傅里葉變換的基本性質(zhì)傅里葉變換性質(zhì).pdf

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1、傅里葉變換的基本性質(zhì)（一）傅里葉變換建立了時間函數(shù)和頻譜函數(shù)之間轉(zhuǎn)換關系。在實際信號分析中，經(jīng)常需要對信號的時域和頻域之間的對應關系及轉(zhuǎn)換規(guī)律有一個清楚而深入的理解。因此有必要討論傅里葉變換的基本性質(zhì)，并說明其應用。一、線性傅里葉變換是一種線性運算。若 則其中a和b均為常數(shù)，它的證明只需根據(jù)傅里葉變換的定義即可得出。例3-6利用傅里葉變換的線性性質(zhì)求單位階躍信號的頻譜函數(shù)。 解因由式(3-5)得二、對稱性 若則證明因為有 將上式中變量換為x，積分結(jié)果不變，即 再將t用代之，上述關系依然成立，即最后再將x用t代替，則得所以 證畢若是一個偶函數(shù)，即，相應有，則式(3-56)成為可見，傅里葉變換之間

2、存在著對稱關系，即信號波形與信號頻譜函數(shù)的波形有著互相置換的關系，其 幅度之比為常數(shù)。式中的表示頻譜函數(shù)坐標軸必須正負對調(diào)。例如：例3-7若信號的傅里葉變換為 試求。解將中的換成t，并考慮為的實函數(shù)，有 該信號的傅里葉變換由式(3-54)可知為 根據(jù)對稱性故再將中的換成t，則得 為抽樣函數(shù)，其波形和頻譜如圖3-20所示。 三、折疊性若則 四、尺度變換性若則 證明因a0，由 令，則，代入前式，可得函數(shù)表示沿時間軸壓縮(或時間尺度擴展)a倍，而則表示沿頻率軸擴 展(或頻率尺度壓縮)倍。該性質(zhì)反映了信號的持續(xù)時間與其占有頻帶成反比，信號持續(xù)時間壓縮的倍數(shù)恰好等于占有頻帶的展寬倍數(shù)，反之亦然。例3-8

3、已知,求頻譜函數(shù)。 解前面已討論了的頻譜函數(shù)，且根據(jù)尺度變換性，信號比的時間尺度擴展一倍，即波形壓縮了一半，因此其頻譜函數(shù) 兩種信號的波形及頻譜函數(shù)如圖3-21所示。 五、時移性若則 此性質(zhì)可根據(jù)傅里葉變換定義不難得到證明。它表明若在時域平移時間，則其頻譜函數(shù)的振幅并不改變，但其相位卻將改變。例3-9求的頻譜函數(shù)。解:根據(jù)前面所討論的矩形脈沖信號和傅里葉變換的時移性，有 六、頻移性若 則證明證畢 頻移性說明若信號乘以，相當于信號所分解的每一指數(shù)分量都乘以，這就使頻譜中的每條譜線都必須平移，亦即整個頻譜相應地搬移了位置。頻譜搬移技術在通信系統(tǒng)得到了廣泛應用，諸如調(diào)幅、同步解調(diào)、變頻等過程都是在頻

4、譜搬移的基礎上完成的。頻譜搬移實現(xiàn)原理是將信號乘以所謂載頻信號或，即 七、時域微分性若則 證明：因為兩邊對t求導數(shù)，得 所以同理，可推出例3-10求的頻譜函數(shù)。 解:因為由時域微分性例3-1圖3-2所示信號為三角形函數(shù) 求其頻譜函數(shù)。解:將微分兩次后，得到圖3-2(c)所示函數(shù)，其表達式為 由微分性所以傅里葉變換的基本性質(zhì)（二）八、頻域微分性 若則 例3-12求的頻譜函數(shù)。解:因為根據(jù)頻域微分性 九、時域積分性若則 例3-1根據(jù)和積分性求的頻譜函數(shù)。解:因為，又，根據(jù)時域積分性 例3-14求圖3-2所示信號的頻譜函數(shù)。 解:對求兩次微分后，得且由時域積分性 十、頻域積分性若則 例3-15已知，

5、求。解:因為 根據(jù)頻域積分性十一、時域卷積定理若 則證明： 例3-16圖3-24(a)所示的三角形函數(shù)可看做為兩個如圖324(b)所示門函數(shù)卷積。試利用時域卷積定理求其頻譜函數(shù)。 解：因又所以 例3-17一個信號的希伯特變換是和的卷積，即解：因為 則對稱性有由時域卷積定理 傅里葉變換的基本性質(zhì)（三）十二、頻域卷積定理若則 或例3-18利用頻域卷積定理求的傅里葉變換。解：因為 由對稱性有所以根據(jù)頻域卷積定理，有 即十三、帕塞瓦爾定理若 則可推廣若為實函數(shù)，則 若,為實函數(shù)，則例3-19求。 解：因又，由帕塞瓦爾定理可得十四、奇偶性 若，則 (1)當為實函數(shù)時，則若為實偶函數(shù)，即，則 若為實奇函數(shù)

6、，即，則(2)當為虛函數(shù)，即時，則 傅里葉變換的性質(zhì)表格性質(zhì)名稱時域頻域1.線性2.對稱性3.折疊性 4.尺度變換性5.時移性6.頻移性 周期信號的傅里葉變換周期信號雖然不滿足絕對可積的條件，但其傅里葉變換是存在的。由于周期信號頻譜是離散的，所以它的傅里葉變換必然也是離散的，而且是由一系列沖激信號組成。下面先討論幾種常見的周期信號的傅里葉變換，然后再討論一般周期信號的傅里葉變換。一、復指數(shù)信號的傅里葉變換對于復指數(shù)信號 ，因為，由頻移性復指數(shù)信號是表示一個單位長度的相量以固定的角頻率0隨時間旋轉(zhuǎn)，經(jīng)傅里葉變換后，其頻譜為 集中于，強度為的沖激。這說明信號時間特性的相移對應于頻域中的頻率轉(zhuǎn)移。二

7、、余弦、正弦信號的傅里葉變換對于余弦信號 7.時域微分8.頻域微分9.時域積分 10.頻域積分1.時域卷積12.頻域卷積13.帕塞瓦爾定理 其頻譜函數(shù)對于正弦信號 有它們的波形及其頻譜如圖3-25所示。 三、單位沖激序列的傅里葉變換若信號為單位沖激序列，即 則其傅里葉級數(shù)展開式為對其進行傅里葉變換，并利用線性和頻移性得 式中?？梢姡瑫r域周期為的單位沖激序列，其傅里葉變換也是周期沖激序列，而頻域周期為，沖激強度相等，均為。周期單位沖激序列波形、傅里葉系數(shù)與頻譜函數(shù)如圖3-26所示。 四、一般周期信號的傅里葉變換對于一般周期為T的周期信號，其指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式為 式中, . 對上式兩邊取傅里葉

8、變換，并利用其線性和頻移性，且考慮到與時間無關，可得式(3-82)表明，一般周期信號的傅里葉變換(頻譜函數(shù))是由無窮多個沖激函數(shù)組成，這些沖激函數(shù)位于信號的各諧波頻率處，其強度為相應傅里葉級數(shù)系數(shù)的倍。 可見，周期信號的頻譜是離散的。但由于傅里葉變換是反映頻譜密度的概念，因此周期信號的傅里葉變換不同于傅里葉系數(shù)，它不是有限值，而是沖激函數(shù)，這表明在無窮小的頻帶范圍(即諧頻點)取得了無窮大的頻譜值。例3-20圖3-27(a)表示一周期為，脈沖寬度為，幅度為1的周期性矩形脈沖信號，記為。試求其頻譜函數(shù)。 解由式(3-26)可知，圖3-27(a)所示周期性矩形脈沖信號的傅里葉系數(shù)為代入式(3-82)

9、，得 （3-8）式中?？梢?，周期矩形脈沖信號的傅里葉變換由位于處的沖激函數(shù)所組成，其在處的強度為。圖3-27(b)給出了情況下的頻譜圖 周期信號的頻譜一、周期信號的頻譜一個周期信號，只要滿足狄里赫利條件，則可分解為一系列諧波分量之和。其各次諧波分量可以是正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，也可以是指數(shù)函數(shù)。不同的周期信號，其展開式組成情況也不盡相同。在實際工作中，為了表征不同信號的諧波組成情況，時常畫出周期信號各次諧波的分布圖形，這種圖形稱為信號的頻譜，它是信號頻域表示的一種方式。 描述各次諧波振幅與頻率關系的圖形稱為振幅頻譜，描述各次諧波相位與頻率關系的圖形稱為相位頻譜。根據(jù)周期信號展成傅里葉級數(shù)的不同形式

10、又分為單邊頻譜和雙邊頻譜。1 單邊頻譜若周期信號的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-15)，即 則對應的振幅頻譜和相位頻譜稱為單邊頻譜。例3-求圖3-4所示周期矩形信號的單邊頻譜圖。解由波形可知，為偶函數(shù)，其傅里葉系數(shù) 故因此,即, , , , ,單邊振幅頻譜如圖3-5所示。 2 雙邊頻譜若周期信號的傅里葉級數(shù)展開式為式(3-17)，即 則與所描述的振幅頻譜以及的相位與所描述的相位頻譜稱為雙邊頻譜。例3-4畫出圖3-4所示矩形周期信號的雙邊頻譜圖形。解由式(3-18)和圖3-4可知 , , ,, , 故,的雙邊頻譜圖如圖3-6所示。 從上例頻譜圖上可以看出，單邊振幅頻譜是指與正值的關系，雙邊振幅頻譜是

11、指與正負值的關系。應注意，所以將雙邊振幅頻譜圍繞縱軸將負一邊對折到一邊，并將振幅相加，便得到單邊振幅頻譜。當為實數(shù)，且各諧波分量的相位為零或，圖形比較簡單時，也可將振幅頻譜和相位頻譜 合在一幅圖中。比如，例3-4中的頻譜可用與關系圖形反映，如圖3-7所示。 3 周期信號頻譜的特點圖3-7反映了周期矩形信號頻譜的一些性質(zhì)，實際上它也是所有周期信號頻譜的普遍性質(zhì)，這就是：(1)離散性。指頻譜由頻率離散而不連續(xù)的譜線組成，這種頻譜稱為離散頻譜或線譜。 (2)諧波性。指各次諧波分量的頻率都是基波頻率的整數(shù)倍，而且相鄰諧波的頻率間隔是均勻的，即譜線在頻率軸上的位置是的整數(shù)倍。(3)收斂性。指譜線幅度隨而

12、衰減到零。因此這種頻譜具有收斂性或衰減性.二、周期信號的有效頻譜寬度在周期信號的頻譜分析中，周期矩形脈沖信號的頻譜具有典型的意義，得到廣泛的應用。下面以圖3-8所示的周期矩形脈沖信號為例，進一步研究其頻譜寬度與脈沖寬度之間的圖3-8關系。 圖3-8所示信號的脈沖寬度為，脈沖幅度為，重復周期為，重復角頻率為。若將展開為式(3-17)傅里葉級數(shù)，則由式(3-18)可得 在這里為實數(shù)。因此一般把振幅頻譜和相位頻譜合畫在一幅圖中，如圖3-9所示。 由此圖可以看出：(1)周期矩形脈沖信號的頻譜是離散的，兩譜線間隔為。(2)直流分量、基波及各次諧波分量的大小正比于脈幅和脈寬，反比于周期，其變化受包絡線的牽

13、制。 (3)當時，譜線的包絡線過零點。因此稱為零分量頻率。 (4)周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，它可分解為無限多個頻率分量，但其主要能量集中在第一個零分量頻率之內(nèi)。因此通常把這段頻率范圍稱為矩形信號的有效頻譜寬度或信號的占有頻帶，記作 或顯然，有效頻譜寬度只與脈沖寬度有關，而且成反比關系。有效頻譜寬度是研究信號與系統(tǒng)頻率特性的重要內(nèi)容，要使信號通過線性系統(tǒng)不失真，就要求系統(tǒng)本身所具有的頻率特性必須與信號的頻寬相適應。對于一般周期信號，同樣也可得到離散頻譜，也存在零分量頻率和信號的占有頻帶。三、周期信號頻譜與周期的關系 下面仍以圖3-8所示的周期矩形信號為例進行分析。因為所以在脈沖寬度保持不

14、變的情況下，若增大周期，則可以看出：(1)離散譜線的間隔將變小，即譜線變密。 (2)各譜線的幅度將變小，包絡線變化緩慢，即振幅收斂速度變慢。(3)由于不變，故零分量頻率位置不變，信號有效頻譜寬度亦不變。圖3-10給出了脈沖寬度相同而周期不同的周期矩形脈沖信號的頻譜。由圖可見，這時頻譜包絡線的零點所在位置不變，而當周期增大時，頻譜線變密，即在信號占有頻帶內(nèi)諧波分量增多，同時振幅減小。當周期無限增大時，變?yōu)榉侵芷谛盘?，相鄰譜線間隔趨近于零。相應振幅趨于無窮小量，從而周期信號的離散頻譜過渡到非周期信號的連續(xù)頻譜，這將在下一節(jié)中討論。 如果保持周期矩形信號的周期不變，而改變脈沖寬度，則可知此時譜線間隔

15、不變。若減小，則信號頻譜中的第一個零分量頻率增大，即信號的頻譜寬度增大，同時出現(xiàn)零分量頻率的次數(shù)減小，相鄰兩個零分量頻率間所含的諧波分量增大。并且各次諧波的振幅減小，即振幅收斂速度變慢。若增大，則反之。四、周期信號的功率譜 周期信號的平均功率可定義為在電阻上消耗的平均功率，即周期信號的平均功率可以用式(3-28)在時域進行計算，也可以在頻域進行計算。若的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式為 則將此式代入式(3-28)，并利用的有關性質(zhì)，可得該式稱為帕塞瓦爾(Parseval)定理。它表明周期信號的平均功率完全可以在頻域用加以確定。實際 上它反映周期信號在時域的平均功率等于頻域中的直流功率分量和各次諧波平均

16、功率分量之和。與的關系稱為周期信號的功率頻譜，簡稱為功率譜。顯然，周期信號的功率譜也是離散譜。例3-5試求圖3-8所示周期矩形脈沖信號在有效頻譜寬度內(nèi)，諧波分量所具有的平均功率占整個信號平均功率的百分比。設。 解因為作出頻譜和功率譜圖，如圖3-1所示。第一個零分量頻率為所以在信號頻譜寬度內(nèi)，包含一個直流分量和四個諧波分量。 圖3-1周期信號的平均功率為在有效頻譜寬度內(nèi)信號的平均功率為 故從上式可以看出，在所給出的周期矩形脈沖情況下，包含在有效頻譜寬度內(nèi)的信號平均功率約占整個信號平均功率的90%非周期信號的頻譜一、非周期信號的頻譜函數(shù) 對于周期信號，已知它可表示為式中 將式(3-1)改寫為當信號

17、的周期趨于無限大時，由上節(jié)討論可知譜線間隔趨于無窮小，譜線密集成為連續(xù)頻譜，離散變量變?yōu)檫B續(xù)變量，即，此時記 稱為頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)，其意義為單位頻率上的諧波幅度。為的復函數(shù)，可寫作其中代表非周期信號中各頻率分量幅值的相對大小，輻角則代表相應各頻率分量的相位。 由于可得所以式(3-0)在時為 該式表明，一個非周期信號可以看做是無限多個幅度無限小的復指數(shù)諧波之和，而其中每一個分量的復數(shù)振幅為。二、傅里葉變換式(3-)和式(3-4)是一對很重要的變換式，現(xiàn)重寫如下： 前者是由信號的時間函數(shù)變換成頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式，有時記為或后者是由信號的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式

18、。有時記為或 如果上述變換中的自變量不用角頻率而用頻率，則由于，可寫為 頻譜密度函數(shù)是一復變函數(shù)，可以寫為式中和分別為的模和相位，和分別為的實部和虛部。傅里葉反變換式也可寫成 可見一個非周期信號也可以分解成許多不同頻率的正、余弦分量，也可以分解為t的復變函數(shù)。若是實函數(shù)，則和分別是的偶函數(shù)和奇函數(shù)，并且三、傅里葉變換的存在條件 前面根據(jù)周期信號的傅里葉級數(shù)導出了傅里葉變換。而從理論上講，傅里葉變換也應滿足一定條件才能存在。傅里葉變換存在的必要和充分條件的證明需要較多的數(shù)學基礎理論，在此僅對其充分條件加以討論。如果信號滿足絕對可積條件，即 則其傅里葉變換存在，并滿足反變換式。所有能量信號都能滿足

19、上述絕對可積條件。這一條件是傅里葉變換存在充分條件而不是必要條件。一些不滿足絕對可積條件的函數(shù)也可有傅里葉變換，例如抽樣函數(shù)，階躍函數(shù)，符號函數(shù)和周期函數(shù)等。 下面說明為什么式(3-9)成立時，和一定存在。因為要使存在必須滿足 式(3-40)中的被積函數(shù)是變量的函數(shù)，它可正可負。但如果取絕對值再進行積分，則必有t又，，故 由式(3-41)可知，如果,則必然存在。四、典型信號的頻譜函數(shù)1 單邊指數(shù)信號單邊指數(shù)信號的表達式為 代入式(3-)得幅度頻譜為，相位頻譜為。可見幅度頻譜和相位頻譜函 數(shù)分別是頻率的偶函數(shù)和奇函數(shù)。單邊指數(shù)信號波形，幅度譜和相位譜如圖3-12所示。 2 偶雙邊指數(shù)信號偶雙邊指

20、數(shù)信號的表達式為 其頻譜函數(shù)為故幅度頻譜，相位頻譜。波形和幅度頻譜如圖 3-1所示。 3 奇雙邊指數(shù)信號對于奇雙邊指數(shù)信號 其頻譜函數(shù)故 其波形和幅度頻譜如圖3-14所示。 4 符號函數(shù)信號符號函數(shù)或正負號函數(shù)以記，其表示式為 顯然，這種信號不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。對奇雙邊指數(shù)信號當時，有，故符號函數(shù)的頻譜函數(shù) 并其波形和幅度頻譜如圖3-15所示。5 單位直流信號對于單位直流信號，其表達式為 可見該信號也不滿足絕對可積條件，但可利用上述取極限，可求得其傅里葉變換。即故 且顯然，這表明為一個沖激強度為，出現(xiàn)在的沖激函數(shù)，即 其波形和頻譜如圖3-16所示。6 單位階躍信號對于單位

21、階躍信號，可利用求其傅里葉變換，即 故利用，有 其波形和頻譜如圖3-17所示。 7 單位沖激信號 單位沖激信號的時域表示式為 其傅里葉變換式為可見，單位沖激信號的頻譜函數(shù)是常數(shù)1，它均勻分布于整個頻率范圍。其波形和頻譜如圖3-18所示。 8 矩形脈沖信號矩形脈沖信號的表達式為 其頻譜函數(shù)并有， 其波形和頻譜如圖3-19所示?？梢钥闯觯匦蚊}沖信號在時域中處于有限范圍內(nèi)，而其頻譜卻以規(guī)律變化，分布于無限寬的頻率范圍內(nèi)，但其主要能量處于范圍。所以，通常認為這種信號的占有頻帶為或。表3-2列出了常用信號的傅里葉變換。 表3-2常用信號的傅里葉變換時間函數(shù)傅立葉變換單邊指數(shù)信號偶雙邊指數(shù)信號 奇雙邊指

22、數(shù)信號符號函數(shù) 直流信號單位階躍信號 單位沖激信號1矩形脈沖信號 三角脈沖信號非正弦周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)周期信號是定義在(-,)區(qū)間，每隔一定時間，按相同規(guī)律重復變化的信號。一般表示為 式中，為該信號的重復周期，其倒數(shù)稱為該信號的頻率，記為或角頻率 對于非正弦周期函數(shù)，根據(jù)定理3-1，可以用在區(qū)間內(nèi)完備的正交函數(shù)集來表示。下面討論幾種不同形式的表示式。一、三角函數(shù)表示式由上節(jié)討論可知，三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)為完備正交函數(shù)集。根據(jù)定理3-1，對于周期為的一類信號(函數(shù))中任一個信號都可以精確地表示為 的線性組合，即對于 有由式(3-10)，得 式(3-1)稱為周期信號的三角型傅里葉級數(shù)展開式。從

23、數(shù)學上講，當周期信號滿足狄里赫利條件時才可展開為傅里葉級數(shù)。但在電子、通信、控制等工程技術中的周期信號一般都能滿足這個條件，故以后一般不再特別注明此條件。若將式(3-1)中同頻率項加以合并，還可寫成另一種形式，即 比較式(3-1)和式(3-15)，可看出傅里葉級數(shù)中各量之間有如下關系： 式(3-15)稱為周期信號的余弦型傅里葉級數(shù)展開式。 式(3-1)和式(3-15)表明，任何周期信號，只要滿足狄里赫利條件，都可以分解為許多頻率成整數(shù)倍關系的正(余)弦信號的線性組合。在式(3-1)中，是直流成分；,稱為基波分量，為基波頻率；,稱n次諧波分量。直流分量的大小，基波分量和各次諧波的振幅、相位取決于

24、周期信號的波形。從式(3-14)和式(3-16)可知，各分量的振幅,, 和相位都是的函數(shù)，并有：,是的偶函數(shù)，即；，是的奇函數(shù)，即 例3-2圖3-所示鋸齒波，求其三角型傅里葉級數(shù)展開式。 解由圖3-可知，該信號在一個周期區(qū)間(-,)內(nèi)，有周期,。 由式(3-14)，得 故該信號的三角型傅里葉級數(shù)展開式為二、指數(shù)形式 因為復指數(shù)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)也是一個完備的正交函數(shù)集，其中，因此，根據(jù)定理3-1，對于任意周期為的信號，可在區(qū)間內(nèi)表示為的線性組合。即 式中由式(3-10)可求得為式(3-17)稱為周期信號的指數(shù)型傅里葉級數(shù)展開式。由于通常為復數(shù)，所以式(3-17)又稱為復系數(shù)傅里葉級數(shù)展開式。同一個

25、周期信號，既可以展開成式(3-1)所示的三角型傅里葉級數(shù)式，也可以展成式(3-17)所示的指數(shù)型傅里葉級數(shù)式，所以二者之間必有確定的關系。 因為代入式(3-1)，得 所以 在周期信號展開式(3-17)中，表示成復頻率為的指數(shù)函數(shù)之和。雖然由于引用而出現(xiàn)了角頻率，但這并不表示實際上存在負頻率，而只是將第n項諧波分量寫成了兩個指數(shù)項而出現(xiàn)的一種數(shù)學形式。事實上，和必然成對出現(xiàn)，且都振蕩在上，它們的和給出了一個振蕩頻率為的時間實函數(shù)，即 三、周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系要把已知周期信號展開為傅里葉級數(shù)，如果為實函數(shù)，且它的波形滿足某種對稱性，則在其傅里葉級數(shù)中有些項將不出現(xiàn)，留下的各項系數(shù)的表

26、示式也變得比較簡單。周期信號的對稱關系主要有兩種：一種是整個周期相對于縱坐標軸的對稱關系，這取決于周期信號是偶函數(shù)還是奇函數(shù)，也就是展開式中是否含有正弦項或余弦項；另一種是整個周期前后的對稱關系，這將決定傅里葉級數(shù)展開式中是否含有偶次項或奇次項。下面簡單說明函數(shù)的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系。 1 偶函數(shù)若周期信號波形相對于縱軸是對稱的，即滿足則是偶函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含直流分量和余弦分量，即 2 奇函數(shù)若周期信號波形相對于縱坐標是反對稱的，即滿足此時稱為奇函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦項，即 3 奇諧函數(shù)若周期信號波形沿時間軸平移半個周期后與原波形相對于時間軸像對稱，即滿足 則稱為

27、奇諧函數(shù)或半波對稱函數(shù)。這類函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦項的奇次諧波分量。4 偶諧函數(shù)若周期信號波形沿時間軸平移半個周期后與原波形完全重疊，即滿足 則為偶諧函數(shù)或半周期重疊函數(shù)，其傅里葉級數(shù)展開式中只含有正弦和余弦波的偶次諧波分量。 熟悉并掌握了周期信號的奇、偶和奇諧、偶諧等性質(zhì)后，對于一些波形所包含的諧波分量?？梢宰鞒鲅杆倥袛?，并使傅里葉級數(shù)系數(shù)的計算得到一定簡化。表3-1給出了周期信號波形的各種對稱情況、性質(zhì)，以及對應的傅里葉系數(shù)an和bn的計算公式。表3-1周期信號的對稱性與傅里葉系數(shù)的關系函數(shù)性質(zhì) 偶函數(shù)只有直流分量和余弦項0 奇函數(shù)只有正弦項00奇諧函數(shù)只有奇次 諧波分量

28、0(n為奇數(shù)) (n為奇數(shù))偶諧函數(shù)只有偶次諧波分量(n為偶數(shù)) (n為偶數(shù)) 四、傅里葉級數(shù)的性質(zhì)若，則的傅里葉級數(shù)展開式具有以下性質(zhì)(證明略)： 用完備正交函數(shù)集表示信號一、正交矢量在平面空間中，兩個矢量正交是指兩個矢量相互垂直。如圖3-1(a)所示的和是正交的，它們之間的銳夾角為90。顯然，平面空間兩個矢量正交的條件是 這樣，可將一個平面中任意矢量A,在直角坐標系中分解為兩個正交矢量的集合同理，對一個三維空間中的矢量必須用三維的正交矢量集來表示，如圖3-1(b)所示。有 其中，，相互正交。在三維空間中是一個完備的正交矢量集，而二維正交矢量集則在此情況下是不完備的。依次類推，在n維空間中，

29、只有n個正交矢量，，，，構成的正交矢量集才是完備的，也就是說，在n維空間中的任一矢量，必須用n維正交矢量集來表示，即 雖然n維矢量空間并不存在于客觀世界，但是這種概念有許多應用。例如，n個獨立變量的一個線性方程，可看做維坐標系中n個分量組成的矢量。二、正交函數(shù)與正交函數(shù)集正交矢量分解的概念，可推廣應用于信號分析，信號常以時間函數(shù)來表示，故信號的分解，也就是時間函數(shù)的分解。仿照矢量正交概念，也可定義函數(shù)的正交。設和是定義在區(qū)間上的兩個實變函數(shù)(信號)，若在區(qū)間上有 則稱和在內(nèi)正交。 若,,定義在區(qū)間上，并且在，內(nèi)有則在內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中i,r=1,2,n;為一正數(shù)。如果 則稱為歸一化正交函數(shù)

30、集。對于在區(qū)間內(nèi)的復變函數(shù)集，若滿足 則稱此復變函數(shù)集為正交復變函數(shù)集。其中為的共軛復變函數(shù)。三、完備的正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集之外，找不到另外一個非零函數(shù)與該函數(shù)集中每一個函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。否則為不完備正交函數(shù)集。對于完備正交函數(shù)集，有兩個重要定理。 定理3-1設在區(qū)間內(nèi)是某一類信號(函數(shù))的完備正交函數(shù)集，則這一類信號中的任何一個信號f(t)都可以精確地表示為的線性組合。即式中，為加權系數(shù)，且有 式(3-9)常稱正交展開式，有時也稱為歐拉傅里葉公式或廣義傅里葉級數(shù)，稱為傅里葉級數(shù)系數(shù)。定理3-2在式(3-9)條件下，有式(3-1)可以理解為：的能量等于各個分量的能

31、量之和，即反映能量守恒。定理3-2也稱為帕塞瓦爾 定理。例3-1已知余弦函數(shù)集cost,s2t,cosnt(n為整數(shù))(1)證明該函數(shù)集在區(qū)間(0,2)內(nèi)為正交函數(shù)集；(2)該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)是完備正交函數(shù)集嗎? (3)該函數(shù)集在區(qū)間(0，)內(nèi)是正交函數(shù)集嗎?解：(1)因為當ir時 可見該函數(shù)集在區(qū)間(0，2)內(nèi)滿足式(3-6)，故它在區(qū)間(0，2)內(nèi)是一個正交函數(shù)集。(2)因為對于非零函數(shù)sint，有 即sint在區(qū)間(0，2)內(nèi)與cosnt正交。故函數(shù)集cosnt在區(qū)間(0，2)內(nèi)不是完備正交函數(shù)集。(3)當ir時，對于任意整數(shù)，此式并不恒等于零。因此，根據(jù)正交函數(shù)集的定義，該函數(shù)

32、集cosnt在區(qū)間(0，)內(nèi)不是正交函數(shù)集。 由上例可以看到，一個函數(shù)集是否正交，與它所在區(qū)間有關，在某一區(qū)間可能正交，而在另一區(qū)間又可能不正交。另外，在判斷函數(shù)集正交時，是指函數(shù)集中所有函數(shù)應兩兩正交，不能從一個函數(shù)集中的某n個函數(shù)相互正交，就判斷該函數(shù)集是正交函數(shù)集。四、常見的完備正交函數(shù)集(1)三角函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，有 式中，。 可見在區(qū)間內(nèi)，三角函數(shù)集對于周期為的信號組成正交函數(shù)集，而且是完備的正交函數(shù)集(其完備性在此不討論)。而函數(shù)集，也是正交函數(shù)集，但它們均不是完備的。(2)函數(shù)集在區(qū)間內(nèi)，對于周期為的一類周期信號來說，也是一個完備的正交函數(shù)集。 (3)函數(shù)集在區(qū)間(-，)內(nèi)，對于有

33、限帶寬信號類來說是一個完備的正交函數(shù)集。這里稱為抽樣函數(shù)。(4)沃爾什函數(shù)集Wal(k,t)在區(qū)間(0，1)內(nèi)，對于周期為1的一類信號來說是一個完備的正交函數(shù)集。 圖3-2示出了前6個沃爾什函數(shù)波形。 (5)勒讓德多項式在區(qū)間(-1,+)內(nèi)構成一個完備正交函數(shù)集，即此外，還有一些多項式也可構成正交函數(shù)集，例如雅可比多項式、切貝雪夫多項式等。一個信號可以是能量信號同時又是功率信號嗎 ? 通常來講，能量信號就是功率信號。信號線和功率線可以復用。這個是可以的，有很多局域網(wǎng)路由器就可以直接把網(wǎng)絡的信息加到電腦的電源線上，這樣可以省去網(wǎng)線。這個是可行的，不少場合已經(jīng)在用了。電力線載波通信就是一個很好的實

34、例。我們現(xiàn)在廣泛使用的有線電話也是。電話機從電話線上獲得電能，同時通過電話線與交換機通信。功率譜密度和能量譜密度功率譜密度和能量譜密度一般用于分析那些信號處理？ 信號能量可求,相應地可以定義能譜密度；信號能量不可求但功率可求,這時可以定義功率譜密度。一般來說,平穩(wěn)隨機過程的能量不可求,平均功率可求，這時可用功率譜密度分析它,其功率譜密度的傅立葉反變換對應的是隨機過程的相關函數(shù).確定性信號可以是功率信號(能量不可求但功率可求),也可以是能量信號(能量可求),這時可以分別用功率譜密度或者能譜密度分析.各自對應的傅立葉反變換是確定性信號的相關函數(shù).能量信號是能量可求，可以參看ENGRYSINAL的公

35、式，一般為確定信號detrminsticsignal,而當在頻譜中積分所得能量為INFIT時，我們需要用PSD,即功率譜來分析，這就是功率信號的分析角度， 一般為一個隨機信號，可以設想一個WHIOIEIGL。給出能譜密度和功率譜密度（PSD）的數(shù)學表達，就比較清楚了，求能量譜，必須是能量在無窮時間內(nèi)可積，那么單獨一個頻譜分量的能量大小作為能譜密度，而對隨機信號，在無窮時間內(nèi)能量非可積，不能用能譜密度，那么把能量再除以無窮時間，得到它的功率譜，就可以分析這樣的能量不可積的信號了。一、能譜密度設x(t)是確定性的復連續(xù)信號，若其絕對可積或其能量有限，即：則x(t)的連續(xù)傅氏變換存在。 根據(jù)Pars

36、eval能量定理，有：由上式可見，信號能量E等于信號頻譜模值平方在整個頻域上的積分，故稱為信號的能譜密度。當x(t)為廣義平穩(wěn)過程時，其能量通常是無限的，則需研究其功率的頻域上的分布，即功率密度。對于平穩(wěn)隨機過程，譜分析是采用自相關函數(shù)：Wienr-Kichine定理將自相關函數(shù)與功率譜密度聯(lián)系起來：離散形式為平穩(wěn)、零均值序列；其自相關(協(xié)方差)函數(shù)為：若有： 則功率譜密度為：是以0對稱，周期為2?。反變換為：其自相關函數(shù)的估計由時間平均函數(shù)給出：功率信號、能量信號及其功率譜與能量譜一、功率信號和能量信號為了知道信號能量或功率的特性，常常研究信號(電流或電壓)在一單位電阻上所消耗的能量或功率。

37、 信號在一單位電阻上的瞬時功率為，在區(qū)間內(nèi)能量為在區(qū)間內(nèi)的平均功率為 信號的能量定義為在時間區(qū)間內(nèi)信號的能量，記為信號的功率定義為在時間區(qū)間內(nèi)信號的平均功率，記為 1. 能量信號若信號的能量為有限值，即(此時) 則信號稱為能量有限信號，簡稱為能量信號。例如非周期脈沖信號等。2. 功率信號若信號的功率為有限值，即(此時) 則信號稱為功率有限信號，簡稱為功率信號。所有周期信號都是功率信號，在時仍有數(shù)值的一類非周期信號也是功率信號，例如等。此外，還有一些非功率非能量的信號，例單位斜坡信號等。二、功率頻譜 對于周期信號，因由式(3-29)可知所以對周期信號可以用功率振幅頻譜描述其功率的頻率特性。對于非

38、周期功率信號，可定義一個功率密度函數(shù)，即單位頻率的信號功率。從而信號的總功 率為若信號的頻譜函數(shù)為，則由帕塞瓦爾定理 可知比較式(3-86)和式(3-87)，有 所以對于非周期功率信號可用功率密度函數(shù)描述其功率的頻率特性，并稱之為功率譜函數(shù)。功率譜是的偶函數(shù)，它僅取決于頻譜函數(shù)的模量，而與相位無關，單位為瓦秒()。對于周期信號，很容易求得其功率譜:。 三、能量頻譜對于能量信號，同樣可用密度的概念表示信號能量在各頻率點的分布情況，即定義單位頻率內(nèi)的信號能量為能量密度函數(shù)，記為，從而信號的總能量為 若信號f(t)的頻譜函數(shù)為F(j)，由帕塞瓦爾定理，有因此 故對于能量信號可用能量密度函數(shù)描述其能量的頻率特性，并稱之為能量譜函數(shù)。能量譜只與信號的有關，而與相位無關，單位為焦/赫()。由以上討論可知，信號的功率或能量既可在時域內(nèi)求得，也可以在頻域內(nèi)求得。它反映能量守恒定理在信號分析中的體現(xiàn)，也是信號的時域特性與頻域特性的一個重要關系。 例3-21求信號的能量。解:由式(3-54)可知，對于單位矩形脈沖信號當時，，根據(jù)傅里葉變換對稱性，有 有，又 所以，利用頻域卷積定理，得 故信號的能量為