高中平面幾何定理
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1、(高中)平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)(基本定理、基本性質(zhì)) 1. 勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)(廣義勾股定理)(1)銳角對(duì)邊的平方,等于其他兩邊之平方和,減去這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍. (2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和,加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍. 2. 射影定理(歐幾里得定理) 3. 中線定理(巴布斯定理)設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P,則有; 中線長:. 4. 垂線定理:. 高線長:. 5. 角平分線定理:三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例. 如△ABC中,AD平分∠BAC,則;(外角平分線定理). 角平
2、分線長:(其中為周長一半). 6. 正弦定理:,(其中為三角形外接圓半徑). 7. 余弦定理:. 8. 張角定理:. 9. 斯特瓦爾特(Stewart)定理:設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D,則有AB2DC+AC2BD-AD2BC=BCDCBD. 10. 圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角相等,等于圓心角的一半.(圓外角如何轉(zhuǎn)化?) 11. 弦切角定理:弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角. 12. 圓冪定理:(相交弦定理:垂徑定理:切割線定理(割線定理):切線長定理:) 13. 布拉美古塔(Brahmagupta)定理: 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中,AC⊥BD,自對(duì)角線的交點(diǎn)P向一
3、邊作垂線,其延長線必平分對(duì)邊. 14. 點(diǎn)到圓的冪:設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn),PO=d,⊙O的半徑為r,則d2-r2就是點(diǎn)P對(duì)于⊙O的冪.過P任作一直線與⊙O交于點(diǎn)A、B,則PAPB= |d2-r2|.“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線,如果此二圓相交,則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個(gè)結(jié)論.這條直線稱為兩圓的“根軸”.三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行,則它們交于一點(diǎn),這一點(diǎn)稱為三圓的“根心”.三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪.當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí),三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點(diǎn). 15. 托勒密(Ptolemy)定理:圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線之積等于兩組對(duì)邊乘積
4、之和,即ACBD=ABCD+ADBC,(逆命題成立) .(廣義托勒密定理)ABCD+ADBC≥ACBD. 16. 蝴蝶定理:AB是⊙O的弦,M是其中點(diǎn),弦CD、EF經(jīng)過點(diǎn)M,CF、DE交AB于P、Q,求證:MP=QM. 17. 費(fèi)馬點(diǎn):定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn),到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離;不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn),到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離.定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120時(shí),在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn),它對(duì)三條邊所張的角都是120,該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小,稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”,當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120時(shí),此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬點(diǎn). 18. 拿破侖
5、三角形:在任意△ABC的外側(cè),分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF,則AE、AB、CD三線共點(diǎn),并且AE=BF=CD,這個(gè)命題稱為拿破侖定理. 以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF,它們的外接圓⊙C1 、⊙A1 、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形,⊙C1 、⊙A1 、⊙B1三圓共點(diǎn),外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形;△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF,它們的外接圓⊙C2 、⊙A2 、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形,⊙C2 、⊙A2 、⊙B2三圓共點(diǎn),內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形.這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心
6、. 19. 九點(diǎn)圓(Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A):三角形中,三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線的垂足,以及垂心與各頂點(diǎn)連線的中點(diǎn),這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上,九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如: (1)三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半; (2)九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點(diǎn); (3)三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕. 20. 歐拉(Euler)線:三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上. 21. 歐拉(Euler)公式:設(shè)三角形的外接圓半徑為R,內(nèi)切圓半徑為r,外心與內(nèi)
7、心的距離為d,則d2=R2-2Rr. 22. 銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和. 23. 重心:三角形的三條中線交于一點(diǎn),并且各中線被這個(gè)點(diǎn)分成2:1的兩部分; 重心性質(zhì):(1)設(shè)G為△ABC的重心,連結(jié)AG并延長交BC于D,則D為BC的中點(diǎn),則; (2)設(shè)G為△ABC的重心,則; (3)設(shè)G為△ABC的重心,過G作DE∥BC交AB于D,交AC于E,過G作PF∥AC交AB于P,交BC于F,過G作HK∥AB交AC于K,交BC于H,則; (4)設(shè)G為△ABC的重心,則 ①; ②; ③(P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)); ④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)
8、是重心,即最??; ⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心;反之亦然(即滿足上述條件之一,則G為△ABC的重心). 24. 垂心:三角形的三條高線的交點(diǎn); 垂心性質(zhì):(1)三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離,等于外心到對(duì)邊的距離的2倍; (2)垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱點(diǎn),均在△ABC的外接圓上; (3)△ABC的垂心為H,則△ABC,△ABH,△BCH,△ACH的外接圓是等圓; (4)設(shè)O,H分別為△ABC的外心和垂心,則. 25. 內(nèi)心:三角形的三條角分線的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心,即內(nèi)心到三角形各邊距離相等; 內(nèi)心性質(zhì):(1)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心,則I到△ABC三邊的距離
9、相等,反之亦然; (2)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心,則; (3)三角形一內(nèi)角平分線與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等;反之,若平分線交△ABC外接圓于點(diǎn)K,I為線段AK上的點(diǎn)且滿足KI=KB,則I為△ABC的內(nèi)心; (4)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心, 平分線交BC于D,交△ABC外接圓于點(diǎn)K,則; (5)設(shè)I為△ABC的內(nèi)心,I在上的射影分別為,內(nèi)切圓半徑為,令,則①;②;③. 26. 外心:三角形的三條中垂線的交點(diǎn)——外接圓圓心,即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等; 外心性質(zhì):(1)外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等; (2)設(shè)O為△ABC的外心,則或; (3);(4)銳角三角形的
10、外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和. 27. 旁心:一內(nèi)角平分線與兩外角平分線交點(diǎn)——旁切圓圓心;設(shè)△ABC的三邊令,分別與外側(cè)相切的旁切圓圓心記為,其半徑分別記為. 旁心性質(zhì):(1)(對(duì)于頂角B,C也有類似的式子); (2); (3)設(shè)的連線交△ABC的外接圓于D,則(對(duì)于有同樣的結(jié)論); (4)△ABC是△IAIBIC的垂足三角形,且△IAIBIC的外接圓半徑等于△ABC的直徑為2R. 28. 三角形面積公式: ,其中表示邊上的高,為外接圓半徑,為內(nèi)切圓半徑,. 29. 三角形中內(nèi)切圓,旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系: 30. 梅涅勞斯(Menelaus
11、)定理:設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 .(逆定理也成立) 31. 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1:設(shè)△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q,∠C的平分線交邊AB于R,∠B的平分線交邊CA于Q,則P、Q、R三點(diǎn)共線. 32. 梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2:過任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線,分別和BC、CA、AB的延長線交于點(diǎn)P、Q、R,則P、Q、R三點(diǎn)共線. 33. 塞瓦(Ceva)定理:設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn),則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是=1. 34. 塞瓦
12、定理的應(yīng)用定理:設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E,又設(shè)BE和CD交于S,則AS一定過邊BC的中點(diǎn)M. 35. 塞瓦定理的逆定理:(略) 36. 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1:三角形的三條中線交于一點(diǎn),三角形的三條高線交于一點(diǎn),三角形的三條角分線交于一點(diǎn). 37. 塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2:設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T,則AR、BS、CT交于一點(diǎn). 38. 西摩松(Simson)定理:從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線,設(shè)其垂足分別是D、E、R,則D、E、R共線,(這條直線叫西摩松線S
13、imson line). 39. 西摩松定理的逆定理:(略) 40. 關(guān)于西摩松線的定理1:△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直,其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上. 41. 關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理):在一個(gè)圓周上有4點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線,這些西摩松線交于一點(diǎn). 42. 史坦納定理:設(shè)△ABC的垂心為H,其外接圓的任意點(diǎn)P,這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線通過線段PH的中心. 43. 史坦納定理的應(yīng)用定理:△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上.這條直線被
14、叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線. 44. 牛頓定理1:四邊形兩條對(duì)邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線的中點(diǎn),三點(diǎn)共線.這條直線叫做這個(gè)四邊形的牛頓線. 45. 牛頓定理2:圓外切四邊形的兩條對(duì)角線的中點(diǎn),及該圓的圓心,三點(diǎn)共線. 46. 笛沙格定理1:平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長線相交,則這三個(gè)交點(diǎn)共線. 47. 笛沙格定理2:相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF,設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點(diǎn),這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長線相交,則這三個(gè)交點(diǎn)共線. 48. 波
15、朗杰、騰下定理:設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R,則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是:弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2) . 49. 波朗杰、騰下定理推論1:設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn),若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn),則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點(diǎn). 50. 波朗杰、騰下定理推論2:在推論1中,三條西摩松線的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線段的中點(diǎn). 51. 波朗杰、騰下定理推論3:考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線,如設(shè)QR為垂直于這
16、條西摩松線該外接圓的弦,則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn). 52. 波朗杰、騰下定理推論4:從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線,設(shè)垂足分別是D、E、F,且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N,則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上,這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點(diǎn). 53. 卡諾定理:通過△ABC的外接圓的一點(diǎn)P,引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF,與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線. 54. 奧倍爾定理:通過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線,設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分
17、別是L、M、N,在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P,則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線. 55. 清宮定理:設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn),P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時(shí),QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線. 56. 他拿定理:設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn),點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱點(diǎn)分別是U、V、W,這時(shí),如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點(diǎn)分別是D、E、F,則D、E、F三點(diǎn)共線.
18、(反點(diǎn):P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點(diǎn),如果OC2=OQOP 則稱P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)) 57. 朗古來定理:在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn),以其中任三點(diǎn)作三角形,在圓周取一點(diǎn)P,作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線,再從P向這4條西摩松線引垂線,則四個(gè)垂足在同一條直線上. 58. 從三角形各邊的中點(diǎn),向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線引垂線,這些垂線交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心. 59. 一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn),從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心,向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線所引的垂線都交于一點(diǎn). 60. 康托爾定理1:一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn),從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余
19、下兩點(diǎn)的連線所引的垂線共點(diǎn). 61. 康托爾定理2:一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn),則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線的交點(diǎn)在同一直線上.這條直線叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線. 62. 康托爾定理3:一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點(diǎn).這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn). 63. 康托爾定理4:一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn),則
20、M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線上.這條直線叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線. 64. 費(fèi)爾巴赫定理:三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切. 65. 莫利定理:將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相得到一個(gè)交點(diǎn),則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形.這個(gè)三角形常被稱作莫利正三角形. 66. 布利安松定理:連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F,則這三線共點(diǎn). 67. 帕斯卡(Paskal)定理:圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或
21、延長線的)交點(diǎn)共線. 68. 阿波羅尼斯(Apollonius)定理:到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P,位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上.這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓. 69. 庫立奇*大上定理:(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)圓周上有四點(diǎn),過其中任三點(diǎn)作三角形,這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上,我們把過這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓. 70. 密格爾(Miquel)點(diǎn): 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn),構(gòu)成四個(gè)三角形,它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF,則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為密格爾點(diǎn). 71. 葛爾剛(Gergonne)點(diǎn):△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F,則AE、BF、CD三線共點(diǎn),這個(gè)點(diǎn)稱為葛爾剛點(diǎn). 72. 歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式:O是三角形的外心,M是三角形中的任意一點(diǎn),過M向三邊作垂線,三個(gè)垂足形成的三角形的面積,其公式: .
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