三角形與全等三角形自學(xué)附習(xí)題及答案

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1、三角形與全等三角形自學(xué) 附習(xí)題及答案 考點一：三角形三邊關(guān)系 例1 下列各組數(shù)可能是一個三角形的邊長的是（　?。? A．1，2，4 B．4，5，9 C．4，6，8 D．5，5，11 思路分析：看哪個選項中兩條較小的邊的和不大于最大的邊即可． 解：A、因為1+2＜4，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項錯誤； B、因為4+5=9，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項錯誤； C、因為9-4＜5＜8+4，所以本組數(shù)可以構(gòu)成三角形．故本選項正確； D、因為5+5＜11，所以本組數(shù)不能構(gòu)成三角形．故本選項錯誤； 故選C． 點評：本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系定理：任意兩邊之和大于第

2、三邊，只要滿足兩短邊的和大于最長的邊，就可以構(gòu)成三角形． 對應(yīng)訓(xùn)練 1．如果一個三角形的兩邊長分別為2和4，則第三邊長可能是（　?。? A．2 B．4 C．6 D．8 考點二：三角形內(nèi)角、外角的應(yīng)用 例2 如圖，一副分別含有30和45角的兩個直角三角板，拼成如下圖形，其中∠C=90，∠B=45，∠E=30，則∠BFD的度數(shù)是（　?。? A．15 B．25 C．30 D．10 思路分析：先由三角形外角的性質(zhì)求出∠BDF的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論． 解：∵Rt△CDE中，∠C=90，∠E=30， ∴∠BDF=∠C+∠E=90+30=120， ∵△BDF中，∠

3、B=45，∠BDF=120， ∴∠BFD=180-45-120=15． 故選A． 點評：本題考查的是三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的外角等于與之不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解答此題的關(guān)鍵． 對應(yīng)訓(xùn)練 2．一副三角板有兩個直角三角形，如圖疊放在一起，則∠α的度數(shù)是（　?。? A．165 B．120 C．150 D．135 考點三：三角形全等的判定和性質(zhì) 例3 如圖，已知△ABC≌△ADE，AB與ED交于點M，BC與ED，AD分別交于點F，N．請寫出圖中兩對全等三角形（△ABC≌△ADE除外），并選擇其中的一對加以證明． 思路分析：找到兩三角形全等的條件，三角形全等就寫出來，選擇

4、一組證明即可． 解：△AEM≌△ACN，△BMF≌△DNF，△ABN≌△ADM． 選擇△AEM≌△ACN， 理由如下： ∵△ADE≌△ABC， ∴AE=AC，∠E=∠C，∠EAD=∠CAB， ∴∠EAM=∠CAN， ∵在△AEM和△ACN中， ， ∴△AEM≌△CAN（ASA）． 點評：本題考查三角形全等的判定方法及等腰三角形的性質(zhì)；判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL． 注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 例4 如圖：已知D、E分別在AB、AC上

5、，AB=AC，∠B=∠C，求證：BE=CD． 思路分析：要證明BE=CD，把BE與CD分別放在兩三角形中，證明兩三角形全等即可得到，而證明兩三角形全等需要三個條件，題中已知一對邊和一對角對應(yīng)相等，觀察圖形可得出一對公共角，進(jìn)而利用AAS可得出三角形ABE與三角形ACD全等，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等可得證． 證明：在△ABE和△ACD中， ， ∴△ABE≌△ACD（AAS）， ∴BE=CD（全等三角形的對應(yīng)邊相等）． 點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，常常利用三角形的全等來解決線段或角相等的問題，在證明三角形全等時，要注意公共角及公共邊，對頂角等隱含條件的運用． 對

6、應(yīng)訓(xùn)練 3．如圖，△ABC與△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90，D在AB上，連結(jié)BE．請找出一對全等三角形，并說明理由． 4．如圖，點D，E在△ABC的邊BC上，AB=AC，BD=CE．求證：AD=AE． 考點四：全等三角形開放性問題 例5 如圖，點B在AE上，點D在AC上，AB=AD．請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件，使△ABC≌△ADE（只能添加一個）． （1）你添加的條件是 ∠C=∠E ． （2）添加條件后，請說明△ABC≌△ADE的理由． 思路分析：（1）可以根據(jù)全等三角形的不同的判定方法選擇添加不同的條件；

7、 （2）根據(jù)全等三角形的判定方法證明即可． 解：（1）∵AB=AD，∠A=∠A， ∴若利用“AAS”，可以添加∠C=∠E， 若利用“ASA”，可以添加∠ABC=∠ADE，或∠EBC=∠CDE， 若利用“SAS”，可以添加AC=AE，或BE=DC， 綜上所述，可以添加的條件為∠C=∠E（或∠ABC=∠ADE或∠EBC=∠CDE或AC=AE或BE=DC）； 故答案為：∠C=∠E； （2）選∠C=∠E為條件． 理由如下：在△ABC和△ADE中，， ∴△ABC≌△ADE（AAS）． 點評：本題主要考查了全等三角形的判定，開放型題目，根據(jù)不同的三角形全等的判定方法可以選擇添加的

8、條件也不相同． 對應(yīng)訓(xùn)練 5．（2013?昭通）如圖，AF=DC，BC∥EF，只需補(bǔ)充一個條件 BC=EF ，就得△ABC≌△DEF． 【聚焦中考】 1．（2013?威海）將一副直角三角板如圖擺放，點C在EF上，AC經(jīng)過點D．已知∠A=∠EDF=90，AB=AC．∠E=30，∠BCE=40，則∠CDF= 25 ． 2．（2013?菏澤）如圖，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90，D為AB延長線上一點，點E在BC邊上，且BE=BD，連結(jié)AE、DE、DC． （1）求證：△ABE≌△CBD； （2）若∠CAE=30，求∠

9、BDC的度數(shù)． 3．（2013?臨沂）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點，過點A作BC的平行線交BE的延長線于點F，連接CF． 求證：AF=DC； 4．（2013?東營）（1）如圖（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90，AB=AC，直線m經(jīng)過點A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E． 證明：DE=BD+CE． （2）如圖（2），將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三點都在直線m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α為任意銳角或鈍角．請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立？如成立，請你給出證明；若不成

10、立，請說明理由． （3）拓展與應(yīng)用：如圖（3），D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點（D、A、E三點互不重合），點F為∠BAC平分線上的一點，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，試判斷△DEF的形狀． 【真題過關(guān)】 一、選擇題 1．（2013?泉州）在△ABC中，∠A=20，∠B=60，則△ABC的形狀是（　?。? A．等邊三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形 2．（2013?宜昌）下列每組數(shù)分別表示三根木棒的長度，將它們首尾連接后，能擺成三角形的一組是（　　） A．1，2，6 B．2，2，4 C．

11、1，2，3 D．2，3，4 3．（2013?衡陽）如圖，∠1=100，∠C=70，則∠A的大小是（　?。? A．10 B．20 C．30 D．80 4．（2013?河北）如圖1，M是鐵絲AD的中點，將該鐵絲首尾相接折成△ABC，且∠B=30，∠C=100，如圖2．則下列說法正確的是（　?。? A．點M在AB上 B．點M在BC的中點處 C．點M在BC上，且距點B較近，距點C較遠(yuǎn) D．點M在BC上，且距點C較近，距點B較遠(yuǎn) 5．（2013?鐵嶺）如圖，在△ABC和△DEC中，已知AB=DE，還需添加兩個條件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一組條件是（　?。? A

12、．BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C．BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E，∠A=∠D 6．（2013?臺州）已知△A1B1C1△A2B2C2的周長相等，現(xiàn)有兩個判斷： ①若A1B1=A2B2，A1C1=A2C2，則△A1B1C1≌△A2B2C2； ②若∠A1=∠A2，∠B1=∠B2，則△A1B1C1≌△A2B2C2， 對于上述的兩個判斷，下列說法正確的是（　?。? A．①正確，②錯誤 B．①錯誤，②正確 C．①，②都錯誤 D．①，②都正確 7．（2013?河北）一個正方形和兩個等邊三角形的位置如圖所示，若∠3=50，則∠1+∠2=（　　

13、） A．90 B．100 C．130 D．180 8．（2013?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若連接AC、BD相交于點O，則圖中全等三角形共有（　?。? A．1對 B．2對 C．3對 D．4對 二、填空題 9．（2013?黔東南州）在△ABC中，三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C滿足∠B-∠A=∠C-∠B，則∠B= 60 度． 10．（2013?柳州）如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x= 20 ． 11．（2013?巴中）如圖，已知點B、C、F、E在同一直線上，∠1=∠2，BC=EF

14、，要使△ABC≌△DEF，還需添加一個條件，這個條件可以是 CA=FD ．（只需寫出一個） 12．（2013?郴州）如圖，點D、E分別在線段AB，AC上，AE=AD，不添加新的線段和字母，要使△ABE≌△ACD，需添加的一個條件是 ∠B=∠C（答案不唯一） （只寫一個條件即可）． 13．（2013?達(dá)州）如圖，在△ABC中，∠A=m，∠ABC和∠ACD的平分線交于點A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分線交于點A2，得∠A2；…∠A2012BC和∠A2012CD的平分線交于點A2013，則∠A2013=

15、 度． 三、解答題 14．（2013?玉林）如圖，AB=AE，∠1=∠2，∠C=∠D． 求證：△ABC≌△AED． 15．（2013?湛江）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，F(xiàn)B=CE，AB∥ED，AC∥FD，求證：AC=DF． 16．（2013?佛山）課本指出：公認(rèn)的真命題稱為公理，除了公理外，其他的真命題（如推論、定理等）的正確性都需要通過推理的方法證實． （1）敘述三角形全等的判定方法中的推論AAS； （2）證明推論AAS． 要求：敘述推論用文字表達(dá)；用圖形中的符號表達(dá)已知、求證，并證明，證明對各步驟要注明依據(jù)． 17．（2013?隨州

16、）如圖，點F、B、E、C在同一直線上，并且BF=CE，∠ABC=∠DEF．能否由上面的已知條件證明△ABC≌△DEF？如果能，請給出證明；如果不能，請從下列三個條件中選擇一個合適的條件，添加到已知條件中，使△ABC≌△DEF，并給出證明． 提供的三個條件是：①AB=DE；②AC=DF；③AC∥DF． 18．（2013?內(nèi)江）已知，如圖，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACD=∠DCE=90，D為AB邊上一點．求證：BD=AE． 19．（2013?舟山）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：△ABE≌DCE； （2）當(dāng)∠

17、AEB=50，求∠EBC的度數(shù)？ 20．（2013?荊門）如圖1，在△ABC中，AB=AC，點D是BC的中點，點E在AD上． （1）求證：BE=CE； （2）如圖2，若BE的延長線交AC于點F，且BF⊥AC，垂足為F，∠BAC=45，原題設(shè)其它條件不變．求證：△AEF≌△BCF． 能力拓展： 如圖（1）所示，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以O(shè)P所在直線為對稱軸的全等三角形． 請你參考這個作全等三角形方法，解答下列問題： （1）如圖（2），在△ABC中，∠ACB=90，∠B=60，AC、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線交于F

18、，試判斷FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系． （2）如圖（3），在△ABC中，若∠ACB≠90，而（1）中其他條件不變，請問（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，說明理由． 三角形與全等三角形 1．B 2．A 3．解：△ACE≌△BCD． ∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴∠ECD=∠ACB=90， ∴∠ACE=∠BCD（都是∠ACD的余角）， 在△ACE和△BCD中， ∵， ∴△ACE≌△BCD． 4．證明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， 在△ABD與△ACE中， ∵， ∴△ABD≌△ACE（SAS

19、）， ∴AD=AE． 5．BC=EF 【聚焦中考】 1．25 2． （1）證明：∵∠ABC=90，D為AB延長線上一點， ∴∠ABE=∠CBD=90， 在△ABE和△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）； （2）解：∵AB=CB，∠ABC=90， ∴∠CAB=45， ∵∠CAE=30， ∴∠BAE=∠CAB-∠CAE=45-30=15， ∵△ABE≌△CBD， ∴∠BCD=∠BAE=15， ∴∠BDC=90-∠BCD=90-15=75； 3． 證明：∵AF∥BC， ∴∠AFE=∠DBE， ∵E是AD的中點，AD是BC邊上的中線， ∴AE

20、=DE，BD=CD， 在△AFE和△DBE中 ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF=BD， ∴AF=DC． 4．證明：（1）∵BD⊥直線m，CE⊥直線m， ∴∠BDA=∠CEA=90， ∵∠BAC=90， ∴∠BAD+∠CAE=90， ∵∠BAD+∠ABD=90， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （2）∵∠BDA=∠BAC=α， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180-α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和

21、△CEA中 ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE； （3）由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE， ∵△ABF和△ACF均為等邊三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60， ∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF 在△DBF和△EAF中 ， ∴△DBF≌△EAF（sas）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE， ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60， ∴△DEF為等邊三角形． 【真題過關(guān)】 一、選擇題 1

22、．D 2．D 3．C 4．C 5．C 6．A 7．B 8．C 二、填空題 9．60 10．20 11．CA=FD 12．∠B=∠C（答案不唯一） 13． 三、解答題 14．證明：∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC， 即∠BAC=∠EAD， ∵在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED（AAS）． 15．證明：∵FB=CE， ∴FB+FC=CE+FC， ∴BC=EF， ∵AB∥ED，AC∥FD， ∴∠B=∠E，∠ACB=∠DFE， ∵在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）， ∴A

23、C=DF． 16．解：（1）三角形全等的判定方法中的推論AAS指的是：兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等． （2）已知：在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF． 求證：△ABC≌△DEF． 證明：如圖，在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知）， ∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代換）． 又∵∠A+∠B+∠C=180，∠D+∠E+∠F=180（三角形內(nèi)角和定理）， ∴∠B=∠E． ∵在△ABC與△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（ASA）． 17．解：不能； 選擇條件：①AB=DE； ∵BF=CE， ∴BF+BE=CE

24、+BE， 即EF=CB， 在△ABC和△DFE中，， ∴△ABC≌△DFE（SAS）． 18．證明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形， ∴AC=BC，CD=CE， ∵∠ACD=∠DCE=90， ∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD， ∴∠ACE=∠BCD， 在△ACE和△BCD中，， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴BD=AE． 19．（1）證明：∵在△ABE和△DCE中 ， ∴△ABE≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABE≌△DCE， ∴BE=EC， ∴∠EBC=∠ECB， ∵∠EBC+∠ECB=∠AEB=50， ∴∠EBC=

25、25． 20．證明：（1）∵AB=AC，D是BC的中點， ∴∠BAE=∠EAC， 在△ABE和△ACE中，， ∴△ABE≌△ACE（SAS）， ∴BE=CE； （2）∵∠BAC=45，BF⊥AF， ∴△ABF為等腰直角三角形， ∴AF=BF， ∵AB=AC，點D是BC的中點， ∴AD⊥BC， ∴∠EAF+∠C=90， ∵BF⊥AC， ∴∠CBF+∠C=90， ∴∠EAF=∠CBF， 在△AEF和△BCF中，， ∴△AEF≌△BCF（ASA）． 能力拓展 （1）FE=FD （2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立． 在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG． 證△AEF≌△AGF得∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG． 由∠B=60，AD、CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線 得∠DAC+∠ECA=60． 所以∠AFE=∠CFD=∠AFG=60，所以∠CFG=60． 由∠BCE=∠ACE及FC為公共邊． 可證△CFG≌△CFD， 所以FG=FD，所以FE=FD．