線面垂直及面面垂直典型例題

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1、 線面垂直與面面垂直 基礎(chǔ)要點 線面垂直 面面垂直 線線垂直 、若直線與平面所成的角相等,則平面與的位置關(guān)系是( B ) A、 B、不一定平行于 C、不平行于 D、以上結(jié)論都不正確 、在斜三棱柱,,又,過作⊥底面ABC,垂足為H ,則H一定在( B ) A、直線AC上 B、直線AB上 C、直線BC上 D、△ABC的內(nèi)部 、如圖示,平面⊥平面,與兩平面所成的角分別為和,過A、B分別作兩平面交線的垂線,垂足為,則(

2、 A ) A、2:1 B、3:1 C、3:2 D、4:3 、如圖示,直三棱柱中,, DC上有一動點P,則△周長的最小值是      5.已知長方體中,, 若棱AB上存在點P,使得,則棱AD長 的取值范圍是 。 題型一:直線、平面垂直的應(yīng)用 1.(2014,江蘇卷)如圖,在三棱錐P-ABC中,D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點. 已知. 求證:(1) ;(2) . 證明: (1) 因為D,E分別為棱PC,AC的中點, 所以DE∥PA. 又因為PA ? 平面DEF,DE 平面DEF, 所以直線PA∥平面D

3、EF. (2) 因為D,E,F(xiàn)分別為棱PC,AC,AB的中點,PA=6,BC=8,所以DE∥PA,DE=PA=3,EF=BC=4. 又因 DF=5,故DF2=DE2+EF2, 所以∠DEF=90,即DE丄EF. 又PA⊥AC,DE∥PA,所以DE⊥AC. 因為AC∩EF=E,AC平面ABC,EF平面ABC,所以DE⊥平面ABC. 又DE平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABC. 2. (2014,北京卷,文科)如圖,在三棱柱中,側(cè)棱垂直于底面,,,、分別為、的中點. (1)求證:平面平面;(2)求證:平面. 證明:(1)在三棱柱中, . (2)取AB的中點

4、G,連接EG,F(xiàn)G 、分別為、的中點, , ,則四邊形為平行四邊形, . 3.如圖,是所在平面外的一點,且平面,平面平面.求證. 分析:已知條件是線面垂直和面面垂直,要證明兩條直線垂直,應(yīng)將兩條直線中的一條納入一個平面中,使另一條直線與該平面垂直,即從線面垂直得到線線垂直.. 證明:在平面內(nèi)作,交于.因為平面平面于,平面,且,所以.又因為平面,于是有①.另外平面,平面,所以.由①②及,可知平面.因為平面,所以. 說明:在空間圖形中,高一級的垂直關(guān)系中蘊含著低一級的垂直關(guān)系,通過本題可以看到,面面垂直線面垂直線線垂直. 4. 過點引三條不共面的直線、、,如圖,,,若截取

5、 (1)求證:平面平面; (2)求到平面的距離. 分析:要證明平面平面,根據(jù)面面垂直的判定定理,須在平面或平面內(nèi)找到一條與另一個平面垂直的直線. (1)證明:∵, 又, ∴和都是等邊三角形, ∴, 取的中點,連結(jié),∴. 在中,,∴,, ∴,∴. 在中,∴,,, ∴,∴,∴平面. ∵平面,∴平面平面. 或:∵,∴頂點在平面內(nèi)的射影為的外心, 又為,∴在斜邊上, 又為等腰直角三角形,∴為的中點, ∴平面.∵平面,∴平面平面. (2)解:由前所證:,,∴平面, ∴的長即為點到

6、平面的距離,, ∴點到平面的距離為. 、如圖示,ABCD為長方形,SA垂直于ABCD所在平面,過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G,求證:AE⊥SB,AG⊥SD 6.在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PCD是正三角形,且與底面ABCD垂直,已知底面是面積為的菱形,,M是PB中點。 (1)求證:PACD (2)求證:平面PAB平面CDM 7.在多面體ABCDE中,AB=BC=AC=AE=1,CD=2,面ABC,AE//CD。 (1)求證:AE//平面BCD; (2)求證:平面BED平面BCD

7、 題型二、空間角的問題 1.如圖示,在正四棱柱中,,E為上使的點,平面交于F,交的延長線于G,求: (1)異面直線AD與所成的角的大小 (2)二面角的正弦值 2.如圖,點在銳二面角的棱上,在面內(nèi)引射線,使與所成的角為,與面所成的角大小為,求二面角的大小. 分析:首先根據(jù)條件作出二面角的平面角,然后將平面角放入一個可解的三角形中(最好是直角三角形),通過解三角形使問題得解. 解:在射線上取一點,作于,連結(jié),則為射線與平面所成的角,.再作,交于,連結(jié),則為在平面內(nèi)的射影.由三垂線定理的逆定理,,為二面角的平面角. 設(shè),在中,,

8、在△中, , 是銳角,,即二面角等于. 說明:本題綜合性較強,在一個圖形中出現(xiàn)了兩條直線所稱的角,斜線與平面所稱的角,二面角等空間角,這些空間角都要轉(zhuǎn)化為平面角,而且還要彼此聯(lián)系相互依存,要根據(jù)各個平面角的定義添加適當(dāng)?shù)妮o助線. 3. 正方體的棱長為1,是的中點.求二面角的大小. 分析:求二面角關(guān)鍵是確定它的平面角,按定義在二面角的棱上任取了點,在二個半平面上分別作棱的垂線,方法雖簡便,但因與其他條件沒有聯(lián)系,要求這個平面角一般是很不容易的,所以在解題中不大應(yīng)用.在解題中應(yīng)用得較多的是“三垂線定理”的方法,如圖考慮到垂直于平面,在平面上的射影就是.再過作的垂線,則面,過作的垂線,即為

9、所求二面角的平面角了. 解:過作及的垂線,垂足分別是、,連結(jié). ∵面,面, ∴,又,∴面. 又∵,∴,∴為所求二面角的平面角. ∵∽,∴. 而,,,∴. 在中,.∵,∴. 在中,,在中,, ∴. 4.PA垂直于矩形ABCD所在平面,M、E、N分別是AB、CD和PC的中點, (1)求證:MN∥平面PAD (2)若二面角P-DC-A為,求證:平面MND⊥平面PDC 5.已知正方體中,E為棱上的動點, (1)求證:⊥BD (2) 當(dāng)E恰為棱的中點時,求證:平面⊥平面 (3)在棱上是否存在一個點E,可以使二面角的大小為?如果存在,試確定E在棱上的位置;如果不存在,請說明理由。 題型三、探索性、開放型問題 1.如圖,已知正方形ABCD的邊長為2,中心為O。設(shè)平面ABCD,EC//PA,且PA=2。問當(dāng)CE為多少時,PO平面BED。 2.已知△ABC中,,AB⊥平面BCD,,E、F分別是AC、AD上的動點,且 (1)求證:不論為何值,總有平面BEF⊥平面ABC (2)當(dāng)為何值時,平面BEF⊥平面ACD?

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