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1、第 2課時 復數(shù)代數(shù)形式 的加減運算及其幾何意義 導 學 固 思 . . . 1.理解復數(shù)代數(shù)形式的加減運算規(guī)律 . 2.復數(shù)的加減與向量的加減的關(guān)系 . 導 學 固 思 . . . 實數(shù)可以進行加減運算 ,并且具有豐富的運算律 ,其運算 結(jié)果仍是實數(shù) ;多項式也有相應的加減運算和運算律 ;對 于引入的復數(shù) ,其代數(shù)形式類似于一個多項式 ,當然它也 應有加減運算 ,并且也有相應的運算律 . 導 學 固 思 . . . 問題 1 依據(jù)多項式的加法法則 ,得到復數(shù)加法的運算 法則 . 設 z1=a+bi,z2=c+di是任意兩個復數(shù) ,那么 (a+bi)+(c+di)= , 很明
2、顯 ,兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù) . (a+c)+(b+d)i 導 學 固 思 . . . 問題 2 復數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律 . 即 z1+z2= ,(z1+z2)+z3= . z2+z1 z1+(z2+z3) 利用向量加法討論復數(shù)加法的幾何意義 向量加法遵循平行四邊形法則 ,在直角坐標系中從 橫縱坐標上分析就是橫縱坐標分別相加 .故復數(shù)相 加就是實部與虛部分別相加得到一個新的復數(shù) . 問題 3 導 學 固 思 . . . 問題 4 如何理解復數(shù)的減法 ? 復數(shù)減法是復數(shù)加法的逆運算 .向量減法遵循三角形 法則 ,在直角坐標系中從橫縱坐標上分析就是橫縱坐 標分別相
3、減 .故復數(shù)相減就是實部與虛部分別相減得 到一個新的復數(shù) . 導 學 固 思 . . . 1 設 z1=3-4i,z2=-2+3i,則 z1-z2在復平面內(nèi)對應的點位 于 ( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】 (3-4i)-(-2+3i)=5-7i. D 導 學 固 思 . . . 2 3 (2 - 2 i) + (3 + i) + (4 + 2 i) + (5 + 1 2 i) - 3 2 i( 其中 i 為虛數(shù)單位 ) 等 于 ( ) . A . 10 B . 10 + 2i C . 14 D . 14 + 2
4、i 【解析】 (2 - 2 i) + (3 + i) + (4 + 2 i) + (5 + 1 2 i) - 3 2 i = 2 + 3 + 4 + 5 + ( - 2 + 1 + 2 + 1 2 - 3 2 )i = 14 . C 復數(shù) z1=9+3i,z2=-5+2i,則 z1-z2= . 【解析】 z1-z2=(9+3i)-(-5+2i)=14+i. 14+i 導 學 固 思 . . . 4 已知復數(shù) z 1=7-6i,z1+z2=-4+3i. (1)求 z2; (2)求 z1-2z2. 【解析】 (1)z2=(z1+z2)-z1=(-4+3i)-(7-6i)=-11+9i.
5、(2)z1-2z2=(7-6i)-2(-11+9i)=7-6i+22-18i=29-24i. 導 學 固 思 . . . 復數(shù)代數(shù)形式的加減法運算 (1) z 1 = 2 + 3i, z 2 = - 1 + 2i, 求 z 1 +z 2 , z 1 - z 2 ; (2) 計算 :( 1 3 + 1 2 i) + (2 - i) - ( 4 3 - 3 2 i); (3) 計 算 :(1 - 2i) + ( - 2 + 3i) + (3 - 4i) + ( - 4 + 5i) + + ( - 2012 + 2013 i) + (20 13 - 2014i) . 導 學 固 思 .
6、. . 【解析】 (1) z 1 +z 2 = 2 + 3i + ( - 1 + 2i) = 1 + 5i, z 1 - z 2 = 2 + 3i - ( - 1 + 2i) = 3 + i . (2) 1 3 + 1 2 i + (2 - i) - ( 4 3 - 3 2 i) = ( 1 3 + 2 - 4 3 ) + ( 1 2 - 1 + 3 2 )i = 1 + i . (3)( 法一 ) 原式 = (1 - 2) + (3 - 4) + + (2011 - 20 12) + 20 13 + ( - 2 + 3) + ( - 4 + 5) + + ( - 2012 + 2
7、013) - 2014i = ( - 10 06 + 2013) + (1 006 - 20 14 )i = 1007 - 10 08i . ( 法二 )(1 - 2i) + ( - 2 + 3i) = - 1 + i, (3 - 4i) + ( - 4 + 5i) = - 1 + i, (2 011 - 2012i) + ( - 20 12 + 20 13 i) = - 1 + i, 將以上各式 ( 共 1006 個 ) 相加可知 : 原式 = 1006 ( - 1 + i) + (201 3 - 20 14i) = 10 07 - 10 08i . 導 學 固 思 . . .
8、7 復數(shù)代數(shù)形式加減運算的幾何意義 在復平面內(nèi) ,A、 B、 C分別對應復數(shù) z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以 AB、 AC為鄰邊作一個 平行四邊形 ABDC,求 D點對應的復數(shù) z4及 AD的長 . 導 學 固 思 . . . 【解析】如圖所示 : 對應復數(shù) z 3 - z 1 , 對應復數(shù) z 2 - z 1 , 對應復數(shù) z 4 - z 1 . 由復數(shù)加減運算的幾何意義得 = + , z 4 - z 1 = ( z 2 - z 1 )+(z 3 - z 1 ), z 4 =z 2 +z 3 - z 1 = (
9、 5 + i ) + ( 3 + 3 i ) - ( 1 + i ) = 7 + 3 i , A D 的長為 | | = | z 4 - z 1 | = | ( 7 + 3 i ) - ( 1 + i ) | = | 6 + 2 i | = 2 . 導 學 固 思 . . . 復數(shù)加減運算的綜合應用 已知實數(shù) a0,b0,復數(shù) z1=a+5i,z2=3- bi,|z1|=13,|z2|=5,求 z1+z2. 【解析】由題意得 a 2 + 25 = 13 , 9 + b 2 = 5 , a 0 , b 0 , a = 12 , b = 4 , z 1 = 12 +
10、 5i, z 2 = 3 - 4i, z 1 +z 2 = 15 + i . 導 學 固 思 . . . 復數(shù) z1=2+3i,z2=4-5i,z3=-6i,求 z1+z2-z3,并說明 z1+z2-z3在復平面內(nèi)對應的點所在的象限 . 【解析】 z1+z2-z3=(2+3i)+(4-5i)-(-6i)=6+4i, z1+z2-z3在復平面內(nèi)對應的點為 (6,4),在第一象限 . 導 學 固 思 . . . 如圖所示 , 平行四邊形 OABC 的頂點 O 、 A 、 C 分 別表示 0 、 3 + 2 i 、 - 2+4i. 求 : (1) 表示的復數(shù) ; (2)
11、表示的復數(shù) ; (3) 表示的復數(shù) . 【解析】 (1) 因為 = - , 所以 表示的復數(shù)為 - 3 - 2 i . (2) 因為 = - , 所以 表示的復數(shù)為 ( 3 + 2 i ) - ( - 2 + 4 i ) = 5 - 2i. (3) 因為 = + , 所以 表示的復數(shù)為 ( 3 + 2 i ) + ( - 2 + 4 i ) = 1 + 6 i . 導 學 固 思 . . . 已知實數(shù) aR, 復數(shù) z1=a+2-3ai,z2=6-7i,若 z1+z2為
12、純虛 數(shù) ,求 a的值 . 【解析】 z 1 +z 2 =(a+2 - 3ai)+(6 - 7i)=a+8 - (3a+7)i, z 1 +z 2 為純虛數(shù) , a + 8 = 0 , 3a + 7 0 , a= - 8. 導 學 固 思 . . . 2 . 復數(shù) (3 + i) m - (2 + i) 對應的點在第三象限內(nèi) , 則實數(shù) m 的 取值范圍是 ( ) . A. m< 2 3 B. m< 1 C. 2 3
13、 學 固 思 . . . 【解析】 (3 + i) m - (2 + i) = (3 m - 2) + ( m - 1) i, 點 (3 m - 2, m - 1) 在第三象限 , 3m - 2 < 0 , m - 1 < 0 , 即 m< 2 3 . 3.復數(shù) z1=-2+3i,z2=4+3i,則 z1-z2= . 【解析】 z1-z2=(-2+3i)-(4+3i)=-6. -6 導 學 固 思 . . . 4.已知 aR, 復數(shù) z1=2+(a+2)i,z2=a2+2a-1+3i, 若 z1+z2為實數(shù) ,求 z1-z2. 【解析】 z1+z2=a2+2a+1+(a+5)i, aR,z 1+z2為實數(shù) ,a+5=0,a= -5, z 1=2-3i,z2=14+3i,z 1-z2=-12-6i. 導 學 固 思 . . .
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