數(shù)學(xué)分析試題及答案

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1、（二十一）數(shù)學(xué)分析期終考試題 一 敘述題：（每小題5分，共15分） 1 開集和閉集 2 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的逐項(xiàng)求導(dǎo)定理 3 Riemann可積的充分必要條件 二 計(jì)算題：（每小題7分，共35分） 1、 2、求繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的幾何體的體積 3、求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域 4、 5、，l為從點(diǎn)P0(2,-1,2)到點(diǎn)（-1，1，2）的方向， 求fl(P0) 三 討論與驗(yàn)證題：（每小題10分，共30分） 1、已知，驗(yàn)證函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)不連續(xù)，但它在該點(diǎn)可微 2、討論級(jí)數(shù)的斂散性。 3、討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性。 四 證明題：（每小題10分，共20分） 1

2、 若收斂，且f（x）在[a,+∞）上一致連續(xù)函數(shù)，則有 2 設(shè)二元函數(shù)在開集內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，對(duì)于變量y滿足Lipschitz條件：其中為常數(shù)證明在D內(nèi)連續(xù)。 參考答案 一、1、若集合S中的每個(gè)點(diǎn)都是它的內(nèi)點(diǎn)，則稱集合S為開集；若集合S中包含了它的所有的聚點(diǎn)，則稱集合S為閉集。 2 設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)滿足（1）在[a，b]連續(xù)可導(dǎo) a) 在[a，b]點(diǎn)態(tài)收斂于 b) 在[a，b]一致收斂于 則=在[a，b] 可導(dǎo)，且 3、有界函數(shù)在[a，b]上可積的充分必要條件是，對(duì)于任意分法，當(dāng)時(shí)Darboux大和與Darboux小和的極限相等 二、1、令（2分）（5分） 2、，

3、（2分）所求的體積為：（5分） 3、解：由于收斂半徑為(4分），當(dāng)時(shí)，，所以收斂域?yàn)?(3分） 4、（7分） 5、解： 設(shè)極坐標(biāo)方程為（4分）（3分） 三、1、解、（4分）由于當(dāng)趨于（0，0）無極限。所以不連續(xù)，同理可的也不連續(xù)，（2分） 2、解：（5分）收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂（5分） 3、解：部分和（3分）， 取，時(shí)有，所以級(jí)數(shù)一致收斂（7分） 四、證明題（每小題10分，共20分） 1、證明：用反證法 若結(jié)論不成立，則 ，使得，（3分）又因?yàn)樵趂（x）在[a,∞）上一致連續(xù)函數(shù)，，只要，有，（3分）于是，取上述使的點(diǎn)，不妨設(shè)，則對(duì)任意滿足的，有取A和A‘分別等于和，則有，由

4、Cauchy收斂定理，不收斂，矛盾（4分） 2、證明：，由Lipschitz條件（1），（6分）又由二元函數(shù)在開集內(nèi)對(duì)于變量x是連續(xù)的，（1）式的極限為0，在連續(xù)，因此在D內(nèi)連續(xù)（4分） （二十二）數(shù)學(xué)分析期末考試題 一 敘述題：（每小題5分，共15分） 1 Darboux和 2 無窮限反常積分的Cauchy收斂原理 3 Euclid空間 二 計(jì)算題：（每小題7分，共35分） 1、 2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、(n是非負(fù)整數(shù)） 4、設(shè)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求 5、求的冪級(jí)數(shù)展開式 三 討論與驗(yàn)證題：（每小題1

5、0分，共20分） 1、討論二元函數(shù)連續(xù)、偏可導(dǎo)、可微之間的關(guān)系。對(duì)肯定的結(jié)論任選一進(jìn)行證明；對(duì)否定的結(jié)論，給出反例 2、討論級(jí)數(shù)的絕對(duì)和條件收斂性。 四 證明題：（每小題10分，共30分） 1 f（x）在[0，+∞）上連續(xù)且恒有f（x）>0，證明在[0，+∞）上單調(diào)增加 2 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，單調(diào)減少，證明 3 ，證明：不存在 參考答案 一、1、有界函數(shù)定義在上，給一種分法，和記，則分別稱為相應(yīng)于分法的Darboux大和和Darboux小和。 2、使得，成立 3、向量空間上定義內(nèi)積運(yùn)算構(gòu)成Euclid空間 二、1、由于（7分） 2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（2，2）

6、，（0，0），（2分） 所求的面積為：（5分） 3、 解： =+=+（6分） (1分） 4、：=（3分）（4分） 5、解： 由于余項(xiàng)，（3分）所以（4分） 三、1、解、可微必可偏導(dǎo)和連續(xù)，證明可看課本133頁（4分），可偏導(dǎo)不一定連續(xù)和可微例子可看課本135頁（6分） 2、解：當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，（4分）當(dāng)，由Dirichlet定理知級(jí)數(shù)收斂，但，所以發(fā)散，即級(jí)數(shù)條件收斂（4分），當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0，所以級(jí)數(shù)不收斂（2分） 四、證明題（每小題10分，共30分） 1 證明：（8分） 所以函數(shù)單調(diào)增加（2分） 2 證明：，有由此得，（4分）由級(jí)數(shù)收斂，故可取定使

7、得，又，故使得時(shí)，有，（4分）于是當(dāng)時(shí)，有，得證（2分） 3、證明：，所以不存在（10分） （二十三）數(shù)學(xué)分析期末考試題 一 敘述題：(每小題5分，共15分） 1 微積分基本公式 2 無窮項(xiàng)反常積分 3 緊幾合 二 計(jì)算題：(每小題7分，共35分） 1、 2、求由下列兩條曲線圍成的平面圖形的面積 3、求的收斂半徑和收斂域 4、設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)和全微分 5、 三 討論與驗(yàn)證題：(每小題10分，共30分） 1 討論的二重極限和二次極限 2 討論的斂散性 3、討論函數(shù)項(xiàng)的一致收斂性。 四 證明題：(每小題10分，共20

8、分） 1 設(shè)f（x）連續(xù)，證明 2 證明滿足 參考答案 一、1、設(shè)在連續(xù)，是在上的一個(gè)原函數(shù)，則成立。 2、設(shè)函數(shù)在有定義，且在任意有限區(qū)間上可積。若極限存在，則稱反常積分收斂，否則稱反常積分發(fā)散 3、如果S的任意一個(gè)開覆蓋中總存在一個(gè)有限子覆蓋，，即存在中的有限個(gè)開集，滿足，則稱S為緊集 二、1、=（7分） 2、解：兩曲線的交點(diǎn)為（-2，4），（1，1），（2分） 所求的面積為：（5分） 3 ：，收斂半徑為1（4分），由于時(shí)，級(jí)數(shù)不收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋?1，1）（3分） 4：===（4分）（3分） 5、解：（7分） 三、1、解、由于沿趨于（0，0）時(shí)，，所以重極限不存在（5分） ，（5分） 2：，由于故收斂（4分）；，由于（4分）故收斂，，，發(fā)散（2分）。 3、（3分），，所以函數(shù)列一致收斂（7分） 四、證明題（每小題10分，共20分） 1 證明：==（10分） 2、證明：，（6分）（4分）