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1、1.3 算法案例,【學習目標】,1.理解輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的方法. 2.理解秦九韶算法中求多項式的值的步驟原理. 3.能利用除 k 取余法把十進制數化為 k 進制數.,1.輾轉相除法的算法步驟 第一步，給定兩個正整數 m，n(mn). 第二步，計算________除以________所得的______數 r. 第三步，mn，nr. 第四步，若 r0，則 m，n 的最大公約數等于______；否,則，返回第二步.,m,n,余,n,2.更相減損術的算法步驟 第一步，任意給定兩個正整數，判斷它們是否都是偶數.若 是用 2 約簡；若不是，執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數減去較小的數，接
2、著把所得的差與 ________比較，并以大數減小數.繼續(xù)這個操作，直到所得的數 ________為止，則這個數(等數)或這個數與約簡的數的乘積就 是所求的最大公約數.,較小的數,相等,3.秦九韶算法 把一個n次多項式f(x)anxnan1xn1a1xa0改寫,成如下形式：,(anxn1an1xn2a1)xa0,f(x)anxnan1xn1a1xa0 _____________________________ ((anxn2an1xn3a2)xa1)xa0 _____________________________________.,(((anxan1)xan2)xa1)xa0,求多項式的值時
3、，首先計算最內層括號內的一次多項式的 值，即v1anxan1，然后由內向外逐層計算一次多項式的值，,即：,n,這樣，求 n 次多項式 f(x)的值就轉化為求______個一次多項 式的值.,v1anxan1， v2____________， v3v2xan3， vn____________，,v1xan2,vn1xa0,4.進位制,(1)k進制數anan1a1a0(k)轉化為十進制數為 _____________________________________. (2)把十進制數化為 k 進制數用“____________”，即把所給 的十進制數除以________，得到商數和余數，再用商數除
4、以 k， 得到商數和余數，直到商數為________ ，把上面各步所得的 ________從右到左排列，即得到 k 進制數.,除 k 取余法,k,0,余數,anknan1kn1a1ka0,【問題探究】,用秦九韶算法求多項式的值有什么優(yōu)點？,答案：減少了做乘法運算的次數，優(yōu)化了求多項式的值的,算法.,題型 1 最大公約數的求法 【例 1】 用輾轉相除法求下面兩數的最大公約數，并用更 相減損術檢驗你的結果：,(1)80,36；,(2)294,84.,思維突破：輾轉相除法的結束條件是余數為 0，更相減損 術的結束條件是差與減數相等.,解：(1)803628， 36844， 8420，,即 80 與
5、36 的最大公約數是 4. 驗證：803644，,44368,36828,28820， 20812,1284,844， 80 與 36 的最大公約數是 4.,(2)29484342,84422， 即 294 與 84 的最大公約數是 42.,驗證：294 與 84 都是偶數可同時除以2，即取147 與42,的最大公約數后再乘 2.,14742105,1054263， 634221,422121，,294 與 84 的最大公約數為 21242.,輾轉相除法求最大公約數的步驟較少，而更相減,損術運算簡易，因此解題時要靈活運用.,,,,,【變式與拓展】,1.試用算法程序表示用輾轉相除法求 144 與
6、 60 的最大公約,數的算法.,解：程序如下：,m144 n60,DO,rm MOD n mn nr,LOOP UNTIL r0,PRINT m END,題型 2 秦九韶算法的應用,【例 2】 當 x3 時，求多項式 f(x)x5x3x2x1 的,值.,解：根據秦九韶算法，把多項式改寫成如下形式：,f(x)x50 x4x3x2x1 (((x0)x1)x1)x1)x1.,按照從內到外的順序，依次計算一次多項式當 x3 時的,值：v01，,v11303， v233110， v3103131， v4313194， v59431283.,所以當 x3 時，多項式的值為 283.,當多項式函數的中間出現(xiàn)
7、空項時，應先補上系 數為 0 的相應項.解題時關鍵是能正確地改寫多項式，然后由內 向外逐項計算.由于后項計算用到前項的結果，故要認真確保每 一項計算的準確性.,【變式與拓展】 2.利用秦九韶算法計算多項式 f(x)115x3x27x3 在,x 23 的值時，不會用到下列哪個值(,),D,A.161,B.3772,C.86 641,D.85 169,解析：f(x)115x3x27x3(7x3)x5x11. 所以當x23時，v07； v172331613164； v2164235377253767； v33767231186 6411186 652.,題型 3 進制數之間的轉化,【例 3】 (1)
8、將 101 111 011(2)轉化為十進制數； (2)將 1231(5)轉化為七進制數.,思維突破：k進制數anan1a2a1a0(k)(0ai
9、 111 000(2)________(10)； (2)154(6)________(7).,【例4】 已知f(x)x52x43x34x25x6，用秦九韶 算法求這個多項式當 x2 時的值時，做了幾次乘法運算？幾次 加法運算？,解：共做了 5 次乘法運算，5 次加法運算.,易錯分析：用秦九韶算法計算多項式f(x)anxnan1xn1a1xa0.當xx0時，首先將多項式改寫成f(x)((anx an1)xan2)xa1)xa0形式，然后再計算v1anxan1，v2v1xan2，，vnvn1xa0.因此，盡管an是1，但仍進行了5次乘法.,方法規(guī)律小結,1.輾轉相除法與更相減損術求最大公約數的區(qū)別
10、與聯(lián)系.,2.秦九韶算法的優(yōu)點.,(1)減少乘法運算的次數.,(2)規(guī)律性強，便于利用循環(huán)語句實現(xiàn).,(3)不用對 x 做冪的運算，每次都是計算一個一次多項式的,值，提高了計算精度.,3.進位制的理解.,進位制是一種記數方式，用有限的數字在不同的位置表示 不同的數值.使用數字符號的個數稱為基數，基數為 n，即稱為 n 進位制，簡稱 n 進制.現(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用 10 個 阿拉伯數字 09 進行記數.,對于任何一個數，我們可以用不同的進位制來表示.比如： 十進數 57，可以用二進制表示為 111 001，也可以用八進制表 示為 71，用十六進制表示為 39，它們所代表的數值都是一樣的. 表示各種進制數時，一般要在數字右下角加注來表示.如 111 001(2)表示二進制數，34(5)表示五進制數.電子計算機一般都 使用二進制.,
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