【導學教程】2012屆高三數(shù)學二輪復(fù)習專題五第二講綜合驗收評估試題理北師大版

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1、 一、選擇題 1．已知雙曲線的漸近線方程為 2x3y＝ 0，F(xiàn)(0 ，－ 5) 為雙曲線的一個焦點，則雙曲線的 方程為 y2 x2 B. 13y2 13x2 A. － ＝ 1 － ＝ 1 4 9 100 225 x 2 y 2

2、 13 2 13 x 2 y C. 9 － 4 ＝ 1 D. 225 － 100 ＝ 1 2 2 解析 根據(jù)焦點坐標，可知該雙曲線的焦點在 y 軸上，設(shè)雙曲線方程為 y 2

3、－ x2＝ 1( ＞ 0， a b a 2 2 2 25 2 100 2 225 b＞ 0) ．根據(jù)已知， 設(shè) a＝ 2t ，b＝ 3t ，則 25＝(2 t ) ＋ (3 t ) ，解得 t ＝13，故 a ＝ 13 ，b ＝ 13 .

4、 所以所求的雙曲線方程是 13y2－ 13x2 ＝ 1. 100 225 答案 B x2 y2 1 2．已知橢圓的焦點在 y 軸上，若橢圓 2 ＋ m＝

5、1 的離心率為 2，則 m等于 3 B. 8 A. 3 2 2 3 3 8 C. 3或 8

6、 D. 2或 3 解析 因為橢圓的焦點在 y 軸上， 故 a2＝m， b2＝ 2， 2 2 2 2 2＝1， 故 e2＝c2＝ a －2 b ＝ 1－ b 2＝ 1－

7、 a a a m 4 8 解得 m＝ 3. 答案 B

8、 x2 y2 ＞ 0， ＞ 0) 的右焦點與拋物線 y 2 x 的焦點相同， 3．(2011 無錫模擬 ) 設(shè)橢圓 2＋ 2＝ 1( ＝ 8 m n m n 1 離心率為 2，則此橢圓的方程為

9、 x2 y2 x2 y2 A. 12＋ 16＝ 1 B. 16＋ 12＝ 1 x2 y2 x2 y2 C. 48＋ 64＝ 1 D. 64＋ 48＝ 1

10、 解析 依題意得拋物線 y 2 ＝ 8 的焦點坐標是 (2,0) ， x - 1 - 則橢圓的右焦點坐標是 (2,0) ， 2 2 2 2 1 2 由題意得 m－ n ＝ 2 且 e＝ ＝ ， m＝ 4，n ＝ 12，

11、 m 2 橢圓的方程是 x2 y2 ＋ ＝ 1，選 B. 16 12 答案 B 4．(2011 煙臺模擬 ) 已知雙曲線 x 2 2 2－ y2＝ 1( ＞ 0， ＞ 0) 的一個焦點與拋物線 2 ＝4 x 的焦

12、 a b a b y 點重合，且雙曲線的離心率等于 5，則該雙曲線的方程為 A．5 2 4y2 B. x2 y2 － ＝ 1 － ＝ 1 x 5 5 4 y2 x2

13、 2 5y2 C. 5 － 4 ＝ 1 D．5x － 4 ＝ 1 解析 ∵拋物線 y2＝ 4x 的焦點為 (1,0) ，∴ c＝ 1； 1 2 2 2 4 又 e＝ 5，a＝ 5， b ＝ c － a ＝5， 2 5y2 所以該雙曲線方程為 5x － 4 ＝ 1，故選 D.

14、 答案 D x2 y2 5．如圖所示，已知橢圓的方程為 a2＋ b2＝ 1( a＞ b＞ 0) ，A 為橢圓的左頂點， B， C 在橢圓 上，若四邊形 為平行四邊形，且∠ ＝45，則橢圓的離心率等于 OABC OAB 2 3 A. 2 B. 3 6 2

15、 2 C. D. 3 3 解析 ∵四邊形 OABC是平行四邊形， ∴OC∥ AB，kOC＝kAB＝1， 又 BC∥ x 軸，∴根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè) C( m，m)( m＞ 0) ， B( － m， m) ， m a ∴ kAB＝＝ 1，∴ m＝ ， －m＋ a2 - 2 - a 2 a 2 ∵點 C在橢圓上，∴ 2 2 ＝ 1， a ＋ b 2 2

16、 ∴ a 2 ＝3 2 ， c 2＝ 2 2，∴ ＝ 6 . b b e 3 答案 C 6．(2011 湖北 ) 將兩個頂點在拋物線 y 2＝ 2 ( p ＞ 0) 上，另一個頂點是此拋物線焦點的 px 正三角形個數(shù)記為 n，則

17、 A．n＝ 0 B．n＝ 1 C．n＝ 2 D．n≥3 如圖所示， A，B 兩點關(guān)于 x 軸對稱， F 點坐標為 p ，設(shè) A( m， 2pm)( m＞ 0) 解析 ， 0 ， 2 則由拋物線定義， p | AF| ＝ | AA1| ，即 m＋ 2＝| AF|. 又| AF| ＝ | AB| ＝ 2 2pm， p ∴m＋

18、 2＝ 2 2pm，整理， 2 p2 得 m－7pm＋ 4 ＝ 0，① 2 p2 2 ∴Δ ＝ ( － 7p) －4 4 ＝ 48p ＞ 0， ∴方程①有兩相異實根，記為 m1，m2， p2 且 m1＋m2＝ 7p＞ 0， m1 m2＝ 4 ＞ 0， ∴m1＞0， m2＞ 0，∴ n＝ 2. 答案 C 二、填空題 x2 y2 7．雙曲線 C： 4 － m＝ 1( m＞0) 的離心率等于 2，則該雙曲線漸近線的斜率是 ________． - 3 - x

19、2 y2 解析 設(shè)雙曲線的方程為 a2－ b2＝ 1( a＞ 0， b＞0) ， 則 a＝ 2， b＝ m， c ＝ a2＋ b2 1＋ b 2 ＝ m 故 e＝ 2＝ a 1＋ ＝ 2， a a 4 解得 m＝ 12. b 故其漸近線的斜率為 a＝ 3. 故填 3. 答案 3 x2 2 → 8．(2011 浙江 ) 設(shè) F

20、1，F(xiàn)2 分別為橢圓 3 ＋ y ＝ 1 的左， 右焦點， 點 A，B 在橢圓上． 若 F1 A＝ → A 的坐標是 ________． 5F B，則點 2 解析 由題意知 F ( － 2， 0) ，F(xiàn) ( → 2，b) ， 2，0) ．設(shè) A( a，b) ，B( x ，y ) ，則 F A＝ ( a＋ 1 2 B B 1

21、 → F2B＝ ( xB－ 2， yB) ． a＋ 6 2 2 → → a＋ 6 2 b 5 b 2 由F1A＝ 5F2B得 xB＝ 5 ， yB＝ 5，代入橢圓方程得 3 ＋ 5 ＝ 1. a2 2

22、 又因為 3 ＋ b ＝ 1，聯(lián)立，解得 a＝0， b＝ 1. 答案 (0,1) 或 (0 ，－ 1) 9．已知雙曲線 kx 2－ y 2＝1 的一條漸近線與直線 2 ＋ ＋ 1＝ 0 垂直，那么雙曲線的離心率 x y 為 ________；漸近線方程為 ________． 解析 雙曲線 kx2－ y2＝ 1 的漸近線方程是 y＝ kx. 1 1 又因為一條漸近線方

23、程與直線 2x＋ y＋ 1＝ 0 垂直，∴ k＝2， k＝ 4， 1 ＋1 k 5 ∴雙曲線的離心率為＝ ＝ ； e 1 2 k 漸近線方程為 21x y＝0. 答案 5；1x y＝0 2 2 三、解答題

24、 x2 y2 10．如圖所示，已知直線 l ：y＝ kx＋2( k 為常數(shù) ) 過橢圓 a2＋ b2＝ 1( a＞ b＞ 0) 的上頂點 B - 4 - 和左焦點 F，直線 l 被圓 x2＋ y2＝ 4 截得的弦長為 d. (1) 若 d＝ 2 3，求 k 的值； 4 5 (2) 若 d≥ 5 ，求橢圓離心率 e 的取值范圍． 解析 (1) 取圓中弦的中點 M，連接 OM. 由平面幾何知識，知 2 ＝ 1，

25、 | OM|＝ k2＋ 1 解得 k2＝ 3， k＝ 3. ∵直線 l 過點 、 ，∴ ＞ 0，則 k ＝ 3. F B k 2 4 (2) 設(shè)圓中弦的中點為 M，連接 OM，則 | OM| ＝ 1＋ k2， 2 4 4 5 2 2 1 d ＝ 4 4－ 1＋ k2 ≥ 5 ，解得 k ≥4. 2 2 2 c2 －k ＝ 1 4

26、 ∴e ＝ 2＝ 2 1＋ k 2 ≤ . a 4＋ － 2 5 k 2 5 ∴0＜ e≤ 5 . x2 y2 11．已知點 A(1,1) 是橢圓 a2＋ b2＝ 1( a＞ b＞ 0) 上一點， F1，F(xiàn)2 是橢圓的兩焦點， 且滿足 | AF1| ＋ | AF2|

27、＝4. (1) 求橢圓的兩焦點坐標； (2) 設(shè)點 B 是橢圓上任意一點，當 | AB| 最大時，求證： A， B兩點關(guān)于原點 O不對稱． 解析 (1) 由橢圓定義，知 2a＝4，∴ a＝2. x2 y2 ∴ 4 ＋b2＝ 1. 1 1 2 4 把 A(1,1) 代入，得 4＋b2＝ 1，得 b ＝3， x2 y2 ∴橢圓方程為 4 ＋ 4 ＝ 1. 3 - 5 - 2 2 2 4 8 2 6 ∴c ＝a － b ＝ 4－3＝ 3，即 c＝ 3 .

28、 故兩焦點坐標為 2 6 ， 2 6， 0 . － ， 0 3 3 (2) 反證法：假設(shè) A，B 兩點關(guān)于原點 O對稱，則 B點坐標為 ( － 1，－ 1) ， 此時 | AB| ＝2 2，而當點 B 取橢圓上一點 M( － 2,0) 時，則 | AM| ＝ 10，∴ | AM|＞ | AB|. 從而此時 | AB| 不是最大，這與 | AB| 最大矛盾，所以命題成立． x 2 y2 1 N(2 ， 12．(2011 宜昌模擬 ) 已知橢圓 C： 2＋ 2＝ 1(

29、 a＞b＞ 0) 的離心率 e＝ ，且橢圓經(jīng)過點 a b 2 － 3) ． (1) 求橢圓 C的方程； (2) 求橢圓以 M( － 1,2) 為中點的弦所在直線的方程． 解析 (1) 由橢圓經(jīng)過點 N(2 ，－ 3) ， 22 － 2 得 a2＋ b2 ＝ 1， 又 e＝ c＝ 1，解得： a2＝16， b2＝ 12. a 2 x2 y2 所以橢圓 C的方程為 16＋ 12＝ 1. (2) 顯然 M在橢圓內(nèi)，設(shè) A( x1， y1) ， B( x2， y2) 是以 M為中點的弦的兩個端點， 2

30、2 2 2 x1 y1 x2 y2 則 16＋ 12＝ 1， 16＋ 12＝1. x2 －x1 x2＋ x1 y2－ y1 y2＋ y1 相減得： 16 ＋ 12 ＝ 0. 整理得： kAB＝－ x ＋ x 2 ＝ 3， 1 y1＋ y2 8 3 則所求直線的方程為： y－ 2＝ 8( x＋ 1) ， 即 3x－ 8y＋19＝ 0. - 6 -