系 統(tǒng) 輸 入 了 若 干 能 量 ， 儲(chǔ) 存 在 系 統(tǒng) 中 ， 而 在 時(shí) 或 者 說 以 后 系 統(tǒng) 的 激 勵(lì) 為 零 ， 只 有 沖 激 引 入 的 那 些 儲(chǔ) 能 在 起 作 用 12 23 12 0 2.2- 3 2 3 2.2 - 4 a tt t h t C e C e t ， 因 而 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 由 上 述 儲(chǔ) 能 唯 一 地 確 定 。 因 此 ， 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 在 時(shí) 與 該 系 統(tǒng) 的 零 輸 入 響 應(yīng) 即 相 應(yīng) 的 齊 次 解 具 有 相 同 的 函 數(shù) 形 式 。 式 微 分 方 程

57、 的 特 征 根 - ， - 。 故 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 1 2 1 2 +- 0 00 0 2. 2- 3 0 0 2.2 3 2.2- 4b C C C C h h t h t a t r t 式 中 、 為 待 定 常 數(shù) 。 為 確 定 常 數(shù) 和 ， 需 要 求 出 時(shí) 刻 的 初 始 值 和 。 由 式 可 見 ， 等 號(hào) 兩 端 奇 異 函 數(shù) 要 平 衡 ， 根 據(jù) 前 面 討 論 的 由 值 求 值 的 方 法 ， 由 于 式 右 端 含 ， 故 設(shè) : 1 2 2.2 - 4c t h t r t h t r t 從 到 積 分 得 0 1 2 - 2.2 - 4d

58、 2.2 - 4b 2.2 - 4c 2.2 - 4d 2. 2- 3 1 2.2 - 4b 2.2 - 4c 0 0 r t r t r t t a 其 中 、 和 不 含 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 。 將 式 、 式 和 式 代 入 式 的 微 分 方 程 ， 并 根 據(jù) 等 號(hào) 兩 端 沖 激 函 數(shù) 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) 相 平 衡 ， 可 求 得 對(duì) 式 和 式 等 號(hào) 兩 端 從 到 積 分 ， 并 考 慮 - - - 0 0 0 0 1 0 0 - 0 - - d0 d0 0 0 d 0 0 0 0 0 1 r t t r t t h h a t t a hh h h a 到 ，

59、 ， 可 求 得 - - 故 - 12 12 12 23 0 0 0 2. 2- 4a 0 0 0 2 3 1 11 tt hh h C C h C C CC h t e e t 將 以 上 初 始 值 代 入 式 ， 得 - 由 上 式 解 得 ， ， 最 后 得 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 1 10 1 10 2.2- 5 0 0 0 , 1 , 2 , nn n nn n j n f t y t a y t a y t f t f t t h t h t a h t a h t t hj 一 般 ， 若 階 微 分 方 程 的 等 號(hào) 右 端 只 含 激 勵(lì) ， 即 若 則 當(dāng) 時(shí) ，

60、其 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 即 沖 激 響 應(yīng) 滿 足 方 程 ， 1 2.2 - 6 ,1 0 0 0 0 , 1 , 2 , , 2 2.2- 7 0 1 2.2- 6 j n j n h j n h j 用 前 述 類 似 的 方 法 ， 可 推 得 各 初 始 值 為 ， 如 果 式 的 微 分 方 程 特 征 根 1 1 10 1 , 2 , , 2.2 - 8 2. 2- 7 0 L T I j n t j j j n n m n m m n h t C e t C y t a y t a y t b f t b 均 為 單 根 ， 則 沖 激 響 應(yīng) 式 中 各 常 數(shù) 由 式 的

61、初 始 值 確 定 。 一 般 而 言 ， 若 描 述 系 統(tǒng) 的 微 分 方 程 為 1 10 11 1 1 1 1 0 1 1 2.2 - 9 1 2.2 9 2 .2- 10 2.2- 10 m nn n f t b f t ht y t f t y t y t a y t a y t f t h 求 解 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 可 分 兩 步 進(jìn) 行 ： 選 新 變 量 ， 使 它 滿 足 的 微 分 方 程 為 左 端 與 式 相 同 ， 而 右 端 只 含 ， 即 滿 足 方 程 令 式 系 統(tǒng) 的 沖 激 響 應(yīng) 為 1 1 1 1 0 1 , 2.2- 5) ( 2.2-

62、7) 2 L T I 2. 2- 9 2. 2- 11 mm mm t h t b h t b h t b h t 它 可 按 前 述 方 法 求 得 參 見 式 （ 至 。 根 據(jù) 系 統(tǒng) 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 的 線 性 性 質(zhì) 和 微 分 特 性 ， 可 得 式 （ ） 的 沖 激 響 應(yīng) teetth teetteeteeth teeteeteeth teeth th thththth th tftytyty ty th tftftftytyty tt tttttt tttttt tt n 32 323232 1 323232 1 32 1 1 111 1 111 1 63 12-2.2

63、14-2.2 949432 3232 2-2.21-2.213-2.2 14-2.2 32 12-2.2 11-2.2 13-2.2 65 12-2.2 3265 LTI 2-2.2 所述系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，得式將它們代入到式 別為它的一階、二階導(dǎo)數(shù)分 相同，即相同，故其沖激響應(yīng)也中式與例。由于式現(xiàn)在求 系統(tǒng)的沖激響應(yīng)知，式，則由式設(shè)其沖激響應(yīng)為 ，它滿足方程選新變量解法一 。求其沖激響應(yīng) 系統(tǒng)的微分方程為描述某二階例 de f L T I g 2. 2- 2 0 2.2- 16 t t g t T t 二 、 階 躍 響 應(yīng) 一 個(gè) 系 統(tǒng) ， 當(dāng) 其 初 始 狀 態(tài) 為 零 時(shí) ， 輸 入 為

64、 單 位 階 躍 函 數(shù) 所 引 起 的 響 應(yīng) 稱 為 單 位 階 躍 響 應(yīng) ， 簡(jiǎn) 稱 階 躍 響 應(yīng) ， 用 表 示 ， 如 圖 所 示 。 就 是 說 ， 階 躍 響 應(yīng) 是 激 勵(lì) 為 單 位 階 躍 函 數(shù) 時(shí) ， 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) ， 即 ， 若 1 10 2. 2- 5 2.2 - 17 0 0 , 0 1 2 1 nn n j n f t f t t gt g t a g t a g t t g j n 階 微 分 方 程 等 號(hào) 右 端 只 含 激 勵(lì) ， 如 式 。 當(dāng) 激 勵(lì) 時(shí) ， 系 統(tǒng) 的 零 狀 態(tài) 響 應(yīng) 即 階 躍 響 應(yīng) 滿 足 方 程 ，

65、 ， ， ， 1 0 1 0 0 0 0 , 1 , 2 , , 1 2.2- 20 2. 2- 19 1 g j n jj n t j j t g t g t n g g j n t C e t a 由 于 等 號(hào) 右 端 只 含 ， 故 除 外 ， 及 其 直 到 階 導(dǎo) 數(shù) 均 連 續(xù) ， 即 有 ， 若 方 程 式 的 特 征 根 均 為 單 根 ， 則 階 躍 響 應(yīng) 0 2.2- 21 1 2. 2- 19 2. 2- 20 0 2. 2- 9 L T I d j C a ft tt t t 式 中 為 式 的 特 解 ， 待 定 常 數(shù) 由 式 的 初 始 值 確 定 。 如 果

66、 微 分 方 程 的 等 號(hào) 右 端 含 有 及 其 各 階 導(dǎo) 數(shù) ， 如 式 ， 則 可 根 據(jù) 系 統(tǒng) 的 線 性 性 質(zhì) 和 微 分 特 性 求 得 階 躍 響 應(yīng) 。 由 于 單 位 階 躍 函 數(shù) 與 單 位 沖 激 函 數(shù) 的 關(guān) 系 為 d d L T I d 2.2 - 22a d t t t x x gt ht t 根 據(jù) 系 統(tǒng) 的 微 積 分 特 性 ， 同 一 系 統(tǒng) 的 階 躍 響 應(yīng) 與 沖 激 響 應(yīng) 的 關(guān) 系 為 d 2.2- 22b t g t h x x 3-2.21 L T I 3-2.2 3-2.2 輸出圖所示。左端加法器的 ，如端積分器的輸入為 ，左，則其輸入為為 出設(shè)圖中右端積分器的輸 統(tǒng)的微分方程 所示系列寫圖解 系統(tǒng)，求其階躍響應(yīng)。 所示的如圖例 tx txtx 3 2 3 2 2.2- 23a 2 2.2- 23b 1.5 x t x t x t f t x t x t x t f t y t x t x t 即 右 端 加 法 器 的 輸 出 用 的 方 法 ， 不 難 求 2. 2 3 3 2 2 2.2- 24y t y t