《吳大正信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第7章系統(tǒng)函數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《吳大正信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第7章系統(tǒng)函數(shù)（41頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第七章 系統(tǒng)函數(shù),7.1 系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性,系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖 系統(tǒng)函數(shù)H()與系統(tǒng)的因果性 系統(tǒng)函數(shù)與時(shí)域響應(yīng) 系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng),一、系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖,LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)是復(fù)變量s或z的有理分式，即,A(.)=0的根p1，p2，，pn稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的極點(diǎn)；B(.)=0的根1，2，，m稱為系統(tǒng)函數(shù)H(.)的零點(diǎn)。,將零極點(diǎn)畫在復(fù)平面上 得零、極點(diǎn)分布圖。,例,,例：已知H(s)的零、極點(diǎn)分布圖如圖示，并且h(0+)=2。,解：由分布圖可得,根據(jù)初值定理，有,求：H(s)的表達(dá)式。,二、系統(tǒng)函數(shù)H()與系統(tǒng)的因果性,因果系統(tǒng)是指：系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(.)不會(huì)出現(xiàn)于f
2、(.),連續(xù)因果系統(tǒng)的充分必要條件是：沖激響應(yīng) h(t)=0,t<0,或者，系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟es0,離散因果系統(tǒng)的充分必要條件是：?jiǎn)挝豁憫?yīng) h(k)=0, k<0,或者，系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋簗z|0,之前的系統(tǒng)。,三、系統(tǒng)函數(shù)H()與時(shí)域響應(yīng)h(),沖激響應(yīng)或單位序列響應(yīng)h()的函數(shù)形式:由H ()的,下面討論H()極點(diǎn)的位置與其時(shí)域響應(yīng)的函數(shù)形式:,所討論系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)。,1連續(xù)因果系統(tǒng),H(s)按其極點(diǎn)在s平面上的位置可分為:在左半開平面、虛軸和右半開平面三類。,（1）在左半平面,若系統(tǒng)函數(shù)有負(fù)實(shí)單極點(diǎn)p= (0)，則A(s)中有因子(s +)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為
3、Ke-t(t),極點(diǎn)確定。,(b) 若有一對(duì)共軛復(fù)極點(diǎn)p12= -j，則A(s)中有因子(s+)2+2 K e-tcos(t+)(t),(c) 若有r重極點(diǎn)， 則A(s)中有因子(s+)r或(s+)2+2r，其響應(yīng)為 Kiti e-t(t)或Kiti e-tcos(t+)(t) (i=0,1,2,,r-1),以上三種情況：當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于0暫態(tài)分量。,系統(tǒng)函數(shù)H()與時(shí)域響應(yīng)h(),系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？,系統(tǒng)穩(wěn)定性問題？,系統(tǒng)的穩(wěn)定性如何？,系統(tǒng)穩(wěn)定：若系統(tǒng)對(duì)所有的激勵(lì) |f(.)|Mf ，其零狀態(tài),響應(yīng) |yzs(.)|My(M為有限常數(shù)），則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。,（2）在虛軸上,(a)單極點(diǎn)p=
4、0或p12=j， 則響應(yīng)為K(t)或Kcos(t+)(t)穩(wěn)態(tài)分量,(b) r重極點(diǎn)，相應(yīng)A(s)中有sr或(s2+2)r，其響應(yīng)函數(shù)為,LTI連續(xù)因果系統(tǒng)的h(t)的函數(shù)形式由H(s)的極, H(s)在左半平面的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為衰減, H(s)在虛軸上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn), H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其,（3）在右半開平面 ：均為遞增函數(shù)。,Kiti(t)或Kiticos(t+)(t)(i=0,1,2,,r-1)遞增函數(shù),的。即當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于0。 系統(tǒng)穩(wěn)定？,態(tài)分量。系統(tǒng)穩(wěn)定？, H(s)在虛軸上的高階極點(diǎn)或右半平面上的極點(diǎn)，其,所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)都是遞
5、增的。 即當(dāng)t時(shí)，響應(yīng)均趨于。系統(tǒng)穩(wěn)定？,極點(diǎn)確定。,結(jié)論,復(fù)習(xí)：s域與z域的關(guān)系,z=esT,式中T為取樣周期,如果將s表示為直角坐標(biāo)形式 s = +j ，將z表示為極坐標(biāo)形式 z = ej,= eT ， = T,由上式可看出： s平面的左半平面（z平面的單位圓內(nèi)部（z=0)---z平面的單位圓外部（z=1) s平面的j軸（=0)---z平面中的單位圓上（z==1) s平面上實(shí)軸（=0)---z平面的正實(shí)軸（=0) s平面上的原點(diǎn)（=0，=0）----z平面上z=1的點(diǎn)（=1，=0）,2離散因果系統(tǒng),H(z)按其極點(diǎn)在z平面上的位置可分為:在單位圓內(nèi)、在單位圓上和在單位圓外三類。 根據(jù)z平面
6、與s平面的影射關(guān)系，得結(jié)論：,H(z)在單位圓內(nèi)的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列為衰減的。即當(dāng)k時(shí)，響應(yīng)均趨于0。系統(tǒng)穩(wěn)定性？,H(z)在單位圓上的一階極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)函數(shù)為穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。系統(tǒng)穩(wěn)定性？,H(z)在單位圓上的高階極點(diǎn)或單位圓外的極點(diǎn)，其所對(duì)應(yīng)的響應(yīng)序列都是遞增的。即當(dāng)k時(shí)，響應(yīng)均趨于。系統(tǒng)穩(wěn)定性？,四、系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng),1、連續(xù)系統(tǒng),若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域包含虛軸（對(duì)于因果系統(tǒng)， H(s)的極點(diǎn)均在左半平面） ，則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為 H(j)=H(s)|s= j,下面介紹兩種常見的系統(tǒng)。,（1）全通函數(shù),若系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)| H(j)|為常數(shù)，則稱為
7、全通系統(tǒng)，其相應(yīng)的H(s)稱為全通函數(shù)。 凡極點(diǎn)位于左半開平面，零點(diǎn)位于右半開平面，并且所有零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸為一一鏡像對(duì)稱的系統(tǒng)函數(shù)即為全通函數(shù)。,（2）最小相移函數(shù),對(duì)于具有相同幅頻特性的系統(tǒng)函數(shù)而言，右半開平面沒有零點(diǎn)的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)。,2、離散系統(tǒng),若系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓（對(duì)于因果系統(tǒng)， H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)） ，則系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，頻率響應(yīng)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系為 H(ej)=H(z)|z= ej ， 式中=Ts，為角頻率，Ts為取樣周期。,舉例,例：某離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù),(1) 若系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);,(2) 若系統(tǒng)為反
8、因果系統(tǒng)，求單位序列響應(yīng)h(k);,(3) 若系統(tǒng)存在頻率響應(yīng)，求單位序列響應(yīng)h(k);,解 (1) |z|3，h(k) =(-0.5)k + (3)k(k),(2) |z|<0.5，h(k) =-(-0.5)k - (3)k(-k-1),(3) 0.5<|z|<3，h(k) = (-0.5)k (k) - (3)k(-k-1),7.2 系統(tǒng)的穩(wěn)定性,一、穩(wěn)定系統(tǒng)的定義,一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)是有界輸入有界輸出(Bound Input Bound Output------ BIBO)穩(wěn)定的系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱為穩(wěn)定系統(tǒng)。,即：若系統(tǒng)對(duì)所有的激勵(lì) |f(.)|Mf
9、 ，其零狀態(tài)響應(yīng) |yzs(.)|My(M為有限常數(shù)），則稱該系統(tǒng)穩(wěn)定。,（1）連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,時(shí)域：,S 域：,若H(s)的收斂域包含虛軸，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。,對(duì)于因果系統(tǒng),若H(s)的極點(diǎn)均在左半開平面，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。,（2）離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件,時(shí)域：,Z 域：,若H(z)的收斂域包含單位圓，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。,對(duì)于因果系統(tǒng),若H(z)的極點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，則該系統(tǒng)必是穩(wěn)定系統(tǒng)。,舉例,例1 y(k)+1.5y(k-1)-y(k-2)= f(k-1) (1)若為因果系統(tǒng)，求h(k)，并判斷是否穩(wěn)定。 (2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，求h(k).,解,(1) 為因果系
10、統(tǒng)，故收斂域?yàn)閨z|2，所以h(k)=0.40.5k-(-2)k(k)，不穩(wěn)定。,(2) 若為穩(wěn)定系統(tǒng)，故收斂域?yàn)?.5<|z|<2，所以h(k)=0.4(0.5)k(k)+0.4(-2)k(-k-1),例2：如圖離散因果系統(tǒng)框圖 ，為使系統(tǒng)穩(wěn)定，求常量a的取值范圍,解：設(shè)加法器輸出信號(hào)X(z),X(z),z-1X(z),X(z)=F(z)+z-1aX(z),Y(z)=(2+z-1)X(z)= (2+z-1)/(1-az-1)F(z),H(z)= (2+z-1)/(1-az-1)=(2z+1)/(z-a),為使系統(tǒng)穩(wěn)定，H(z)的極點(diǎn)必須在單位園內(nèi)， 故|a|<1,二、連續(xù)因果系統(tǒng)穩(wěn)定性判斷準(zhǔn)
11、則羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則,對(duì)因果系統(tǒng)，只要判斷H(s)的極點(diǎn)，即A(s)=0的根（稱為系統(tǒng)特征根）是否都在左半平面上，即可判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定，不必知道極點(diǎn)的確切值。,所有的根均在左半平面的多項(xiàng)式稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。,1、必要條件簡(jiǎn)單方法,一實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式A(s)=ansn++a0=0的所有根位于左半開平面的必要條件是：（1）所有系數(shù)都必須非0，即不缺項(xiàng)；（2）系數(shù)的符號(hào)相同。,例1 A(s)=s3+4s2-3s+2 符號(hào)相異，不穩(wěn)定 例2 A(s)=3s3+s2+2 ， a1=0，不穩(wěn)定 例3 A(s)=3s3+s2+2s+8 需進(jìn)一步判斷，非充分條件。,2、羅斯列表,將多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)排列為
12、如下陣列羅斯陣列 第1行 an an-2 an-4 第2行 an-1 an-3 an-5 第3行 cn-1 cn-3 cn-5 它由第1，2行，按下列規(guī)則計(jì)算得到：,,第4行由2，3行同樣方法得到。一直排到第n+1行。,羅斯準(zhǔn)則指出：若第一列元素具有相同的符號(hào)，則A(s)=0所有的根均在左半開平面。若第一列元素出現(xiàn)符號(hào)改變，則符號(hào)改變的總次數(shù)就是右半平面根的個(gè)數(shù)。,舉例,例1 A(s)=2s4+s3+12s2+8s+2,羅斯陣列： 2 12 2 1 8 0,2,8.5 0,2,第1列元素符號(hào)改變2次，因此，有2個(gè)根位于右半平面。,注意：在排羅斯陣列時(shí)，可能
13、遇到一些特殊情況，如第一列的某個(gè)元素為0或某一行元素全為0，這時(shí)可斷言：該多項(xiàng)式不是霍爾維茲多項(xiàng)式。,例2 已知某因果系統(tǒng)函數(shù),為使系統(tǒng)穩(wěn)定，k應(yīng)滿足什么條件？,解 列羅斯陣列,3 3 1+k,(8-k)/3,1+k,所以， 1
14、 a0 第2行 a0 a1 a 2 an-2 an-1 an 第3行 cn-1 cn-2 cn-3 c1 c0 第4行 c0 c1 c2 cn-2 cn-1 第5行 dn-2 dn-3 dn-4 d0 第6行 d0 d1 d2 dn-2 第2n-3行 r2 r1 r0,第3行按下列規(guī)則計(jì)算：,,一直到第2n-3行，該行有3個(gè)元素。,朱里準(zhǔn)則指出： A(z)=0的所有根都在單位圓內(nèi)的充分必要的條件是: (1) A(1)0 (2) (-1)nA(-1)0 (3) an|a0| cn-1|c0| dn-2|d0| r2|r0| 即，奇數(shù)行
15、，其第1個(gè)元素必大于最后一個(gè)元素的絕對(duì)值。,特例：對(duì)二階系統(tǒng)。A(z)=a2z2+a1z+a0,易得 A(1)0 A(-1)0 a2|a0|,舉例,例 A(z)=4z4-4z3+2z-1,解 排朱里列表,4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209-210 56,A(1)=10 (-1)4A(-1)=50 41 ， 154 ， 20956 所以系統(tǒng)穩(wěn)定。,7.3 信號(hào)流圖,描述系統(tǒng)的功能:,信號(hào)流圖就是用一些點(diǎn)和有向線段來描述系統(tǒng)，,信號(hào)流圖首先由Mason于1953年提出的，應(yīng)用非常廣泛。,微分（差分）方程,傳輸
16、函數(shù),信號(hào)流圖,方框圖,,與框圖本質(zhì)是一樣的，但更加簡(jiǎn)便。,一、信號(hào)流圖,1、定義：,2、信號(hào)流圖中常用術(shù)語,(1) 結(jié)點(diǎn)： 表示系統(tǒng)中 的變量或信號(hào)的點(diǎn)，如起始F(z) 。,(2) 支路和支路增益： 連接兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的有向線段稱為支路。 每條支路上的權(quán)值（支路增益）就是該兩結(jié)點(diǎn)間的系統(tǒng)函數(shù)（轉(zhuǎn)移函數(shù))。,即用一條有向線段表示一個(gè)子系統(tǒng),,信號(hào)流圖是由結(jié)點(diǎn)和有向線段組成的幾何圖形。,它可以簡(jiǎn)化系統(tǒng)的表示，并便于計(jì)算系統(tǒng)函數(shù)。,(3) 源點(diǎn)與匯點(diǎn)，混合結(jié)點(diǎn),僅有出支路的結(jié)點(diǎn)稱為源點(diǎn)（或輸入結(jié)點(diǎn)）如F(z)。 僅有入支路的結(jié)點(diǎn)稱為匯點(diǎn)（或輸出結(jié)點(diǎn)）如Y(z)。 有入有出的結(jié)點(diǎn)為混合結(jié)點(diǎn),沿箭頭
17、方向從一個(gè)結(jié)點(diǎn)到其他結(jié)點(diǎn)的路徑(多個(gè)支路）稱為通路。,(4)通路、開通路、閉通路（回路、環(huán)）、不接觸回路、自回路：,(5)前向通路：從源點(diǎn)到匯點(diǎn)的開通路稱為前向通路。,(6)前向通路增益，回路增益：通路中各支路增益的乘積,如果通路與任一結(jié)點(diǎn)相遇不多于一次，則稱為開通路。 閉合的路徑稱為閉通路（回路、環(huán)） 。 相互沒有公共結(jié)點(diǎn)的回路，稱為不接觸回路。 只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)和一條支路的回路稱為自回路。,3、信號(hào)流圖的基本性質(zhì),（2）當(dāng)結(jié)點(diǎn)有多個(gè)輸入時(shí)，該結(jié)點(diǎn)將所有輸入支路的信號(hào)相加，并將和信號(hào)傳輸給所有與該結(jié)點(diǎn)相連的輸出支路。,如：x4= ax1+bx2+cx3 x5= dx4 x6= ex4,（
18、3）混合結(jié)點(diǎn)可通過增加一個(gè)增益為1的出支路而變?yōu)閰R點(diǎn)。,支路的輸出=該支路的輸入與支路增益的乘積。,（1）信號(hào)只能沿支路箭頭方向傳輸。,4、方框圖流圖,注意：加法器前引入增益為1的支路,例,5、流圖簡(jiǎn)化的基本規(guī)則：,（1）支路串聯(lián)：支路增益相乘。,X2=H2X3=H2H1X1,,（2）支路并聯(lián)：支路增益相加。,X2=H1X1+H2X1 =(H1+H2) X1,,（3）混聯(lián)：,X4=H3X3=H3(H1X1+ H2X2)= H1H3X1 + H2H3X2,,,（4）自環(huán)的消除：,X3=H1X1+H2X2+ H3X3,,所有來向支路除1 H3,,例：化簡(jiǎn)下列流圖，求傳輸函數(shù)。,注意化簡(jiǎn)具體過程可能
19、不同，但最終結(jié)果一定相同。,解：消x3,消x2,消x4,消自環(huán),二、梅森公式,前方法求H復(fù)雜，利用Mason公式方便,系統(tǒng)函數(shù)H(.)記為H。梅森公式為：,為信號(hào)流圖的特征行列式,為所有不同回路的增益之和；,為所有兩兩不接觸回路的增益乘積之和；,為所有三三不接觸回路的增益乘積之和；,i 表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào),Pi 是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益；,i 稱為第i條前向通路特征行列式的余因子 即與第i條向前通路不相接觸的子圖的特征行列式 。,例 求下列信號(hào)流圖的系統(tǒng)函數(shù),解 (1)首先找出所有回路：,L1=H3G L2=2H1H2H3H5 L3=H1H4H5,(2)求特征行列
20、式,=1-（H3G+2H1H2H3H5+ H1H4H5）+ H3G H1H4H5,(4)求各前向通路的余因子：1 =1 ， 2 =1-GH3,(3)然后找出所有的前向通路：,p1=2H1H2H3 p2=H1H4,框圖也可用梅森公式求系統(tǒng)函數(shù)。,7.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),Mason公式是由流圖 H(s)或H(z) 下面討論，由H(s)或H(z) 流圖或方框圖,關(guān)注： Mason公式,i 表示由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路的標(biāo)號(hào),Pi 是由源點(diǎn)到匯點(diǎn)的第i條前向通路增益；,i與第i條向前通路不相接觸的子圖的特征行列式 。,7.4 系統(tǒng)的結(jié)構(gòu),H(s)或H(z) 流圖或方框圖,一、直接實(shí)現(xiàn)---利用Mason公式來實(shí)現(xiàn),例,分子中每項(xiàng)看成是一條前向通路。i=1,,分母中，除1之外，其余每項(xiàng)看成一個(gè)回路。,畫流圖時(shí)，所有前向通路與全部回路相接觸。,所有回路均相接觸。,二、級(jí)聯(lián)實(shí)現(xiàn),將H分解為若干簡(jiǎn)單（一階或二階子系統(tǒng)）的系統(tǒng)函數(shù)的乘積，即 H=H1H2Hn,一、二階子系統(tǒng)函數(shù),三、并聯(lián)實(shí)現(xiàn),將H展開成部分分式，將每個(gè)分式分別進(jìn)行模擬，然后將它們并聯(lián)起來。,舉例,H(s)=,
吳大正信號(hào)與線性系統(tǒng)分析第7章系統(tǒng)函數(shù)
