《中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第五章 四邊形 第21講 矩形、菱形、正方形復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第五章 四邊形 第21講 矩形、菱形、正方形復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt（106頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第 21講 矩形、菱形、正方形 考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)和判定 矩形的定 義 有一個(gè)角是 直角 的平行四邊形 叫做矩形 矩形的 性質(zhì) ( 1) 矩形具有平行四邊形所有的性質(zhì)； ( 2) 矩形的四個(gè)角都是 直角 ，對角線互 相平分且 相等 ； ( 3) 矩形既是軸對稱圖形 ， 又是中心對稱 圖形它有兩條對稱軸 ， 它的對稱中心 就是 對角線的交點(diǎn) 矩形的 判定 ( 1) 定義法； ( 2) 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； ( 3) 對角線相等 的平行四邊形是矩形 考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)和判定 菱形的 定義 有一組 鄰邊相等 的平行四邊形叫 做菱形 菱形的
2、 性質(zhì) ( 1) 菱形具有平行四邊形所有的性質(zhì)； ( 2) 菱形的四 條邊 相等 ， 對角線互相 垂直 平分 ， 并且每條對角線平分一組對角； ( 3) 菱形既是軸對稱圖形 ， 又是中心對稱圖 形兩條對角線所在的直線是它的對稱軸 ， 它的對稱中心就是 對角線的交點(diǎn) ； ( 4) 菱形的面積等于對角線乘積的 一半 菱形的 判定 ( 1) 定義法； ( 2) 四 條邊 相等 的四邊形是菱形； ( 3) 對角線 互相垂直 的平行四邊形 是 菱形 考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)和判定 正方形 的定義 有一組鄰邊 相等 ， 并且有一 個(gè)角是 直角 的平行四邊形叫 做正方形
3、正方形 的性質(zhì) ( 1) 正方形的四條邊 相等 ， 四個(gè)角都 是 直角 ， 對角線互相 垂直平分 且 相等 ， 并且每一條對角線平分一組 對角 ， 具有矩形和菱形的所有性質(zhì)； ( 2) 正方形既是軸對稱 圖形又是中 心 對稱圖形 ， 有 四 條對稱軸 ， 對稱中 心是對角線的交點(diǎn) 正方形 的判定 ( 1) 有一組鄰邊相等的 矩形 是 正方形； ( 2) 有一個(gè)角是直角的 菱形 是 正方形； ( 3) 對角線 互相垂直平分且相等 的四邊形是正方形 溫馨提示： 1 正方形的判定： ( 1 )先證明四邊形是矩形 ， 再證 明有一組鄰邊相等或?qū)蔷€垂直； ( 2) 先證明四
4、邊形是 菱形 ， 再證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等 2 矩形的面積： S ab ( a ， b 表示長和寬 )；菱形 的面積等于邊長與高的乘積或兩條對角線乘積 的一 半；正方形的面積等于邊長的平方或?qū)蔷€乘積的一 半 考點(diǎn)四 平行四邊形、矩形、菱形、正方形的關(guān)系 考點(diǎn)一 矩形的性質(zhì)與判定 例 1 ( 2 0 1 6 臺州 )如圖 ， 點(diǎn) P 在矩形 ABCD 的對 角線 AC 上 ， 且不與點(diǎn) A ， C 重合 ， 過點(diǎn) P 分別作邊 AB ， AD 的平行線 ， 交兩組對邊于點(diǎn) E ， F 和 G ， H . ( 1) 求證： P H C CFP ；
5、 ( 2) 證明四邊形 P E D H 和四邊形 P F B G 都是矩形 ， 并直接寫出它們面積之間的關(guān)系 【點(diǎn)撥】 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的 判定與性質(zhì)以及平行線的性質(zhì) ( 1) 證明： 四邊形 ABCD 為矩形 ， AB CD ， AD B C PF AB ， P F CD ， C P F P C H . PH AD ， PH BC ， P C F C P H . 在 P H C 和 CFP 中 ， C P F P C H ， PC CP ， P C F C P H ， P H C CF
6、P ( A S A ) ( 2 ) 證明： 四邊形 ABCD 為矩形 ， D B 90 . 又 EF AB CD ， GH AD BC ， 四邊形 P E D H 和四邊形 P F B G 都是矩形 解： S 矩形 PE D H S 矩形 P FB G . 證明如下： EF AB ， C P F CA B 在 Rt A G P 中 ， A G P 90 ， PG AG t an CA B 在 Rt CFP 中 ， CFP 90 ， CF PF t an C P F . S 矩形 P ED H D
7、E EP CF EP PF EP t an C P F ， S 矩形 P FB G PG PF AG PF t an CAB EP PF t an CA B t an C P F t a n CAB ， S 矩形 P ED H S 矩形 P FB G . 方法總結(jié)： 矩形是特殊的平行四邊形 ， 證明矩形的常用方法 就是先證明四邊形是平行四邊形 ， 然后證明有一個(gè)角 是直角或?qū)蔷€相等 考點(diǎn)二 菱形的性質(zhì)與判定 例 2 ( 20 16 聊城 ) 如圖，在 Rt ABC 中， B 90 ，點(diǎn) E 是 AC 的中點(diǎn)， A
8、C 2 AB ， BAC 的平分線 AD 交 BC 于 點(diǎn) D ，作 AF BC ，連接 DE 并 延長交 AF 于點(diǎn) F ，連接 F C 求 證：四邊形 A D C F 是菱形 【點(diǎn)撥】 先證明 AEF CED ， 推出四邊形 A D C F 是平行四邊形 ， 再證明 AED ABD ， 推出 DF AC ， 由此即可證明 證明： AF CD ， AFE C D E ， 在 AFE 和 C D E 中 ， AFE C D E ， AEF CED ， AE CE ， AEF CE D AF C D AF C
9、D ， 四邊形 A D C F 是 平行四邊形 由題 意知， AE AB ， EAD BAD ， AD AD ， AED AB D AED B 90 ， 即 DF A C 四邊形 A D C F 是菱形 方法總結(jié)： 對于菱形的判定 ， 若可證出四邊形為平行四邊形 ， 則可證一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；若相等的邊 較多 ， 則可證四條邊都相等 考點(diǎn)三 正方形的性質(zhì)與判定 例 3 ( 2 0 1 6 威海 ) 如圖，在 ABC 和 BCD 中， BAC BCD 90 ， AB AC ， CB CD 延長 CA 至點(diǎn) E
10、 ，使 AE AC ；延長 CB 至點(diǎn) F ，使 BF BC 連 接 AD ， AF ， DF ， EF ；延長 DB 交 EF 于點(diǎn) N . ( 1) 求證： AD AF ； ( 2) 求證： BD EF ； ( 3) 試判斷四邊形 AB N E 的形狀 ， 并說明理由 【點(diǎn)撥】 ( 1) 要想證明 AD AF ， 只需要根據(jù)條件 證明 ABF ACD 即可； ( 2) 首先根據(jù) ( 1 ) 中 ABF ACD 得出 F A B D A C ， 然后結(jié)合已知 條件證明 AEF ABD ， 即可得出結(jié)論； ( 3) 根據(jù)有 三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 ，
11、 證明四邊形 AB N E 是 矩形 ， 再結(jié)合一組鄰邊 AE AB ， 即可得出結(jié)論 ( 1) 證明： AB AC ， BAC 90 ， ABC ACB 45 ， ABF 135 . BCD 90 ， ACD 135 ， ABF AC D CB CD ， CB BF ， BF C D 在 ABF 和 ACD 中 ， AB AC ， ABF ACD ， BF CD ， ABF ACD ( S A S ) ， AD AF . ( 2) 證明： 由 ( 1) 知 ， AF AD ， ABF AC
12、D ， F A B DA C BAC 90 ， EAB BAC 90 ， EAF BA D AB AC ， AC AE ， AB AE . 在 AEF 和 ABD 中 ， AE AB ， EAF BAD ， AF A D AEF ABD ( S A S ) ， BD EF . ( 3) 解： 四邊形 AB N E 是正方形 理由： CD CB ， BCD 90 ， CBD 45 . ABC 45 ， ABD 90 ， ABN 90 . 由 ( 2) 知 ， EAB 9
13、0 ， AEF ABD ， AEF ABD 90 ， 四邊形 AB N E 是矩形 又 AE AB ， 矩形 AB N E 是正方形 方法總結(jié)： 1 正方形是特殊的矩形又是特殊的菱形 ， 具有矩 形和菱形的所有性質(zhì) 2 證明一個(gè)四邊形是正方形 ， 可以先判定為矩形 ， 再證鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直；也可以先判定為菱 形 ， 再證有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等 1 ( 20 16 海南 ) 如圖，矩形 ABCD 的頂點(diǎn) A ， C 分 別在直線 a ， b 上，且 a b ， 1 60 ，則 2 的度數(shù) 為 ( ) A 30 B 45
14、 C 60 D 75 【解析】 如圖 ， 連接 A C AC 為矩形 ABCD 的 對角線 ， BAC DC A 又 a b ， 1 BAC D C A 2. 1 60 ， 2 1 60 .故選 C 【答案】 C 2 ( 201 6 河南 ) 如圖，已知菱形 O A B C 的頂點(diǎn) O (0 ， 0) ， B (2 ， 2) ，若菱形繞點(diǎn) O 逆 時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn) 45 ，則第 60 秒時(shí)，菱形的對角線交點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( ) A (1 ， 1) B ( 1 ， 1) C ( 2 ， 0 )
15、D (0 ， 2 ) 【解析】 由題意得點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 (1 ， 1) 菱形 O A B C 每秒旋轉(zhuǎn) 45 ， 60 秒旋轉(zhuǎn)的角度為 45 60 2 70 0 ， 而 2 70 0 36 0 7. 5 ， 因此菱形 O A B C 繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)了 7 周半 ， 終止位置與原位置關(guān)于原點(diǎn) O 成中心 對稱 ， 根據(jù)成中心對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求得旋轉(zhuǎn)終 止位置時(shí)點(diǎn) D 的坐標(biāo)為 ( 1 ， 1) ， 故選 B 【答案】 B 3. 如圖 ， E 是邊長為 1 的正方形 ABCD 的對角線 BD 上一點(diǎn) ， 且 BE BC ， P 為 CE 上任意一點(diǎn) ，
16、 PQ BC 于點(diǎn) Q ， PR BE 于點(diǎn) R ， 則 PQ PR 的值是 ( D ) A 2 3 B 1 2 C 3 2 D 2 2 4 ( 20 16 天津 ) 如圖，把一張 矩形紙片 ABCD 沿對角線 AC 折 疊，點(diǎn) B 的對應(yīng)點(diǎn)為 B ， AB 與 DC 相交于點(diǎn) E ，則下列結(jié)論一定 正確的是 ( ) A D A B CAB B ACD B CD C AD AE D AE CE 【解析】 四邊形 ABCD 是矩形 ， DC AB ， D C A CA B AB C
17、 由 ABC 翻折得到 ， ABC AB C ， CAB CAB ， CAB D C A ， AE CE .故選 D 【答案】 D 5 如圖 ， 順次連接菱形 ABCD 的各邊中點(diǎn) E ， F ， G ， H .若 AC a ， BD b ， 則四邊形 E F G H 的面積是 1 4 ab 6 如圖，在四邊形 ABCD 中， AB 6 ， ABC 90 ，點(diǎn) E 在 CD 上，連接 AE ， BE ， D A E 75 ， 若四邊形 ABED 是菱形，則 EC 的長度為 3 3 7 如圖 ， 已知點(diǎn) D 在 ABC
18、的 BC 邊上 ， DE AC 交 AB 于點(diǎn) E ， DF AB 交 AC 于點(diǎn) F . ( 1) 證明： AE DF ； ( 2) 若 AD 平分 BAC ， 試 判斷四邊形 A E D F 的形 狀 ， 并說明理由 ( 1 ) 證明： DE AC ， DF AB ， 四邊形 A E D F 是平行四邊形 AE DF . ( 2) 解： 若 AD 平分 BAC ， 四邊形 A E D F 是菱形理 由如下： AD 平分 BAC ， EAD D A F . 又 AB DF ， EAD A D F . D A F A D F
19、 . AF DF . 又 四邊形 A E D F 是平行四邊形 ， 四邊形 A E D F 是菱形 一、選擇題 ( 每小題 4 分，共 40 分 ) 1 ( 2016 無錫 ) 下列性質(zhì)中，菱形具有而矩形不一 定具有的是 ( C ) A 對角線相等 B 對角線互相平分 C 對角線互相垂直 D 鄰邊互相垂直 2 ( 2016 舟山 ) 如圖，矩形 ABCD 中， AD 2 ， AB 3 ，過點(diǎn) A ， C 作相距為 2 的平行線段 AE ， CF ，分 別交 CD ， AB 于點(diǎn) E ， F ，則 DE 的長是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280226 】 A
20、 5 B 13 6 C 1 D 5 6 【解析】 如圖 ， 過點(diǎn) F 作 FH AE 于點(diǎn) H ， 則 FH 2 ， 四邊形 ABCD 是矩形 ， AB CD AE CF ， 四邊形 AECF 是平行四邊形 ， AF CE ， DE BF ， AF 3 DE ， AE AD 2 DE 2 4 DE 2 . F H A D D A F 90 ， AFH H A F D A E H A F 90 ， D A E A F H .又 AD H F , A D E F H A ( A S A )
21、 ， AE AF ， 4 DE 2 3 DE ， DE 5 6 . 故選 D 【答案】 D 3 ( 2016 荊門 ) 如圖，在 矩形 ABCD 中 ( AD AB ) ， 點(diǎn) E 是 BC 上一點(diǎn)，且 DE DA ， AF DE ，垂足為點(diǎn) F . 在下列結(jié)論中，不一定正確的是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 902802 27 】 A AFD D C E B AF 1 2 AD C AB AF D BE AD DF 【解析】 由矩形 ABCD ， AF DE 可得 C AFD 90 . AD BC ， A D
22、F DE C 又 DE AD ， AFD D C E ( AAS ) ， 故選項(xiàng) A 正確； A D F 不一定等于 30 ， 直角三角形 A D F 中 ， AF 不一定等于 AD 的一半 ， 故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；由 AFD D C E ， 可得 AF CD ， 由矩形 ABCD ， 可 得 AB CD ， AB AF ， 故選項(xiàng) C 正確； 由 AFD D C E ，可得 CE DF ， 由矩形 ABCD ， 可得 BC AD ， BE BC CE AD DF ， 故選項(xiàng) D 正確故選 B 【答案】 B 4 ( 2016 揚(yáng)州
23、) 如圖，矩形紙片 ABCD 中， AB 4 ， BC 6. 將該矩形紙片剪去 3 個(gè)等腰直角三角形，所有 剪法中剩余部分面積的最小值是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280228 】 A 6 B 3 C 2. 5 D 2 【解析】 如圖 ， 以 BC 為邊作等腰直角三角形 EBC ， 延長 BE 交 AD 于點(diǎn) F ， 得 ABF 是等腰直 角三角形 ， 作 EG CD 于點(diǎn) G ， 得 E G C 是等腰直角 三角形 ， 在矩形 ABCD 中剪去 ABF ， BCE ， ECG 得到四 邊形 E F D G ， 由等腰直角三角形的性質(zhì)易得 EC B
24、E 3 2 ， EG CG 3 ， 此時(shí)剩余部分面積的最小值 4 6 1 2 4 4 1 2 3 6 1 2 3 3 2 . 5 . 故選 C 【答案】 C 5 如圖，在菱形 ABCD 中， AB 8 ，點(diǎn) E ， F 分別 在 AB ， AD 上，且 AE AF ， 過點(diǎn) E 作 EG AD 交 CD 于 點(diǎn) G ，過點(diǎn) F 作 FH AB 交 BC 于點(diǎn) H ， EG 與 FH 交 于點(diǎn) O . 當(dāng)四邊形 A E O F 與四邊形 C G O H 的周長之差 為 12 時(shí)， AE 的值為 ( ) A 6. 5 B 6 C 5. 5
25、 D 5 【解析】 設(shè) AE x ， 則 EB 8 x. 四邊形 ABCD 是菱形 ， EG AD ， FH AB ， 四邊形 A E O F 和四邊 形 O H C G 都是菱形 四邊形 A E O F 與四邊形 C G O H 的周長之差為 12 ， 4 x 4( 8 x ) 12 ， 解得 x 5 . 5 . 故選 C 【答案】 C 6 如圖，將矩形 ABCD 沿 EF 折疊，使頂點(diǎn) C 恰好落在 AB 邊的中點(diǎn) C 上，若 AB 6 ， BC 9 ，則 BF 的長為 ( ) A 4 B 3 2 C 4. 5 D
26、5 【解析】 設(shè) BF x ， 則 C F CF 9 x ， C 是 AB 的中點(diǎn) ， AB 6 ， BC 3 . 在 Rt BFC 中 ， BF 2 C B 2 C F 2 ， x 2 3 2 (9 x ) 2 ， 解得 x 4 .故選 A 【答案】 A 7 ( 2016 淄博 ) 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 10 ， AG CH 8 ， BG DH 6 ，連接 GH ，則線段 GH 的 長為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280229 】 A 8 3 5 B 2 2 C 14 5 D 10
27、 5 2 【解析】 如圖 ， 延長 BG 交 CH 于點(diǎn) E , 在 ABG 和 C D H 中 ， AB CD 10 ， AG CH 8 ， BG DH 6 ， ABG C D H ( S S S ) , AG 2 BG 2 AB 2 ， 1 5 ， 2 6 ， A G B C H D 90 ， 1 2 90 ， 5 6 90 . 又 2 3 90 ， 4 5 90 ， 1 3 5 ， 2 4 6 . 在 ABG 和 BCE 中 ， 1 3 ， AB BC ， 2
28、 4 ， ABG BCE ( A S A ) ， BE AG 8 ， CE BG 6 ， BEC A G B 9 0 ， GE BE BG 8 6 2 , 同理可得 HE 2 .在 Rt G HE 中 ， GH = GE 2 HE 2 2 2 2 2 2 2 . 故選 B 【答案】 B 8 ( 2016 郴州 ) 如圖，在正方形 ABCD 中， ABE 和 C D F 為直角三角形， AEB CFD 90 ， AE CF 5 ， BE DF 12 ，則 EF 的長是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280230 】 A
29、 7 B 8 C 7 2 D 7 3 【解析】 四邊形 ABCD 是正方形 ， BAD ABC BCD A D C 90 ， AB BC CD A D 在 ABE 和 C D F 中 ， AB CD ， AE CF ， BE DF ， ABE C D F ( SSS ) ， ABE C D F . BAD 90 ， BAE D A G 90 . AEB CFD 90 ， ABE BAE 90 ， ABE D A G C D F . 同理可得 ABE D A G
30、C D F BCH ， D A G A D G C D F A D G 90 ， 即 DGA 90 ， 同理可得 C H B 90 . 在 ABE 和 D A G 中 ABE D A G ， AEB DGA 90 ， AB DA ， ABE D A G ( AAS ) ， AE DG ， BE AG ， 同理可得 AE BH ， BE CH ， 即 AE DG CF BH 5 ， BE AG DF CH 12 ， EG GF FH EF 12 5 7 . G E H 180 9
31、0 90 ， 四邊形 E G F H 是正方形 ， EF 2 EG 7 2 . 故選 C 【答案】 C 9 小明在學(xué) 習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道 題，從下列四個(gè)條件： AB BC ； A B C 90 ； AC BD ； AC BD 中，選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使 ABCD 成為正方形 ( 如圖 ) ，現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn) 為其中錯(cuò)誤的是 ( ) A B C D 【解析】 要 使 ABCD 成為正方形 ， 即 “ 在 ABCD 的基礎(chǔ)上 ， 需要再同時(shí)具備矩形和菱形的特征 ” 是 菱形的特征； 是矩形 的
32、特征； 是矩形的特征； 是菱形的特征而 B 中都是矩形的特征故選 B 【答案】 B 10 如圖，矩形 ABCD 中， AB 8 ， BC 4 ，點(diǎn) E 在 AB 上，點(diǎn) F 在 CD 上，點(diǎn) G ， H 在對角線 AC 上若 四邊形 E G F H 是菱形，則 AE 的長是 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號 90280231 】 A 2 5 B 3 5 C 5 D 6 【解析】 如圖 ， 連接 EF 交 AC 于點(diǎn) O ， 根據(jù)菱 形性質(zhì) ， 得 FE AC ， OG OH ， 易證 OA O C 由矩 形 ABCD ， 得 B 90 . 根據(jù)勾股定理 ， 得
33、AC 4 2 8 2 4 5 ， OA 2 5 .易 證 A O E ABC ， 進(jìn)而可得 OA AB AE AC ， 即 2 5 8 AE 4 5 ， AE 5 .故選 C 【答案】 C 二、填空題 ( 每小題 4 分，共 16 分 ) 11 ( 2016 巴中 ) 如圖，延長矩形 ABCD 的邊 BC 至點(diǎn) E ，使 CE BD ，連接 AE ，如果 A D B 30 ， 則 E 【解析】 如圖 ， 連接 AC ， 四邊形 ABCD 是矩形 ， AD BE ， AC BD ， 且 A D B CAD 30 ， E
34、 D A E . 又 BD CE ， CE CA ， E CAE. CAD CAE D A E 30 ， E E 30 ， 即 E 15 . 【答案】 15 12 ( 2016 揚(yáng)州 ) 如圖，菱形 ABCD 的對角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ， E 為 AD 的中點(diǎn)，若 OE 3 ，則菱形 A B C D 的周長為 【解析】 四邊形 ABCD 為菱形 ， AC BD ， AB BC CD DA ， A O D 為直角三角形 OE 3 ， 且點(diǎn) E 為線段 AD 的中點(diǎn) ， AD 2 OE 6
35、， C 菱形 A BC D 4 AD 4 6 24 . 【答案】 24 13 ( 2016 天津 ) 如圖，在正方形 ABCD 中，點(diǎn) E ， N ， P ， G 分別在邊 AB ， BC ， CD ， DA 上，點(diǎn) M ， F ， Q 都在對角線 BD 上，且四邊形 M N P Q 和 AEFG 均為 正方形，則 S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 的值等于 【導(dǎo)學(xué)號 90280232 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 ， ABD CBD 45 ， 四邊形 M N P Q 和 AEFG 均為正方形 ， BEF AEF 90 ，
36、 B M N Q M N 90 ， BEF 與 B M N 是等腰直角三角形 ， FE BE AE 1 2 AB ， BM MN Q M . 同理 DQ MQ ， MN 1 3 BD 2 3 AB ， S 正方形 MN P Q S 正方形 AEFG 2 3 AB 2 1 2 AB 2 8 9 . 【答案】 8 9 14 ( 2016 襄陽 ) 如圖，正方形 ABCD 的邊長為 2 2 ， 對角線 AC ， BD 相交于點(diǎn) O ， E 是 OC 的中點(diǎn)，連接 BE ，過點(diǎn) A 作 AM BE 于點(diǎn) M ，交 BD 于點(diǎn) F
37、 ，則 FM 的長為 【導(dǎo)學(xué)號 90280233 】 【解析】 在正方形 ABCD 中 ， AO BO ， A O F B O E 90 . AM BE ， AFO BFM ， F A O EBO ， AFO BEO ( A S A ) ， FO E O . 正方形 ABCD 的邊長為 2 2 ， E 是 OC 的 中點(diǎn) ， FO EO 1 BF ， BO 2 ， 直角三角形 B O E 中 ， BE 1 2 2 2 5 .由 FBM EBO ， F M B E O B ， 可得 BFM BEO ，
38、FM EO BF BE ， 即 FM 1 1 5 ， FM 5 5 . 【答案】 5 5 三、解答題 ( 共 44 分 ) 15 ( 10 分 ) 在 ABCD 中，過點(diǎn) D 作 DE AB 于 點(diǎn) E ，點(diǎn) F 在邊 CD 上， DF BE ，連接 AF ， BF . ( 1 ) 求證：四邊形 B F D E 是矩形； 證明： 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB C D BE DF ， BE DF ， 四邊形 B F D E 是平行四邊形 DE AB ， D E B 90 . 四邊形 B F D E 是矩形 ( 2 ) 若
39、 CF 3 ， BF 4 ， DF 5 ，求證： AF 平分 DA B 證明： 四邊形 ABCD 是平行四邊形 ， AB DC ， AD BC D F A FA B 在 Rt BCF 中 ， 由勾股定理 ， 得 BC FC 2 FB 2 3 2 4 2 5 ， AD BC DF 5 ， D A F D F A ， D A F F A B ， 即 AF 平分 D A B 16 ( 10 分 ) 如圖 ， ABC 中 ， ACB 90 ， D ， E 分別是 BC ， BA 的中點(diǎn) ， 連接 DE ， F 在 DE 的延長線上
40、， 且 AF AE .【導(dǎo)學(xué)號 90280234 】 ( 1 ) 求證：四邊形 ACEF 是平行四邊形； 證明： 如圖 ， ACB 90 ， E 是 BA 的中點(diǎn) ， CE AE BE. AF AE ， AF CE. 在 BEC 中 ， BE CE 且 D 是 BC 的中點(diǎn) ， ED 是等腰 BEC 底邊上的中 線和頂角平分線 ， 1 2 . AF AE ， F 3 . 1 3 ， 2 F ， CE A F .又 CE AF ， 四邊形 ACEF 是平行四邊 形 ( 2 ) 若四邊形 ACEF 是菱形，求
41、B 的度數(shù) 解： 四邊形 ACEF 是菱形 ， AC CE. 由 ( 1 ) 知 ， AE CE ， AC CE AE ， AEC 是等邊三角形 ， CAE 60 ， 在 Rt ABC 中 ， B 90 CAE 90 6 0 30 . 17 ( 12 分 ) ( 2016 德州 ) 我們給出如下定義：順次 連接任意一個(gè)四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫中點(diǎn)四 邊形 【導(dǎo)學(xué)號 90280235 】 ( 1 ) 如圖 1 ，四邊形 ABCD 中，點(diǎn) E ， F ， G ， H 分別為邊 AB ， BC ， CD ， DA 的中點(diǎn)求證：中點(diǎn)四邊形 E
42、F G H 是平行 四邊形； ( 2 ) 如圖 2 ，點(diǎn) P 是四邊形 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，且滿足 PA PB ， PC PD ， A PB C PD ，點(diǎn) E ， F ， G ， H 分別為邊 AB ， BC ， CD ， DA 的中點(diǎn)，猜想中點(diǎn)四邊形 E F G H 的形狀，并證明你的 猜想； ( 1 ) 證明： 如圖 ， 連接 B D 點(diǎn) E ， H 分別為邊 AB ， AD 的中點(diǎn) ， EH BD ， EH 1 2 B D 點(diǎn) F ， G 分別為邊 BC ， CD 的中點(diǎn) ， FG BD ， FG 1 2 B D EH FG ， EH
43、 F G . 中點(diǎn)四邊形 E F G H 是平 行四邊形 ( 2 ) 解： 四邊形 E F G H 是菱形 如圖 ， 連接 AC ， B D A P B CP D A P B A P D C P D AP D 即 A P C BP D 又 PA PB ， PD P C A P C BP D ( S A S ) AC B D 點(diǎn) E ， F ， G 分別為邊 AB ， BC ， CD 的中點(diǎn) ， EF 1 2 AC ， FG 1 2 B D EF F G .又 四邊形 E F G H 是平行四邊 形 ， 中點(diǎn)四邊形
44、 E F G H 是菱形 ( 3 ) 若改變 ( 2 ) 中的條件，使 A P B C P D 90 ， 其他條件不變，直接寫出中點(diǎn)四邊形 E F G H 的形 狀 ( 不必證明 ) 解： 四邊形 E F G H 是正方形證明如下： 如圖 ， AC 與 BD 相交于點(diǎn) O ， 由 ( 2) 得四邊 形 E F G H 是菱形 ， 由 A P C B P D ， 得 ACP B D P ， 進(jìn) 而可得 C O D C P D 90 ， 由 EH BD ， AC HG 可得 E H G 90 ， 則四邊形 E F G H 是正方形 18 (
45、 12 分 ) ( 2016 棗莊 ) 如圖，把 EFP 放置在菱 形 ABCD 中，使得頂點(diǎn) E ， F ， P 分別在線段 AB ， AD ， AC 上， EP FP 6 ， EF 6 3 ， BAD 60 ， AB 6 3 . 【導(dǎo)學(xué)號 90280236 】 ( 1 ) 求 E P F 的大??； 解： 如圖 ， 過點(diǎn) P 作 PG EF 于點(diǎn) G. PE PF 6 ， PG EF ， FG EG 1 2 EF 3 3 ， F P G E P G 1 2 E P F . 在 Rt F P G 中 ， s i n F P G
46、FG PF 3 3 6 3 2 . F P G 60 ， E P F 2 F P G 120 . ( 2 ) 若 AP 10 ，求 AE AF ； 證明： 如圖 ， 作 PM AB 于 M ， PN AD 于 N. AC 為菱形 ABCD 的對角線 ， D A C BAC ， AM AN ， PM P N . 在 Rt P M E 和 Rt P N F 中 ， PM P N ， PE PF ， Rt P M E Rt P N F . ME N F . 又 AP 10 ， P A M 1 2 D A B 30 ，
47、 AM A N A P c o s 30 10 3 2 5 3 . AE AF ( AM ME ) ( AN NF ) AM AN 10 3 . ( 3 ) 若 EFP 的三個(gè)頂點(diǎn) E ， F ， P 分別在線段 AB ， AD ， AC 上運(yùn)動，請直接寫出 AP 長的最大值和最小值 證明： 如圖 ， 當(dāng) EFP 的三 個(gè)頂點(diǎn) E ， F ， P 分別在線段 AB ， AD ， AC 上運(yùn)動時(shí) ， 點(diǎn) P 在 P 1 ， P 2 之間運(yùn)動 ， 易知 P 1 O P 2 O 3 ， AO 9 ， AP 的最大值為 12 ， AP 的最小值為 6 .
中考數(shù)學(xué) 第一部分 教材梳理 第五章 四邊形 第21講 矩形、菱形、正方形復(fù)習(xí)課件 新人教版.ppt
