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1、《數(shù)學分析》(三)――參考答案及評分標準
一. 計算題（共8題，每題9分，共72分）。
1. 求函數(shù)在點(0,0)處的二次極限與二重極限.
解： ，因此二重極限為.……(4分)
因為與均不存在，
故二次極限均不存在。 ……(9分)
2. 設 是由方程組所確定的隱函數(shù),其中和分別具有連續(xù)的導數(shù)和偏導數(shù),求.
解： 對兩方程分別關于求偏導:
，
……(4分)
。
解此方程組并整理得. ……(9分)
3. 取為新自變量及為新函數(shù)，變換方程
2、
。
設 （假設出現(xiàn)的導數(shù)皆連續(xù)）.
解：看成是的復合函數(shù)如下：
。 ……(4分)
代人原方程，并將變換為。整理得：
。 ……(9分)
4. 要做一個容積為的有蓋圓桶,什么樣的尺寸才能使用料最省?
解： 設圓桶底面半徑為,高為,則原問題即為：求目標函數(shù)在約束條件下的最小值，其中
目標函數(shù): ,
約束條件: 。 ……(3分)
構造Lagrange函數(shù)：。
令
3、 ……(6分)
解得，故有 由題意知問題的最小值必存在，當?shù)酌姘霃綖楦邽闀r，制作圓桶用料最省。 ……(9分)
5. 設,計算.
解：由含參積分的求導公式
……(5分)
。 ……(9分)
6. 求曲線所圍的面積，其中常數(shù).
解：利用坐標變換 由于，則圖象在第一三象限，從而可以利用對稱性，只需求第一象限內的面積。
。 ……(3分)
則
……(6分)
. ……
4、(9分)
7. 計算曲線積分,其中是圓柱面與平面的交線（為一橢圓），從軸的正向看去，是逆時針方向.
解： 取平面上由曲線所圍的部分作為Stokes公式中的曲面，定向為上側，則的法向量為
。 ……(3分)
由Stokes公式得
……(6分)
……(9
5、分)
8. 計算積分,為橢球的上半部分的下側.
解：橢球的參數(shù)方程為，其中且
。 ……(3分)
積分方向向下，取負號，因此，
……(6分)
……(9分)
二. 證明題（共3題，共28分）。
9.（9分） 討論函數(shù)在原點(0,0)處的連續(xù)性、可偏導性和可微性.
解：連續(xù)性：當時，
，當，
從而函數(shù)在原點處連續(xù)。 ……(3分)
可偏導性：，
6、 ，
即函數(shù)在原點處可偏導。 ……(5分)
可微性： 不存在，
從而函數(shù)在原點處不可微。 ……(9分)
10.（9分） （9分） 設滿足：
（1）在上連續(xù)，
（2），
（3）當固定時，函數(shù)是的嚴格單減函數(shù)。
試證：存在，使得在上通過定義了一個函數(shù)，且在上連續(xù)。
證明：（i）先證隱函數(shù)的存在性。
由條件（3）知，在上是的嚴格單減函數(shù)，而由條件（2）知，從而由函數(shù)的連續(xù)性得
， 。
現(xiàn)考慮一元連續(xù)函數(shù)。由于，則必存在
7、使得
， 。
同理，則必存在使得
， 。
取，則在鄰域內同時成立
， 。 ……(3分)
于是，對鄰域內的任意一點，都成立
， 。
固定此，考慮一元連續(xù)函數(shù)。由上式和函數(shù)關于的連續(xù)性可知，存在的零點使得
＝0。
而關于嚴格單減，從而使＝0的是唯一的。再由的任意性，證明了對內任意一點，總能從找到唯一確定的與相對應，即存在函數(shù)關系或。此證明了隱函數(shù)的存在性。
……(6分)
（ii）下證隱函數(shù)的連續(xù)性。
設是內的任意一點，記。
對任意給定的，作兩平行線
， 。
由上述證明知
8、
， 。
由的連續(xù)性，必存在的鄰域使得
， ， 。
對任意的，固定此并考慮的函數(shù)，它關于嚴格單減且
， 。
于是在內存在唯一的一個零點使
，
即 對任意的，它對應的函數(shù)值滿足。這證明了函數(shù)是連續(xù)的。 ……(9分)
11.（10分）判斷積分在上是否一致收斂，并給出證明。
證明：此積分在上非一致收斂。證明如下：
作變量替換，則
。 ……(3分)
不論正整數(shù)多么大，當時，恒有。
9、 ……(5分)
因此，
……(7分)
，當時。
因此原積分在上非一致收斂。 ……(10分)
注：不能用Dirichlet判別法證明原積分是一致收斂的。原因如下：
盡管對任意的積分一致有界，且函數(shù)關于單調，但是當時，關于并非一致趨于零。事實上，取 相應地取，則，并非趨于零。
《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題
一、 解答下列各題（每小題5分，共40分）
1、 設求；
2、
10、求
3、設求在點處的值；
4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分；
5、求函數(shù)在點處的梯度；
6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程；
7、計算積分：；
8、計算積分：；
二、 (10分)求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。
三、 （10分）若是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求
四、 （10分）計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域 .
五、 （10分）計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。
六、 （10分）計算，其中是半球面。
七、 （10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。
參考答案
11、
一、解答下列各題（每小題5分，共40分）
1、 設求；
解：；
。
2、求；
解：
3、設求在點處的值；
解：
。
4、求由方程所確定的函數(shù)在點處的全微分；
解：在原方程的兩邊求微分，可得
將代入上式，化簡后得到
5、求函數(shù)在點處的梯度；
解：
。
6、求曲面在點（1，2，0）處的切平面和法線方程；
解：記
在點（1，2，0）處的法向量為：
則切平面方程為：即
法線方程為：，即。
7、計算積分：；
解：
而在上連續(xù)，且在[1，2]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有
原式。
8、計算積分：；
解：交換
12、積分順序得：
八、 求內接于橢球的最大長方體的體積，長方體的各個面平行于坐標面。
解：設長方體在第一卦限的頂點坐標為（x,y,z），則長方體的體積為：
拉格朗日函數(shù)為
由 解得：
根據(jù)實際情況必有最大值，所以當長方體在第一卦限內的頂點坐標為時體積最大。
九、 若D是由和兩坐標軸圍成的三角形區(qū)域，且，求
解：
十、 計算,其中是由圓周及所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域 .
解：
。
十一、 計算，其中為，的全部邊界曲線，取逆時針方向。
解：由格林公式：
所以
十二、 計算，其中是半球面。
解：
十三、 討論含參變量反常積分在內的一致收
13、斂性。
解：，而收斂，
所以由M判別法知，在內的一致收斂。
《 數(shù)學分析[3] 》模擬試題
十四、 解答下列各題（每小題5分，共40分）
1、設，求；
2、，求；
3、設，求；
4、設是方程所確定的與的函數(shù)，求；
5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向導數(shù)；
6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。
7、計算積分：;
8、計算積分：；
二、 (10分)原點到曲線的最大距離和最小距離。
三、（10分）已知，其中為球體：，求
四、
14、（10分）計算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。
五、（10分）計算，其中為圓周，取逆時針方向。
六、（10分）計算，其中為錐面被拄面所割下部分。
七、 （10分）討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。
參考答案
十五、 解答下列各題（每小題5分，共40分）
1、設，求；
解：
。
2、，求；
解：
。
3、設，求；
解：
。
4、設是方程所確定的與的函數(shù)，求；
解：方程兩邊求微分，得
。
5、求函數(shù)在點處沿從點到點的方向導數(shù)；
解：方向即向量的方向，因此x軸到方向的轉角。
故所求方向導數(shù)為：。
15、
6、已知曲面上點P處的切平面平行于平面，求P點的坐標。
解：設P點的坐標為，則P點處的切平面為
又因該平面與平面平行，
則有 ，，即。
7、計算積分：;
解：
而在上連續(xù)，且在[2，3]上一致收斂，則可交換積分次序，于是有
原式。
8、計算積分：；
解：交換積分順序得：
三、 原點到曲線的最大距離和最小距離。
解：設P（x,y,z）為曲線上任意點，則目標函數(shù)為，約束條件為，建立拉格朗日函數(shù)：
由 得駐點：和，根據(jù)實際情況必有最大值和最小值，
。
四、 已知，其中為球體：，求
解：用球坐標計算，得
故。
四、計算，其中D是由圓周所圍成的區(qū)域。
解：由對稱性知：
故
五、計算，其中為圓周，取逆時針方向。
解：由格林公式：
所以 。
六、計算，其中為錐面被拄面所割下部分。
解：在xoy面上的投影為
八、 討論含參變量反常積分在內的一致收斂性。
解：當時，，而收斂，
所以由M判別法知，在內的一致收斂。
數(shù)學分析三試卷及答案
