第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.doc

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1、 第三章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 教學(xué)目的： 1、 理解并會(huì)用羅爾定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函數(shù)的極值概念，掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用。 3、 會(huì)用二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性，會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近線，會(huì)描繪函數(shù)的圖形。 4、 掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法。 5、 知道曲率和曲率半徑的概念，會(huì)計(jì)算曲率和曲率半徑。 6、 知道方程近似解的二分法及切線性。 教學(xué)重點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理； 2、函數(shù)的極值 ，判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函

2、數(shù)極值的方法； 3、函數(shù)圖形的凹凸性； 4、洛必達(dá)法則。 教學(xué)難點(diǎn)： 1、羅爾定理、拉格朗日中值定理的應(yīng)用； 2、極值的判斷方法； 3、圖形的凹凸性及函數(shù)的圖形描繪； 4、洛必達(dá)法則的靈活運(yùn)用。 3. 1 中值定理 一、羅爾定理 費(fèi)馬引理 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 并且在x0處可導(dǎo), 如果對(duì)任意xU(x0), 有 f(x)f(x0) (或f(x)f(x0)), 那么f (x0)=0. 羅爾定理 如果函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 在

3、開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且有f(a)=f(b), 那么在(a, b)內(nèi)至少在一點(diǎn)x , 使得f (x)=0. 簡(jiǎn)要證明: (1)如果f(x)是常函數(shù), 則f (x)0, 定理的結(jié)論顯然成立. (2)如果f(x)不是常函數(shù), 則f(x)在(a, b)內(nèi)至少有一個(gè)最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn), 不妨設(shè)有一最大值點(diǎn)x(a, b). 于是 , , 所以f (x)=0. 羅爾定理的幾何意義: 二、拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理 如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x(a

4、

5、 f(b)-f(a)=f (x)(b-a). 定理證畢. f(b)-f(a)=f (x)(b-a)叫做拉格朗日中值公式. 這個(gè)公式對(duì)于b0或Dx<0), 則在[x, x+Dx ] (Dx>0)或[x+Dx, x ] (Dx<0)應(yīng)用拉格朗日中值公式, 得 f(x+Dx)-f(x)=f (x+qDx)Dx (0

6、+qDx)Dx (0

7、0, 即 f(x2)=f(x1). 因?yàn)閤1, x2是I上任意兩點(diǎn), 所以上面的等式表明: f(x)在I上的函數(shù)值總是相等的, 這就是說, f(x)在區(qū)間I上是一個(gè)常數(shù). 例2. 證明當(dāng)x>0時(shí), . 證 設(shè)f(x)=ln(1+x), 顯然f(x)在區(qū)間[0, x]上滿足拉格朗日中值定理的條件, 根據(jù)定理, 就有 f(x)-f(0)=f (x)(x-0), 0

8、 (axb) 表示, 其中x為參數(shù). 如果曲線C上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于橫軸的切線, 那么在曲線C上必有一點(diǎn)x=x , 使曲線上該點(diǎn)的切線平行于連結(jié)曲線端點(diǎn)的弦AB, 曲線C上點(diǎn)x=x 處的切線的斜率為 , 弦AB的斜率為 . 于是 . 柯西中值定理 如果函數(shù)f(x)及F(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo), 且F (x)在(a, b)內(nèi)的每一點(diǎn)處均不為零, 那么在(a, b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x , 使等式 . 成

9、立. 顯然, 如果取F(x)=x, 那么F(b)-F(a)=b-a, F (x)=1, 因而柯西中值公式就可以寫成: f(b)-f(a)=f (x)(b-a) (a

10、ln(1+x) x. 這些都是用一次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù)的例子. 但是這種近似表達(dá)式還存在著不足之處: 首先是精確度不高, 這所產(chǎn)生的誤差僅是關(guān)于x的高階無窮小; 其次是用它來作近似計(jì)算時(shí), 不能具體估算出誤差大小. 因此, 對(duì)于精確度要求較高且需要估計(jì)誤差時(shí)候, 就必須用高次多項(xiàng)式來近似表達(dá)函數(shù), 同時(shí)給出誤差公式. 設(shè)函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù), 現(xiàn)在我們希望做的是: 找出一個(gè)關(guān)于(x-x0 )的n次多項(xiàng)式 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n 來近似

11、表達(dá)f(x), 要求p n(x)與f(x)之差是比(x-x0 ) n高階的無窮小, 并給出誤差| f (x)- p n (x)|的具體表達(dá)式. 我們自然希望p n(x)與f(x)在x0 的各階導(dǎo)數(shù)(直到(n+1)階導(dǎo)數(shù))相等, 這樣就有 p n(x)=a 0+a 1(x-x0 )+ a 2(x-x0 ) 2+ + a n (x-x0 ) n , p n(x)= a 1+2 a 2(x-x0 ) + +na n (x-x0 ) n-1 , p n(x)= 2 a 2 + 32a 3(x-x0 ) + + n (n-

12、1)a n (x-x0 ) n-2 , p n(x)= 3!a 3 +432a 4(x-x0 ) + + n (n-1)(n-2)a n (x-x0 ) n-3 , , p n (n)(x)=n! a n . 于是 pn (x0 )=a 0 , p n (x0 )= a 1 , p n (x0 )= 2! a 2 , p n (x)= 3!a 3 , , p n (n)(x)=n! a n. 按要求有 f(x0)=p n(x0) =a0, f (x0)= p n (x0

13、)= a 1 , f (x0)= p n (x0)= 2! a 2 , f (x0)= p n (x0)= 3!a 3 , f (n)(x0)= p n (n)(x0)=n! a n . 從而有 a 0=f(x0 ), a 1=f (x0 ), , , , . (k=0, 1, 2, , n). 于是就有 pn(x)= f(x0)+ f (x0) (x-x0)(x-x0) 2 + (x-x0) n . 泰勒中值定理 如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個(gè)開區(qū)間(a, b)內(nèi)

14、具有直到(n+1)的階導(dǎo)數(shù), 則當(dāng)x 在(a, b)內(nèi)時(shí), f(x)可以表示為(x-x0 )的一個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)R n(x)之和: 其中(x 介于x0與x之間). 這里 多項(xiàng)式 . 稱為函數(shù)f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 次近似多項(xiàng)式, 公式 + , 稱為f(x)按(x-x0 )的冪展開的n 階泰勒公式, 而R n(x)的表達(dá)式 其中(x介于x與x0之間). 稱為拉格朗日型余項(xiàng). 當(dāng)n=0時(shí), 泰勒公式變成拉格朗日中值公式: f(x)=f(x0 )+f (x)(

15、x-x0 ) (x在x0 與x 之間). 因此, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推廣. 如果對(duì)于某個(gè)固定的n, 當(dāng)x在區(qū)間(a, b)內(nèi)變動(dòng)時(shí), |f (n+1)(x)|總不超過一個(gè)常數(shù)M, 則有估計(jì)式: , 及 . 可見, 妝x x0時(shí), 誤差|R n(x)|是比(x-x0 )n高階的無窮小, 即 R n (x)=o[(x-x0 ) n]. 在不需要余項(xiàng)的精確表達(dá)式時(shí), n 階泰勒公式也可寫成 + . 當(dāng)x0 =0時(shí)的泰勒公式稱為麥克勞林公式, 就是 , 或 , 其中

16、. 由此得近似公式: . 誤差估計(jì)式變?yōu)? . 例1．寫出函數(shù)f(x)=e x 的n 階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)?f(x)=f (x)=f (x)= =f ( n)(x)=e x , 所以 f(0)=f (0)=f (0)= =f ( n)(0)=1 , 于是 (0

17、x)=sin x的n階麥克勞林公式. 解: 因?yàn)? f (x)=cos x , f (x)=-sinx , f (x)= -cos x , , ,, f (0)=0, f (0)=1, f (0)=0 , f (0)=-1, f ( 4)(0)=0, , 于是 . 當(dāng)m=1、2、3時(shí), 有近似公式 sin xx, , . 3. 4 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性 一、函數(shù)單調(diào)性的判定法 如果函數(shù)y=f(x)在[a , b]上單調(diào)增加（單調(diào)減少）, 那么它的圖形是

18、一條沿x 軸正向上升（下降）的曲線. 這時(shí)曲線的各點(diǎn)處的切線斜率是非負(fù)的（是非正的）, 即y=f (x)0(y=f (x)0). 由此可見, 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)有著密切的關(guān)系. 反過來, 能否用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判定函數(shù)的單調(diào)性呢？ 定理1(函數(shù)單調(diào)性的判定法) 設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a, b]上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, b)內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)y=f(x)在[a, b]上單調(diào)增加; (2)如果在(a, b)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)y=f(x)在[a, b]上單調(diào)減少. 證明 只證(1). 在

19、[a, b]上任取兩點(diǎn)x1 , x2 (x1 0, 因此, 如果在(a, b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)f (x)保持正號(hào), 即f (x)>0, 那么也有f (x)>0. 于是 f(x2 )-f(x1 )=f (x)(x2 -x1 )>0, 即 f(x1 )

20、 例1 判定函數(shù)y=x-sin x 在[0, 2p]上的單調(diào)性. 解 因?yàn)樵?0, 2p)內(nèi) y=1-cos x >0, 所以由判定法可知函數(shù)y=x-cos x 在[0, 2p]上的單調(diào)增加. 例2 討論函數(shù)y=e x -x-1的單調(diào)性. （沒指明在什么區(qū)間怎么辦？) 解 y=e x -1. 函數(shù)y=e x -x-1的定義域?yàn)?-, +). 因?yàn)樵?-, 0)內(nèi)y<0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在(-, 0] 上單調(diào)減少; 因?yàn)樵?0, +)內(nèi)y>0, 所以函數(shù)y=e x -x-1在[0, +)上單調(diào)增加. 例3.

21、 討論函數(shù)的單調(diào)性. 解: 函數(shù)的定義域?yàn)?-, +). 當(dāng)時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 (x0), 函數(shù)在x=0處不可導(dǎo). 當(dāng)x=0時(shí), 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不存在. 因?yàn)閤<0時(shí), y<0, 所以函數(shù)在(-, 0] 上單調(diào)減少; 因?yàn)閤>0時(shí), y>0, 所以函數(shù)在[0, +)上單調(diào)增加. 如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù), 除去有限個(gè)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)外導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù), 那么只要用方程f (x)=0的根及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間, 就能保證f (x)在各個(gè)部分區(qū)間內(nèi)保持固定的符號(hào), 因而函數(shù)f(x)在每個(gè)部分區(qū)間上單調(diào).

22、 例4. 確定函數(shù)f(x)=2x3-9x2+12x-3的單調(diào)區(qū)間. 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)?(-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為:f (x)=6x2 -18x +12 = 6(x-1)(x-2). 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有兩個(gè): x1 =1、x2 =2. 列表分析: (-, 1] [1, 2] [2, +) f (x) + - + f(x) ↗ ↘ ↗ 函數(shù)f(x)在區(qū)間(-, 1]和[2, +)內(nèi)單調(diào)增加, 在區(qū)間[1, 2]上單調(diào)減少. 例5. 討論函數(shù)y=x3的單調(diào)性. 解 函數(shù)的定義域?yàn)? (-, +). 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為

23、: y=3x2 . 除當(dāng)x=0時(shí), y=0外, 在其余各點(diǎn)處均有y>0. 因此函數(shù) y=x 3在區(qū)間(-, 0]及[0, +)內(nèi)都是單調(diào)增加的. 從而在整個(gè)定義域: (-, +)內(nèi)是單調(diào)增加的. 在x=0處曲線有一水平切線. 一般地, 如果f (x)在某區(qū)間內(nèi)的有限個(gè)點(diǎn)處為零, 在其余各點(diǎn)處均為正（或負(fù)）時(shí), 那么f(x)在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的. 例6. 證明: 當(dāng)x>1時(shí), . 證明: 令, 則 . 因?yàn)楫?dāng)x>1時(shí), f (x)>0, 因此f(x)在[1, +)上f(x)單調(diào)增加, 從而當(dāng)x>1時(shí), f(

24、x)>f(1). 由于f(1)=0, 故f(x)>f(1)=0, 即 , 也就是(x>1). 二、曲線的凹凸與拐點(diǎn) 凹凸性的概念: x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) x1 x 2 y x O f(x2) f(x1) 定義 設(shè)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果對(duì)I上任意兩點(diǎn)x 1, x 2, 恒有 , 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凹的(或凹弧); 如

25、果恒有 , 那么稱f(x)在I上的圖形是(向上)凸的(或凸弧). 定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凹的；如果函數(shù)的曲線位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線在區(qū)間I上是凸的. 凹凸性的判定: 定理 設(shè)f(x)在[a, b]上連續(xù), 在(a, b)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù), 那么 (1)若在(a, b)內(nèi)f (x)>0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凹的; (2)若在(a, b)內(nèi)f (x)<0, 則f(x)在[a, b]上的圖形是凸的.

26、 簡(jiǎn)要證明 只證(1). 設(shè)x1, x2[a, b], 且x1

27、階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn); (4)判斷或列表判斷, 確定出曲線凹凸區(qū)間和拐點(diǎn); 注: 根據(jù)具體情況（1）（3）步有時(shí)省略. 例1. 判斷曲線y=ln x 的凹凸性. 解: , . 因?yàn)樵诤瘮?shù)y=ln x的定義域(0, +)內(nèi), y<0, 所以曲線y=ln x是凸的. 例2. 判斷曲線y=x3的凹凸性. 解: y=3x 2, y=6x . 由y=0, 得x=0. 因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí), y<0, 所以曲線在(-, 0]內(nèi)為凸的; 因?yàn)楫?dāng)x>0時(shí), y>0, 所以曲線在[0, +)內(nèi)為凹的

28、. 例3. 求曲線y=2x 3+3x 2-2x+14的拐點(diǎn). 解: y=6x 2+6x-12, . 令y=0, 得. 因?yàn)楫?dāng)時(shí), y<0; 當(dāng)時(shí), y>0, 所以點(diǎn)(, )是曲線的拐點(diǎn). 例4. 求曲線y=3x 4-4x 3+1的拐點(diǎn)及凹、凸的區(qū)間. 解: (1)函數(shù)y=3x 4-4x 3+1的定義域?yàn)?-, +); (2),; (3)解方程y=0, 得, ; (4)列表判斷: (-, 0) 0 (0, 2/3)

29、 2/3 (2/3, +) f (x) + 0 - 0 + f(x) 1 11/27 在區(qū)間(-, 0]和[2/3, +)上曲線是凹的, 在區(qū)間[0, 2/3]上曲線是凸的. 點(diǎn)(0, 1)和(2/3, 11/27)是曲線的拐點(diǎn). 例5 問曲線y=x 4是否有拐點(diǎn)？ 解 y=4x 3, y=12x 2. 當(dāng)x 0時(shí),

30、y>0, 在區(qū)間(-, +)內(nèi)曲線是凹的, 因此曲線無拐點(diǎn). 例6. 求曲線的拐點(diǎn). 解 (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +); (2) , ; (3)無二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn), 二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)為x=0; (4)判斷: 當(dāng)x<0當(dāng), y>0; 當(dāng)x>0時(shí), y<0. 因此, 點(diǎn)(0, 0)曲線的拐點(diǎn). 3. 5 函數(shù)的極值與最大值最小值 一、函數(shù)的極值及其求法 極值的定義: 定義 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)有定義, x0(a, b). 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x

31、0), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值; 如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)>f(x0), 則稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值. 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義, 如果在去心鄰域U(x0)內(nèi)有f(x)f(x0)), 則稱f(x0)是函數(shù) f(x)的一個(gè)極大值(或極小值). 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值, 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn). 函數(shù)的極大值和極小值概念是局部性的. 如果f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值, 那只是就x0 附近的一個(gè)局部范圍來說, f(x0)是f(x)的一個(gè)最

32、大值; 如果就f(x)的整個(gè)定義域來說, f(x0)不一定是最大值. 關(guān)于極小值也類似. 極值與水平切線的關(guān)系: 在函數(shù)取得極值處, 曲線上的切線是水平的. 但曲線上有水平切線的地方, 函數(shù)不一定取得極值. 定理1 (必要條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0 處可導(dǎo), 且在x0 處取得極值, 那么這函數(shù)在x0 處的導(dǎo)數(shù)為零, 即f (x0)=0. 證 為確定起見, 假定f(x0)是極大值(極小值的情形可類似地證明). 根據(jù)極大值的定義, 在x0 的某個(gè)去心鄰域內(nèi), 對(duì)于任何點(diǎn)x , f(x) < f(x0)均成立. 于是 當(dāng)x < x0 時(shí) , 因

33、此 f (x0); 當(dāng)x > x0 時(shí) , 因此 ; 從而得到 f (x0) = 0 . 簡(jiǎn)要證明: 假定f(x0)是極大值. 根據(jù)極大值的定義, 在x0的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有f(x)< f(x0). 于是 , 同時(shí) , 從而得到f (x0) = 0 . 駐點(diǎn): 使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)(即方程f (x) = 0的實(shí)根)叫函數(shù)f(x)的駐點(diǎn). 定理１就是說: 可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是函數(shù)的駐點(diǎn). 但的過來, 函數(shù)f(x)的駐點(diǎn)卻不一定是極值點(diǎn).

34、 考察函數(shù)f(x)=x3在x=0處的情況. 定理２(第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的一個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù), 在x0的左右鄰域內(nèi)可導(dǎo). (1) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)>0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2) 如果在x0的某一左鄰域內(nèi)f (x)<0, 在x0的某一右鄰域內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在x0的某一鄰域內(nèi)f (x)不改變符號(hào), 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理２ (第一種充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在含x0的區(qū)間(a,

35、 b)內(nèi)連續(xù), 在(a, x0)及(x0, b)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)>0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(a, x0)內(nèi)f (x)<0, 在(x0, b)內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)內(nèi) f (x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2(第一充分條件)設(shè)函數(shù)f(x)在x0連續(xù), 且在x0的某去心鄰域(x0-d, x0)(x0, x0+d)內(nèi)可導(dǎo). (1)如果在

36、(x0-d, x0)內(nèi)f (x)>0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f (x)<0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (2)如果在(x0-d, x0)內(nèi)f (x)<0, 在(x0, x0+d)內(nèi)f (x)>0, 那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值; (3)如果在(x0-d, x0)及(x0, x0+d)內(nèi) f (x)的符號(hào)相同, 那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值. 定理2也可簡(jiǎn)單地這樣說: 當(dāng)x在x0的鄰近漸增地經(jīng)過x0時(shí), 如果f (x)的符號(hào)由負(fù)變正, 那么f(x)在x0處取得極大值; 如果f (x)的符號(hào)由正變負(fù), 那么f(x)在x0處取得極小值;

37、如果f (x)的符號(hào)并不改變, 那么f(x)在x0處沒有極值 (注: 定理的敘述與教材有所不同) . 確定極值點(diǎn)和極值的步驟: (1)求出導(dǎo)數(shù)f (x); (2)求出f(x)的全部駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷(考察f (x)的符號(hào)在每個(gè)駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右鄰近的情況, 以便確定該點(diǎn)是否是極值點(diǎn), 如果是極值點(diǎn), 還要按定理2確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是極大值還是極小值); (4)確定出函數(shù)的所有極值點(diǎn)和極值. 例1求函數(shù)的極值. 解(1)f(x)在(-, +)內(nèi)連續(xù), 除x=-1外處處可導(dǎo), 且 ;

38、 (2)令f (x)=0, 得駐點(diǎn)x=1; x=-1為f(x)的不可導(dǎo)點(diǎn); (3)列表判斷 x (-, -1) -1 (-1, 1) 1 (1, +) f (x) + 不可導(dǎo) - 0 + f(x) ↗ 0 ↘ ↗ (4)極大值為f(-1)=0, 極小值為. 定理3 (第二種充分條件) 設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處具有二階導(dǎo)數(shù)且f (x0)=0, f (x0)0, 那么 (1)當(dāng)f (x0)<0時(shí), 函數(shù)f(x)在x0處取得極大值; (1)當(dāng)f (x0)>0時(shí), 函數(shù)f(x)在

39、x0處取得極小值; 證明 在情形(1), 由于f (x0)<0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 . 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 當(dāng)x 在x0的足夠小的去心鄰域內(nèi)時(shí), . 但f (x0)=0, 所以上式即 . 從而知道, 對(duì)于這去心鄰域內(nèi)的x來說, f (x)與x-x0符號(hào)相反. 因此, 當(dāng)x-x0<0即x0; 當(dāng)x-x0>0即x>x0時(shí), f (x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 類似地可以證明情形(2). 簡(jiǎn)要證明: 在情形(1), 由于f (x0)<0, f (x0)=0, 按二階導(dǎo)數(shù)的定義有

40、 . 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性, 在x0的某一去心鄰域內(nèi)有 . 從而在該鄰域內(nèi), 當(dāng)x0; 當(dāng)x>x0時(shí), f (x)<0. 根據(jù)定理2, f(x)在點(diǎn)x0處取得極大值. 定理3 表明, 如果函數(shù)f(x)在駐點(diǎn)x0處的二導(dǎo)數(shù)f (x0) 0, 那么該點(diǎn)x0一定是極值點(diǎn), 并且可以按二階導(dǎo)數(shù)f (x0)的符來判定f(x0)是極大值還是極小值. 但如果f (x0)=0, 定理3就不能應(yīng)用. 討論: 函數(shù)f (x)=-x4, g(x)=x3在點(diǎn)x=0是否有極值？ 提示: f (x)=4x 3, f (0)=0

41、; f (x)=12x2, f (0)=0. 但當(dāng)x<0時(shí)f (x)<0, 當(dāng)x>0時(shí)f (x)>0, 所以f(0) 為極小值. g (x)=3x2, g (0)=0; g (x)=6x, g (0)=0. 但g(0) 不是極值． 例2 求函數(shù)f(x)=(x2-1)3+1的極值. 解 (1)f (x)=6x(x2-1)2. (2)令f (x)=0, 求得駐點(diǎn)x1=-1, x2=0, x3=1. (3)f (x)=6(x2-1)(5x2-1). (4)因f (0)=6>0, 所以f (x)在x=0處取得極小值,

42、 極小值為f(0)=0. (5)因f (-1)=f (1)=0, 用定理3無法判別. 因?yàn)樵?1的左右鄰域內(nèi)f (x)<0, 所以f(x)在-1處沒有極值; 同理, f(x)在1處也沒有極值. 二、最大值最小值問題 在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實(shí)驗(yàn)中, 常常會(huì)遇到這樣一類問題: 在一定條件下, 怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”、“效率最高”等問題, 這類問題在數(shù)學(xué)上有時(shí)可歸結(jié)為求某一函數(shù)（通常稱為目標(biāo)函數(shù)）的最大值或最小值問題. 極值與最值的關(guān)系: 設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a, b]上連續(xù), 則函數(shù)的最大值和最小值一定

43、存在. 函數(shù)的最大值和最小值有可能在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 如果最大值不在區(qū)間的端點(diǎn)取得, 則必在開區(qū)間(a, b)內(nèi)取得, 在這種情況下, 最大值一定是函數(shù)的極大值. 因此, 函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上的最大值一定是函數(shù)的所有極大值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最大者. 同理, 函數(shù)在閉區(qū)間[a, b]上的最小值一定是函數(shù)的所有極小值和函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值中最小者. 最大值和最小值的求法: 設(shè)f(x)在(a, b)內(nèi)的駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)(它們是可能的極值點(diǎn))為x1, x2, , xn, 則比較 f(a), f(x 1), , f(x n), f(b)

44、 的大小, 其中最大的便是函數(shù)f(x)在[a, b]上的最大值, 最小的便是函數(shù)f(x)在[a, b]上的最小值. 例3求函數(shù)f(x)=|x2-3x+2|在[-3, 4]上的最大值與最小值. 解 , 在(-3, 4)內(nèi), f(x)的駐點(diǎn)為; 不可導(dǎo)點(diǎn)為x=1和x=2. 由于f(-3)=20, f(1)=0,, f(2)=0, f(4)=6, 比較可得f(x)在x=-3處取得它在[-3, 4]上的最大值20, 在x=1和x=2處取它在[-3, 4]上的最小值0. 例4 工廠鐵路線上AB段的距離為100km. 工廠C距A處為

45、20km, AC垂直于AB. 為了運(yùn)輸需要, 要在AB線上選定一點(diǎn)D向工廠修筑一條公路. 已知鐵路每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)與公路上每公里貨運(yùn)的運(yùn)費(fèi)之比3:5. 為了使貨物從供應(yīng)站B運(yùn)到工廠C的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), 則 DB=100-x , . 設(shè)從B點(diǎn)到C點(diǎn)需要的總運(yùn)費(fèi)為y, 那么 y=5kCD+3kDB (k是某個(gè)正數(shù)), 即 +3k(100-x) (0x100). 現(xiàn)在, 問題就歸結(jié)為: x 在[0, 100]內(nèi)取何值時(shí)目標(biāo)函數(shù)y的值最小.

46、 先求y對(duì)x的導(dǎo)數(shù): . 解方程y=0, 得x=15(km). 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k,, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 例2 工廠C與鐵路線的垂直距離AC為20km, A點(diǎn)到火車站B的距離為100km. 欲修一條從工廠到鐵路的公路CD. 已知鐵路與公路每公里運(yùn)費(fèi)之比為3:5. 為了使火車站B與工廠C間的運(yùn)費(fèi)最省, 問D點(diǎn)應(yīng)選在何處？ 解 設(shè)AD=x (km), B與C間的運(yùn)費(fèi)為y, 則 y=5kCD+3kDB (

47、0x100), 其中k是某一正數(shù). 由=0, 得x=15. 由于y|x=0=400k, y|x=15=380k,, 其中以y|x=15=380k為最小, 因此當(dāng)AD=x=15km時(shí), 總運(yùn)費(fèi)為最省. 注意: f(x)在一個(gè)區(qū)間(有限或無限, 開或閉)內(nèi)可導(dǎo)且只有一個(gè)駐點(diǎn)x0 , 并且這個(gè)駐點(diǎn)x0 是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn), 那么, 當(dāng)f(x0)是極大值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最大值; 當(dāng)f(x0)是極小值時(shí), f(x0)就是f(x)在該區(qū)間上的最小值. f(x 0) O a x 0 b x

48、 y=f(x ) y f(x 0) O a x 0 b x y=f(x ) y 應(yīng)當(dāng)指出, 實(shí)際問題中, 往往根據(jù)問題的性質(zhì)就可以斷定函數(shù)f(x)確有最大值或最小值, 而且一定在定義區(qū)間內(nèi)部取得. 這時(shí)如果f(x)在定義區(qū)間內(nèi)部只有一個(gè)駐點(diǎn)x0, 那么不必討論f(x0)是否是極值, 就可以斷定f(x0)是最大值或最小值. d h b 例6 把一根直徑為d 的圓木鋸成截面為矩形的梁. 問矩形截面的高h(yuǎn)和寬b應(yīng)如何選擇才能使梁的抗彎截面模量W

49、()最大? 解 b 與h 有下面的關(guān)系: h 2=d 2-b 2, 因而 (0

50、: (0

51、其它點(diǎn); (6)聯(lián)結(jié)這些點(diǎn)畫出函數(shù)的圖形. 例1. 畫出函數(shù)y=x 3-x 2-x+1的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-, +), (2) f (x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), f (x)=6x-2=2(3x-1). f (x)=0的根為x= -1/3, 1; f (x)=0的根為x= 1/3. (3)列表分析: x (-, -1/3) -1/3 (-1/3, 1/3) 1/3 (1/3, 1) 1 (1, +) f (x) + 0 - - - 0 + f (

52、x) - - - 0 + + + f(x) ↗ 極大 ↘ 拐點(diǎn) ↘ 極小 ↗ (4)當(dāng)x +時(shí), y +; 當(dāng)x -時(shí), y -. (5)計(jì)算特殊點(diǎn): f(-1/3)=32/27, f(1/3)=16/27, f(1)=0, f(0)=1; f(-1)=0, f(3/2)=5/8. (6)描點(diǎn)聯(lián)線畫出圖形: 例2. 作函數(shù)的圖形. 解: (1) 函數(shù)為偶函數(shù), 定義域?yàn)?-, +), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱. (2), . 令f (x)=0, 得

53、x=0; 令f (x)=0, 得x=-1和x=1. (3)列表: x (-, -1) -1 (-1, 0) 0 (0, 1) 1 (1, +) f (x) ＋ ＋ 0 － － f (x) ＋ 0 － － 0 ＋ y=f(x) ↗ 拐點(diǎn) ↗ 極大值 ↘ 拐點(diǎn) ↘ (4)曲線有水平漸近線y=0. (5)先作出區(qū)間(0, +)內(nèi)的圖形, 然后利用對(duì)稱性作出區(qū)間(-, 0)內(nèi)的圖形. 例3. 作函數(shù)的圖形. 解: (1)函數(shù)的定義域?yàn)?-, -3)

54、(-3, +). (2), . 令f (x)=0得x=3, 令f (x)=0得x=6. (3)列表分析: x (-, -3) (-3, 3) 3 (3, 6) 6 (6, +) f (x) - + 0 - - - f (x) - - - - 0 + f(x) ↘ ↗ 4極大 ↘ 11/3拐點(diǎn) ↘ (4) x = -3是曲線的鉛直漸近線, y = 1是曲線的水平漸近線. (5)計(jì)算特殊點(diǎn)的函數(shù)值: f(0)=1, f(-1)=-8, f(-9)=-8, f(-15

55、)=-11/4. (6)作圖. 3. 9 曲 率 一、弧微分 設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 在曲線y=f(x)上取固定點(diǎn)M 0(x 0, y 0)作為度量弧長(zhǎng)的基點(diǎn), 并規(guī)定依x增大的方向作為曲線的正向. 對(duì)曲線上任一點(diǎn)M(x, y), 規(guī)定有向弧段的值s（簡(jiǎn)稱為弧s）如下: s的絕對(duì)值等于這弧段的長(zhǎng)度, 當(dāng)有向弧段的方向與曲線的正向一致時(shí)s>0, 相反時(shí)s<0. 顯然, 弧s=是x的函數(shù): s=s(x), 而且s(x)是x的單調(diào)增加函數(shù). 下面來求s(x)的導(dǎo)數(shù)及微分. 設(shè)x , Dx 為(a

56、, b)內(nèi)兩個(gè)鄰近的點(diǎn), 它們?cè)谇€y=f(x)上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M, N, 并設(shè)對(duì)應(yīng)于x的增量Dx , 弧s的增量為Ds, 于是 , , 因?yàn)?=1, 又=y, 因此 =. 由于s=s(x)是單調(diào)增加函數(shù), 從而>0, =. 于是ds=dx. 這就是弧微分公式. 因?yàn)楫?dāng)Dx0時(shí), Ds~, Dx又Ds與同號(hào), 所以 . 因此 , 這就是弧微分公式. 二、曲率及其計(jì)算公式 曲線彎曲程度的直觀描述: 設(shè)曲線C是光滑的, 在曲線C

57、上選定一點(diǎn)M 0作為度量弧s 的基點(diǎn). 設(shè)曲線上點(diǎn)M 對(duì)應(yīng)于弧s, 在點(diǎn)M處切線的傾角為a , 曲線上另外一點(diǎn)N對(duì)應(yīng)于弧s+Ds , 在點(diǎn)N處切線的傾角為a+Da . 我們用比值, 即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度的大小來表達(dá)弧段的平均彎曲程度. 記, 稱為弧段MN的平均曲率. 記, 稱K為曲線C在點(diǎn)M處的曲率. 在=存在的條件下, . 曲率的計(jì)算公式: 設(shè)曲線的直角坐標(biāo)方程是y=f(x), 且f(x)具有二階導(dǎo)數(shù)（這時(shí)f (x)連續(xù), 從而曲線是光滑的）. 因?yàn)閠an a=y , 所以 sec 2a da=ydx,

58、 . 又知ds=dx, 從而得曲率的計(jì)算公式 . 例1. 計(jì)算直線y=a x+b上任一點(diǎn)的曲率. 例2. 計(jì)算半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率. 討論: 1. 計(jì)算直線y=a x+b上任一點(diǎn)的曲率. 提示: 設(shè)直線方程為y=ax+b, 則y=a, y= 0. 于是K=0. 2. 若曲線的參數(shù)方程為x=j(t), y=y(t)給, 那么曲率如何計(jì)算？ 提示: . 3. 計(jì)算半徑為R的圓上任一點(diǎn)的曲率. 提示: 圓的參數(shù)方程為x=R cos t, y=R

59、sin t . 例1. 計(jì)算等雙曲線x y =1在點(diǎn)(1, 1)處的曲率. 解: 由, 得 , . 因此 y|x=1=-1, y|x=1=2. 曲線xy =1在點(diǎn)(1, 1)處的曲率為 . 例4 拋物線y=a x 2+b x+c 上哪一點(diǎn)處的曲率最大？ 解: 由y=a x 2+b x+c, 得 y=2a x +b , y=2a , 代入曲率公式, 得 . 顯然, 當(dāng)2ax+b=0時(shí)曲率最大. 曲率最大時(shí), x=-, 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為拋物線的

60、頂點(diǎn). 因此, 拋物線在頂點(diǎn)處的曲率最大, 最大曲率為K=|2a| . 三、曲率圓與曲率半徑 設(shè)曲線在點(diǎn)M(x, y)處的曲率為K (K0) . 在點(diǎn)M 處的曲線的法線上, 在凹的一側(cè)取一點(diǎn)D, 使|DM| =K-1=r. 以D 為圓心, r為半徑作圓, 這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓, 曲率圓的圓心D叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率中心, 曲率圓的半徑 r 叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑. 設(shè)曲線在點(diǎn)M處的曲率為K(K0), 在曲線凹的一側(cè)作一個(gè)與曲線相切于M且半徑為r=K-1的圓, 則這個(gè)圓叫做曲線在點(diǎn)M處的曲率圓, 其圓心叫做曲率中心, 其半徑r 叫做曲率半徑.

61、 曲線在點(diǎn)M處的曲率K(K 0)與曲線在點(diǎn)M處的曲率半徑 r 有如下關(guān)系: r =, K =. 例3 設(shè)工件表面的截線為拋物線y=0.4x 2. 現(xiàn)在要用砂輪磨削其內(nèi)表面. 問用直徑多大的砂輪才比較合適？ 解 砂輪的半徑不應(yīng)大于拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑. y=0.8x , y=0.8, y|x=0=0, y|x=0=0.8. 把它們代入曲率公式, 得 =0.8. 拋物線頂點(diǎn)處的曲率半徑為 r=K-1 = 1.25. 所以選用砂輪的半徑不得超過1.25單位長(zhǎng), 即直徑不得超過2.50單位長(zhǎng).