MATLAB語(yǔ)言與控制系統(tǒng)仿真控制系統(tǒng)的分析方法.ppt

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1、CH4、控制系統(tǒng)的分析方法 早期的控制系統(tǒng)分析過(guò)程復(fù)雜而耗時(shí)，如想得到一個(gè)系統(tǒng) 的沖激響應(yīng)曲線，首先需要編寫一個(gè)求解微分方程的子程 序，然后將已經(jīng)獲得的系統(tǒng)模型輸入計(jì)算機(jī)，通過(guò)計(jì)算機(jī) 的運(yùn)算獲得沖激響應(yīng)的響應(yīng)數(shù)據(jù)，然后再編寫一個(gè)繪圖程 序，將數(shù)據(jù)繪制成可供工程分析的響應(yīng)曲線。 MATLAB控制系統(tǒng)工具箱和 SIMULINK輔助環(huán)境的出現(xiàn)， 給控制系統(tǒng)分析帶來(lái)了福音。 控制系統(tǒng)的分析包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析、時(shí)域分析、頻域 分析及根軌跡分析。 第一節(jié) 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析 對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，如果閉環(huán)極點(diǎn)全部在 S平面左半 平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 對(duì)于離

2、散時(shí)間系統(tǒng)，如果系統(tǒng)全部極點(diǎn)都位于 Z平面 的單位圓內(nèi)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 若連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的 全部零極點(diǎn) 都位于 S左半平面；或 若離散時(shí)間系統(tǒng)的全部零極點(diǎn)都位于 Z平面單位圓內(nèi)， 則系統(tǒng)是最小相位系統(tǒng)。 一、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)判據(jù) 2、直接判別 MATLAB提供了直接求取系統(tǒng)所有零極點(diǎn)的函數(shù)，因此 可以直接根據(jù)零極點(diǎn)的分布情況對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否 為最小相位系統(tǒng)進(jìn)行判斷。 二、系統(tǒng)穩(wěn)定及最小相位系統(tǒng)的判別方法 1、間接判別（工程方法） 勞斯判據(jù)：勞斯表中第一列各值嚴(yán)格為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定， 如果勞斯表第一列中出現(xiàn)小于零的數(shù)值，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 胡爾維茨判

3、據(jù)：當(dāng)且僅當(dāng)由系統(tǒng)分母多項(xiàng)式構(gòu)成的胡爾 維茨矩陣為正定矩陣時(shí)，系統(tǒng)穩(wěn)定。 例 exp4_1.m 已知某系統(tǒng)的模型如右所示： uxy uxx 71652 1 0 0 1 6127 5874 0362 2121 要求判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性及系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 例 exp4_2.m 系統(tǒng)模型如下所示，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，以及系統(tǒng) 是否為最小相位系統(tǒng)。 1122117149452811014 2841163)( 23456 23 ssssss ssssG ii=find(條件式 ) 用來(lái)求取滿足條件的向量的下標(biāo)向量，以列向量表

4、示。 例如 exp4_1.m中的條件式為 real(p0)，其含義就是找出極點(diǎn) 向量 p中滿足實(shí)部的值大于 0的所有元素下標(biāo)，并將結(jié)果返回到 ii 向量中去。這樣如果找到了實(shí)部大于 0的極點(diǎn)，則會(huì)將該極點(diǎn)的 序號(hào)返回到 ii下。如果最終的結(jié)果里 ii的元素個(gè)數(shù)大于 0，則認(rèn)為 找到了不穩(wěn)定極點(diǎn)，因而給出系統(tǒng)不穩(wěn)定的提示，若產(chǎn)生的 ii向 量的元素個(gè)數(shù)為 0，則認(rèn)為沒(méi)有找到不穩(wěn)定的極點(diǎn)，因而得出系 統(tǒng)穩(wěn)定的結(jié)論。 pzmap(p,z) 根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn) p和 z繪制出系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖 第二節(jié) 控制系統(tǒng)的時(shí)域分析 一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的性能常用典型輸入作用下的響應(yīng) 來(lái)描述。響應(yīng)是指零初始值

5、條件下某種典型的輸入函數(shù) 作用下對(duì)象的響應(yīng)，控制系統(tǒng)常用的輸入函數(shù)為單位階 躍函數(shù)和脈沖激勵(lì)函數(shù)（即沖激函數(shù)）。在 MATLAB的 控制系統(tǒng)工具箱中提供了求取這兩種輸入下系統(tǒng)響應(yīng)的 函數(shù)。 一、時(shí)域分析的一般方法 求取系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)： step() 求取系統(tǒng)的沖激響應(yīng)： impulse() 1、 step()函數(shù)的用法 exp4_3_.m y=step(num,den,t)：其中 num和 den分別為系統(tǒng)傳遞函數(shù)描述中的分子和 分母多項(xiàng)式系數(shù)， t為選定的仿真時(shí)間向量，一般可以由 t=0:step:end等步 長(zhǎng)地產(chǎn)生出來(lái)。該函數(shù)返回值 y為系統(tǒng)在仿真時(shí)刻各個(gè)輸出所組成的矩陣。

6、 y,x,t=step(A,B,C,D,iu)：其中 A,B,C,D為系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述矩陣， iu 用來(lái)指明輸入變量的序號(hào)。 x為系統(tǒng)返回的狀態(tài)軌跡。 如果對(duì)具體的響應(yīng)值不感興趣，而只想繪制系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線，可 調(diào)用以下的格式： step(num,den)； step(num,den,t)； step(A,B,C,D,iu,t)； step(A,B,C,D,iu)； 例 e xp 4_ 3. m 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ssss sG o 40368 20)( 234 求系統(tǒng)在單位負(fù)反饋下的階躍響應(yīng)曲線。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)值可以通過(guò)函數(shù) dcgain()來(lái)求取，其調(diào)用格式

7、為： dc=dcgain(num,den)或 dc=dcgain(a,b,c,d) y,x,t=step(num,den)：此時(shí)時(shí)間向量 t由系統(tǒng)模型的特性自動(dòng)生成 , 狀 態(tài)變量 x返回為空矩陣 。 2、 impulse()函數(shù)的用法 例 e xp 4_ 4. m 已知系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： ssss sG o 40368 20)( 234 求系統(tǒng)在單位負(fù)反饋下的脈沖激勵(lì)響應(yīng)曲線。 例 e xp 4_ 5 . m 已知某典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 22 2 2 )( nn n wsws w sG ， ,6.0 5nw ，求系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。 例 e xp 4_ 6

8、. m 已知某閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 251096.116.0 2510)( 23 sss ssG 求其階躍響應(yīng)曲線。 求取脈沖激勵(lì)響應(yīng)的調(diào)用方法與 step()函數(shù)基本一致。 y=impulse(num,den,t)； y,x,t=impulse(num,den)； y,x,t=impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den)； impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu)； impulse(A,B,C,D,iu,t) 仿真時(shí)間 t的選擇： 對(duì)于典型二階系統(tǒng)根據(jù)其響應(yīng)時(shí)間的估算公式 可以確定。

9、對(duì)于高階系統(tǒng)往往其響應(yīng)時(shí)間很難估計(jì)，一般采用試探的方法，把 t選 大一些，看看響應(yīng)曲線的結(jié)果，最后再確定其合適的仿真時(shí)間。 一般來(lái)說(shuō)，先不指定仿真時(shí)間，由 MATLAB自己確定，然后根據(jù)結(jié)果， 最后確定合適的仿真時(shí)間。 在指定仿真時(shí)間時(shí)，步長(zhǎng)的不同會(huì)影響到輸出曲線的光滑程度，一般 不易取太大。 例 exp4_6_.m n s wt 43 二、常用時(shí)域分析函數(shù) 時(shí)間響應(yīng)探究系統(tǒng)對(duì)輸入和擾動(dòng)在時(shí)域內(nèi)的瞬態(tài)行為，系統(tǒng) 特征如：上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間、超調(diào)量和穩(wěn)態(tài)誤差都能從時(shí)間響應(yīng)上 反映出來(lái)。 MATLAB除了提供前面介紹的對(duì)系統(tǒng)階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng) 等進(jìn)行仿真的函數(shù)外，還提供了大量對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)

10、行時(shí)域分析的函數(shù)， 如： covar：連續(xù)系統(tǒng)對(duì)白噪聲的方差響應(yīng) initial：連續(xù)系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) lsim：連續(xù)系統(tǒng)對(duì)任意輸入的響應(yīng) 對(duì)于離散系統(tǒng)只需在連續(xù)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)函數(shù)前加 d就可以，如 dstep， dimpulse等。 它們的調(diào)用格式與 step、 impulse類似，可以通過(guò) help命令來(lái)察看自學(xué)。 三、時(shí)域分析應(yīng)用實(shí)例 例 e xp4 _7. m 某 2 輸入 2 輸出系統(tǒng)如下所示： 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 00 02 02 14

11、056.200 56.22.314.11 00022.1 0022.15.2 u u x x x x x x x x 2 1 4 3 2 1 2 1 02 20 1000 3010 u u x x x x y y ，求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)。 MATLAB的 step()和 impulse()函數(shù)本身可以處理多輸入多輸出 的情況，因此編寫 MATLAB程序并不因?yàn)橄到y(tǒng)輸入輸出的增 加而變得復(fù)雜。 例 e xp4_8. m 某 系統(tǒng) 框圖 如 下 所示 ， 求 d 和 e 的 值 ， 使 系統(tǒng) 的

12、 階躍 響應(yīng) 滿足 ： （ 1 ） 超調(diào)量 不 大于 40 ， （ 2 ） 峰值 時(shí)間 為 0 .8 秒 。 )1( ss d 1 e s + _ R ( s ) C ( s ) 由圖可得閉環(huán)傳遞函數(shù)為： dseds d sG c )1( )( 2 ，其為典型二階系統(tǒng)。 由典型二階系統(tǒng)特征參數(shù)計(jì)算公式 100 2 1 e ， )1( 2 np wt 得： 2 1 22 ) 1 0 0 ( l n/ 1 0 0 ln ， )1( 2 p n t w 例 e x p 4 _ 9 . m 根據(jù)輸入的典型二階系統(tǒng)參數(shù)阻尼比 a l p h

13、及自然振蕩頻率 wn ，求取系統(tǒng)的單 位階躍響應(yīng)參數(shù)：超調(diào)量 pos （ 100 ）；峰值時(shí)間 tp ；上升時(shí)間 tr ；調(diào)節(jié)時(shí)間 t s 2 （ %2 ） 第三節(jié) 控制系統(tǒng)的頻域分析 頻率響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，從頻率響應(yīng)中可以得出 帶寬、增益、轉(zhuǎn)折頻率、閉環(huán)穩(wěn)定性等系統(tǒng)特征。 頻率特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對(duì)頻率的關(guān) 系特性。頻率特性函數(shù)與傳遞函數(shù)有直接的關(guān)系，記為： 一、頻域分析的一般方法 求取系統(tǒng)對(duì)數(shù)頻率特性圖（波特圖）： bode() 求取系統(tǒng)奈奎斯特圖（幅相曲線圖或極坐標(biāo)圖）： nyquist() 為相頻特性為幅頻特性其中 )()()

14、( )( )()( )( )( )()( )( www wX wXwA ewA jwX jwXjwG io i o wj i o 頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究控制系統(tǒng)的一種典型方法。采用這種方法 可直觀地表達(dá)出系統(tǒng)的頻率特性，分析方法比較簡(jiǎn)單，物理概念比較明確， 對(duì)于諸如防止結(jié)構(gòu)諧振、抑制噪聲、改善系統(tǒng)穩(wěn)定性和暫態(tài)性能等問(wèn)題，都 可以從系統(tǒng)的頻率特性上明確地看出其物理實(shí)質(zhì)和解決途經(jīng)。通常將頻率特 性用曲線的形式進(jìn)行表示，包括對(duì)數(shù)頻率特性曲線和幅相頻率特性曲線簡(jiǎn)稱 幅相曲線， MATLAB提供了繪制這兩種曲線的函數(shù)。 1、對(duì)數(shù)頻率特性圖（波特圖） exp4_10.m exp4_10

15、_.m 對(duì)數(shù)頻率特性圖包括了對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖。橫坐標(biāo)為 頻率 w，采用對(duì)數(shù)分度，單位為弧度 /秒；縱坐標(biāo)均勻分度，分別為幅值 函數(shù) 20lgA(w)，以 dB表示；相角，以度表示。 MATLAB提供了函數(shù) bode()來(lái)繪制系統(tǒng)的波特圖，其用法如下： bode(a,b,c,d)：自動(dòng)繪制出系統(tǒng)的一組 Bode圖，它們是針對(duì)連續(xù)狀態(tài) 空間系統(tǒng) a,b,c,d的每個(gè)輸入的 Bode圖。其中頻率范圍由函數(shù)自動(dòng)選取， 而且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多取樣點(diǎn)。 bode(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第 iu個(gè)輸入到所有輸出的波特圖。 bode(num,den)：可繪制

16、出以連續(xù)時(shí)間多項(xiàng)式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的 波特圖。 bode(a,b,c,d,iu,w)或 bode(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪制 出系統(tǒng)的波特圖。 當(dāng)帶輸出變量 mag,pha,w或 mag,pha引用函數(shù)時(shí)，可得到系統(tǒng)波特 圖相應(yīng)的幅值 mag、相角 pha及角頻率點(diǎn) w矢量或只是返回幅值與相角。 相角以度為單位，幅值可轉(zhuǎn)換為分貝單位： magdb=20 log10(mag) 2、奈奎斯特圖（幅相頻率特性圖） exp4_11.m exp4_11_.m 對(duì)于頻率特性函數(shù) G(jw)，給出 w從負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮的一系列數(shù)值，分 別求出 Im(G(jw))和 Re(G(j

17、w))。以 Re(G(jw)) 為橫坐標(biāo)， Im(G(jw)) 為縱 坐標(biāo)繪制成為極坐標(biāo)頻率特性圖。 MATLAB提供了函數(shù) nyquist()來(lái)繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，其用法如下： nyquist(a,b,c,d)：繪制出系統(tǒng)的一組 Nyquist曲線，每條曲線相應(yīng)于連續(xù) 狀態(tài)空間系統(tǒng) a,b,c,d的輸入 /輸出組合對(duì)。其中頻率范圍由函數(shù)自動(dòng)選取， 而且在響應(yīng)快速變化的位置會(huì)自動(dòng)采用更多取樣點(diǎn)。 nyquist(a,b,c,d,iu)：可得到從系統(tǒng)第 iu個(gè)輸入到所有輸出的極坐標(biāo)圖。 nyquist(num,den)：可繪制出以連續(xù)時(shí)間多項(xiàng)式傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)的極 坐標(biāo)圖。 nyqu

18、ist(a,b,c,d,iu,w)或 nyquist(num,den,w)：可利用指定的角頻率矢量繪 制出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖。 當(dāng)不帶返回參數(shù)時(shí)，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖（圖上用箭頭 表示 w的變化方向，負(fù)無(wú)窮到正無(wú)窮） 。當(dāng)帶輸出變量 re,im,w引用函數(shù) 時(shí)，可得到系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實(shí)部 re和虛部 im及角頻率點(diǎn) w矢量（為正 的部分）。可以用 plot(re,im)繪制出對(duì)應(yīng) w從負(fù)無(wú)窮到零變化的部分。 二、常用頻域分析函數(shù) MATLAB除了提供前面介紹的基本頻域分析函數(shù)外，還提 供了大量在工程實(shí)際中廣泛應(yīng)用的庫(kù)函數(shù)，由這些函數(shù)可 以求得系統(tǒng)的各種頻率響應(yīng)曲線和 特征值。如

19、： margin：求幅值裕度和相角裕度及對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)折頻率 freqs：模擬濾波器特性 nichols：求連續(xù)系統(tǒng)的尼科爾斯頻率響應(yīng)曲線（即對(duì)數(shù) 幅相曲線） ngrid：尼科爾斯方格圖 margin()函數(shù) exp4_12.m exp4_12_.m margin函數(shù)可以從頻率響應(yīng)數(shù)據(jù)中計(jì)算出幅值裕度、相角裕度以及對(duì)應(yīng) 的頻率。幅值裕度和相角裕度是針對(duì)開(kāi)環(huán) SISO系統(tǒng)而言，它指示出系統(tǒng)閉 環(huán)時(shí)的相對(duì)穩(wěn)定性。當(dāng)不帶輸出變量引用時(shí)， margin可在當(dāng)前圖形窗口中 繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的 Bode圖，其中幅值裕度以分貝為單位。 幅值裕度是在相角為 -180度處使開(kāi)環(huán)增益為

20、 1的增益量，如在 -180度相頻 處的開(kāi)環(huán)增益為 g，則幅值裕度為 1/g；若用分貝值表示幅值裕度，則等于： -20*log10(g)。類似地，相角裕度是當(dāng)開(kāi)環(huán)增益為 1.0時(shí)，相應(yīng)的相角與 180 度角的和。 margin(mag,phase,w)：由 bode指令得到的幅值 mag（不是以 dB為單位） 、 相角 phase及角頻率 w矢量繪制出帶有裕量及相應(yīng)頻率顯示的 bode圖。 margin(num,den) ：可計(jì)算出連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)表示的幅值裕度和相角裕 度并繪制相應(yīng)波特圖。類似， margin(a,b,c,d)可以計(jì)算出連續(xù)狀態(tài)空間系統(tǒng) 表示的幅值裕度和相角裕度并繪制相應(yīng)

21、波特圖。 gm,pm,wcg,wcp=margin(mag,phase,w)：由幅值 mag（不是以 dB為單 位） 、相角 phase及角頻率 w矢量計(jì)算出系統(tǒng)幅值裕度和相角裕度及相應(yīng) 的相角交界頻率 wcg、截止頻率 wcp，而不直接繪出 Bode圖曲線。 freqs()函數(shù) exp4_13.m freqs用于計(jì)算由矢量 a和 b構(gòu)成的模擬濾波器 H(s)=B(s)/A(s)的幅頻響 應(yīng)。 h=freqs(b,a,w)用于計(jì)算模擬濾波器的幅頻響應(yīng)，其中實(shí)矢量 w用于 指定頻率值，返回值 h為一個(gè)復(fù)數(shù)行向量，要得到幅值必須對(duì)它取絕 對(duì)值，即求模。 h,w=freqs(b,a)自

22、動(dòng)設(shè)定 200個(gè)頻率點(diǎn)來(lái)計(jì)算頻率響應(yīng)，這 200個(gè)頻 率值記錄在 w中。 h,w=freqs(b,a,n)設(shè)定 n個(gè)頻率點(diǎn)計(jì)算頻率響應(yīng)。 不帶輸出變量的 freqs函數(shù)，將在當(dāng)前圖形窗口中繪制出幅頻和相 頻曲線，其中幅相曲線對(duì)縱坐標(biāo)與橫坐標(biāo)均為對(duì)數(shù)分度。 )1(...)2(1 )1(...)2()1( )( )()( 1 1 nasas mbsbsb sA sBsH nn mm 三、頻域分析應(yīng)用實(shí)例 例 e xp4 _1 4 .m e xp4 _1 4 _. m 已知某系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： )1)(6( 26 )( ss sG 要求（ 1 ）繪制系統(tǒng)的奈奎斯特曲線，

23、判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，求出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)。 （ 2 ）給系統(tǒng)增加一個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p= 2 ，求此時(shí)的奈奎斯特曲線，判斷此時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 并繪制系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。 Nyquist曲線是根據(jù)開(kāi)環(huán)頻率特性在復(fù)平面上繪出的幅相軌跡，根據(jù)開(kāi)環(huán) 的 Nyquist曲線，可以判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為： Nyquist曲線按逆時(shí)針包圍臨界點(diǎn) (-1,j0)的圈數(shù) R ， 等于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)位于 s右半平面的極點(diǎn)數(shù) P，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，閉環(huán) 正實(shí)部特征根個(gè)數(shù) Z=P-R。若剛好過(guò)臨界點(diǎn)，則系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 例 e xp4 _1 5 . m 線性時(shí)不變系統(tǒng)如下所示：要求繪

24、制系統(tǒng)的波特圖和奈奎斯特圖，判斷系統(tǒng) 穩(wěn)定性，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，求出系統(tǒng)穩(wěn)定裕度，并繪制系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)以驗(yàn)證判斷結(jié)論。 xy uxx 32.0000 0 0 0 1 032.000 32.07.096.00 00004.1 0004.16.0 例 e xp 4_ 1 6 . m 系統(tǒng)傳遞函數(shù)模型為： se s ssH 5.0 3)2( 1)( ，求出有理傳遞函數(shù)的頻率響 應(yīng)，然后在同一張圖上繪出以四階 pa de 近似表示的系統(tǒng)頻率響應(yīng)。 Pade函數(shù)可以近似表示延時(shí)環(huán)節(jié) e(-st)，它的調(diào)用格式為： (num,d

25、en)=pade(t,n)，產(chǎn)生最佳逼近時(shí)延 t秒的 n階傳遞函數(shù)形式。 (a,b,c,d)=pade(t,n)，則產(chǎn)生的是 n階 SISO的狀態(tài)空間模型。 例 e xp4 _1 7 . m 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，試用 nyq ui s t 頻率曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 其中 )10 6 2 5.0)(125.0)(185.0( 7.16 )( sss s sG 10 G ( s ) R ( s ) C ( s ) + + _ _ 第四節(jié) 控制系統(tǒng)的根軌跡分析 所謂根軌跡是指，當(dāng)開(kāi)環(huán)系統(tǒng)某一參數(shù)從零變到無(wú)窮 大時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在 s平面上的軌跡。一般來(lái) 說(shuō)，

26、這一參數(shù)選作開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的增益 K，而在無(wú)零極點(diǎn)對(duì) 消時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 根軌跡分析方法是分析和設(shè)計(jì)線性定常控制系統(tǒng)的圖 解方法，使用十分簡(jiǎn)便。利用它可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各種性 能分析，例 exp4_18.m 一、根軌跡分析方法的概念 （ 1）穩(wěn)定性 當(dāng)開(kāi)環(huán)增益 K從零到無(wú)窮大變化時(shí)，圖中的根軌跡不會(huì)越過(guò)虛軸進(jìn) 入右半 s平面，因此這個(gè)系統(tǒng)對(duì)所有的 K值都是穩(wěn)定的。如果根軌跡 越過(guò)虛軸進(jìn)入右半 s平面，則其交點(diǎn)的 K值就是臨界穩(wěn)定開(kāi)環(huán)增益。 （ 2）穩(wěn)態(tài)性能 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)在坐標(biāo)原點(diǎn)有一個(gè)極點(diǎn)，因此根軌跡上的 K值就是靜態(tài)速 度誤差系數(shù)，如果給定系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差要求，則可

27、由根軌跡確定閉 環(huán)極點(diǎn)容許的范圍。 （ 3）動(dòng)態(tài)性能 當(dāng) 0

28、TLAB提供了函數(shù) pzmap()來(lái)繪制系統(tǒng)的零極點(diǎn)圖，其 用法如下： p,z=pzmap(a,b,c,d)：返回狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量， 而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。 p,z=pzmap(num,den)：返回傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的極點(diǎn)矢量和零點(diǎn)矢量， 而不在屏幕上繪制出零極點(diǎn)圖。 pzmap(a,b,c,d)或 pzmap(num,den)：不帶輸出參數(shù)項(xiàng)，則直接在 s復(fù)平面 上繪制出系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用 表示，零點(diǎn)用 o表示。 pzmap(p,z)：根據(jù)系統(tǒng)已知的零極點(diǎn)列向量或行向量直接在 s復(fù)平面上繪 制出對(duì)應(yīng)的零極點(diǎn)位置，極點(diǎn)用 表示，零點(diǎn)用 o表示。

29、 2、根軌跡圖繪制 exp4_20.m MATLAB提供了函數(shù) rlocus()來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖，其 用法如下： rlocus(a,b,c,d)或者 rlocus(num,den)：根據(jù) SISO開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描 述模型和傳遞函數(shù)模型，直接在屏幕上繪制出系統(tǒng)的根軌跡圖。開(kāi)環(huán) 增益的值從零到無(wú)窮大變化。 rlocus(a,b,c,d,k)或 rlocus(num,den,k)： 通過(guò)指定開(kāi)環(huán)增益 k的變化范圍 來(lái)繪制系統(tǒng)的根軌跡圖。 r=rlocus(num,den,k) 或者 r,k=rlocus(num,den) ：不在屏幕上直接繪出 系統(tǒng)的根軌跡圖，而根據(jù)開(kāi)環(huán)增益變化矢量

30、k ，返回閉環(huán)系統(tǒng)特征方 程 1 k*num(s)/den(s)=0的根 r，它有 length(k)行， length(den)-1列，每 行對(duì)應(yīng)某個(gè) k值時(shí)的所有閉環(huán)極點(diǎn)?；蛘咄瑫r(shí)返回 k與 r。 若給出傳遞函數(shù)描述系統(tǒng)的分子項(xiàng) num為負(fù)，則利用 rlocus函數(shù)繪制 的是系統(tǒng)的零度根軌跡。（正反饋系統(tǒng)或非最小相位系統(tǒng)） 3、 rlocfind()函數(shù) MATLAB提供了函數(shù) rlocfind()來(lái)找出給定的一組根（閉環(huán)極點(diǎn)）對(duì) 應(yīng)的根軌跡增益。其用法如下： k,p=rlocfind(a,b,c,d)或者 k,p=rlocfind(num,den) 它要求在屏幕上先已經(jīng)繪制好有關(guān)

31、的根軌跡圖。然后，此命令將產(chǎn)生 一個(gè)光標(biāo)以用來(lái)選擇希望的閉環(huán)極點(diǎn)。命令執(zhí)行結(jié)果： k為對(duì)應(yīng)選擇 點(diǎn)處根軌跡開(kāi)環(huán)增益； p為此點(diǎn)處的系統(tǒng)閉環(huán)特征根。 不帶輸出參數(shù)項(xiàng) k,p時(shí)，同樣可以執(zhí)行，只是此時(shí)只將 k的值返回到 缺省變量 ans中。 4、 sgrid()函數(shù) sgrid：在現(xiàn)存的屏幕根軌跡或零極點(diǎn)圖上繪制出自然振蕩頻率 wn、 阻尼比矢量 z對(duì)應(yīng)的格線。 sgrid(new)：是先清屏，再畫(huà)格線。 sgrid(z,wn)：則繪制由用戶指定的阻尼比矢量 z、自然振蕩頻率 wn的 格線。 三、根軌跡分析應(yīng)用實(shí)例 例 exp4_ 21 .m 已知某單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

32、)102.0)(101.0( )( sss ksG 要求：繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡，并確定使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的開(kāi)環(huán)增益 k 。 例 e xp4 _22 . m 某開(kāi)環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)如下所示：要求繪制系統(tǒng)的閉環(huán)根軌跡，分析其穩(wěn)定性， 并繪制出當(dāng) k= 55 和 k= 56 時(shí)系統(tǒng)的閉環(huán)沖激響應(yīng)。 22 )34( )2( )( ss sk sG o 例 exp4_23.m 例 exp4_24.m 控制系統(tǒng)的分析是進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，同時(shí)也是工程實(shí)際當(dāng)中 解決問(wèn)題的主要方法，因而對(duì)控制系統(tǒng)的分析在控制系統(tǒng)仿真中具有 舉足輕重的作用。 通過(guò)求取系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型直接獲得系統(tǒng)的零極點(diǎn)，從而可以直 接對(duì)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性及是否為最小相位系統(tǒng)作出判斷。 控制系統(tǒng)的經(jīng)典分析方法（時(shí)域、頻域分析）是目前控制系統(tǒng)界進(jìn)行 科學(xué)研究的主要方法，是進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，要求熟練掌握單 位階躍響應(yīng)、波特圖等常用命令的使用。 根軌跡分析是求解閉環(huán)特征方程根的簡(jiǎn)單的圖解方法，要求熟練掌握 根軌跡的繪制。 本章小結(jié)