練習(xí)12 波的傳播規(guī)律多普勒效應(yīng)5

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1、練習(xí)12 波的傳播規(guī)律 波的形成機(jī)理 12. 1 ?波動(dòng)曲線 12. 2 圖示為t = 0時(shí)的波動(dòng)曲線, u = 2cm/s , 試指出: (1) 此曲線的物理意義。 (2) 波源一定要在點(diǎn)0嗎? 波形的實(shí)線與虛線部分各表示什么? (3) 點(diǎn)0 的初相位及波峰、波谷對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C′, G′點(diǎn)的初相位各為多少? (4) A,λ, T,ω各為多少? (5) 用箭頭指出0 , B, C, D, E, F,G, H 各點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì), 并說明你畫箭頭時(shí)是怎么考慮的。 (6) 畫出t = ±2s 時(shí)的波動(dòng)曲線。 (7) 若u 的方向相反, 即波沿x 軸負(fù)方向傳播, 再回答(

2、3) , ( 5) , ( 6) 。 題12.2圖？？ [分析與解答] （1）?? 波動(dòng)曲線表示的是波在傳播過程中某時(shí)刻t介質(zhì)元離開平衡位置的位移情況，相當(dāng)于在該時(shí)刻所拍攝的一幅照片。 （2）?? 波源不一定要在O點(diǎn)。根據(jù)惠更斯原理，波線上介質(zhì)中任一點(diǎn)均可看作是一個(gè)子波波源。 （3）??O點(diǎn)的振動(dòng)狀態(tài)是過平衡位置，向Y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，其初項(xiàng)φ0=π/2，波峰C′點(diǎn)在正的最大位移處，其初項(xiàng)位φc=0，波谷G′點(diǎn)在負(fù)的最大位移處，其初項(xiàng)位Φg= ±π。 （4）?? 振幅A=5cm, 波長(zhǎng)λ=4cm； 周期 T=1/v=λ/ u=4/2=2s

3、 圓頻率 ω=2π/ T= π rad/s （5）判斷某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方法是：它前一點(diǎn)現(xiàn)時(shí)的位置，就是它下一時(shí)刻的位置。故O，B，H，I向下運(yùn)動(dòng)；D、E、F向上運(yùn)動(dòng)；C，G瞬間靜止，隨后C向下，G向上運(yùn)動(dòng)。 （6）由于周期T=2s，因此t=2s 時(shí)的波動(dòng)曲線應(yīng)為t=0時(shí)的波形曲線向右傳播一個(gè)波長(zhǎng)后的形狀，即曲線右移λ； 同理，t=2s 時(shí)的波形曲線應(yīng)為t=0 時(shí)的波動(dòng)向左傳播一個(gè)波長(zhǎng)后的形狀，即曲線左移λ。 （7）在（3）中φ0 變?yōu)?π/2，φc ，φG 不變。在（5）中各質(zhì)元的運(yùn)動(dòng)方向：O，B，H，I 向上運(yùn)動(dòng)，D，E，F(xiàn) 向下，C 仍向下，G 仍向上；在（6）中

4、，t=2s 時(shí)，波形左移，t=-2s 時(shí)，波形右移。 12. 3 求解： (1) 已知x = 0 處質(zhì)元的振動(dòng)曲線如P156圖12.2所示, 若它以u(píng) = 20cm/ s 的速度在介質(zhì)中傳播, 試畫出t=3s 時(shí)的波動(dòng)曲線。 (2) 已知t =0時(shí)的波動(dòng)曲線如圖(題12.2)所示。 試畫出0，E，G′各點(diǎn)的振動(dòng)曲線。 (3) 已知波函數(shù)。 試畫出x = 0和x =λ/4兩點(diǎn)的振動(dòng)曲線。 [分析與解答] 振動(dòng)曲線是振子位移y與時(shí)間t的關(guān)系曲線，即y-t曲線。波動(dòng)曲線是某一時(shí)刻t，波線上介質(zhì)中各質(zhì)點(diǎn)元位移y隨x的分布曲線。 （1） 從振動(dòng)曲線可知：振幅 A = 5 cm

5、，周期 T = 2 s，t = 0 時(shí)， y0 = 0, 且 ，得O點(diǎn)初相位 ，圓頻率 振源（x=0）的振動(dòng)方程為 cm 由于該波以u(píng)=20 cm/s沿x軸正方向傳播，波長(zhǎng)， 則波動(dòng)方程為 cm 將t=3代入波動(dòng)方程得 cm, 波形曲線如圖（b）所示。 （2）由題12.2圖所示的波形曲線可知，O點(diǎn)過平衡位置，向y軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方程為 cm E點(diǎn)過平衡位置，向y正方向運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)方程為 cm G’點(diǎn)在負(fù)最大位移處，振動(dòng)方程為cm 各點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖（C）所示。 （2） 將 m改寫為并與波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 對(duì)比， 得 A

6、=2m；=0；ω=2π rad/s；u=2 m/s； 當(dāng)x=0時(shí)，該點(diǎn)的振動(dòng)方程為 m x=λ/4處的振動(dòng)方程為 則該兩點(diǎn)的振動(dòng)曲線如圖（d），（e）所示。 波動(dòng)方程 12.4 一平面諧波的表達(dá)式為y = Acos[ω（t-x/u）+ φ0 ], 試說明: (1) 式中x/u 表示什么? (2) 表示什么? (3) ωx/ u 表示什么? (4) 表示什么? 它等于波速u 嗎? 題12.4（6） (5) 若把方程寫成y = Acos [2π（t/T-x/λ）], 可否? (6) 波動(dòng)方程中的(-x/u) , 其負(fù)號(hào)表示什

7、么? 能否是正號(hào)? 今已知一平面諧波沿x 軸負(fù)方向傳播, 如圖所示, 已知M點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為y = Acos(ω t +)試寫出點(diǎn)N 的運(yùn)動(dòng)方程。 [分析與解答] (1) x/u 表示波從坐標(biāo)原點(diǎn)（x=0）傳到任意一點(diǎn)（x=x）所需的時(shí)間。 (2) 表示坐標(biāo)原點(diǎn)（x=0）處質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)的初相位。 （3）ωx/ u 表示波線上任一點(diǎn)處質(zhì)元比原點(diǎn)處質(zhì)元落后的相位，或相距x距離的兩元間的相位差。 （4）表示波動(dòng)某一質(zhì)元的振動(dòng)速度，它不等于波速u，一般來說是時(shí)間的函數(shù)并且與質(zhì)元位置x有關(guān)，而波速u只與介質(zhì)有關(guān)。 （5）該式只是在初相位 =0 時(shí)的特殊情況下成立，一般應(yīng)寫為 y

8、 =Acos[2π(t/T –x/λ)+φ0 ] (6) (-x/u) 中的負(fù)號(hào)表示相位落后，而(+x/u)中的正號(hào)則表示相位超前。 已知：M點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律為 =A cos(ωt+) 且該波沿x軸負(fù)方向傳播，可知圖中N點(diǎn)的相位較M點(diǎn)超前，則N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程（即波動(dòng)方程）應(yīng)為 y =A cos{ω[t +(x-1)/u]+ } 12.5已知波動(dòng)方程 cm 試求：ω，T，v，u，λ，A和波數(shù)k各為多少？并寫出r=15cm處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。 [分析與解答] 與波動(dòng)方程一般形式相比較可得：周期T=12s；圓頻率；波長(zhǎng)λ=30cm； 振幅A=5cm 波速cm/s；波數(shù) 振動(dòng)速度 c

9、m/s r=15cm處質(zhì)元的方程為：cm 12.6 已知平面諧波A = 5cm，ν= 100Hz, 波速u = 400m/ s，沿x正方向傳播，以位于坐標(biāo)原點(diǎn)O的質(zhì)元過平衡位置向正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)為時(shí)間起點(diǎn)，試求: (1) 點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)方程; (2) 波動(dòng)方程; (3) t = 1s 時(shí), 距原點(diǎn)100cm 處質(zhì)元的相位 [分析與解答] （1） 要建立O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，關(guān)鍵在于找三個(gè)特征量。由題設(shè)條件可知，圓頻率rad/s。振幅A=5cm；t=0時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)O處質(zhì)點(diǎn)過平衡位置，且向正方向運(yùn)動(dòng)，則O點(diǎn)的初相位，于是 O點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為 m (2) 波沿x軸的正方向傳播。波線上任

10、一點(diǎn)質(zhì)元的相位較O點(diǎn)質(zhì)元落后，則波動(dòng)方程為 (3)將t=1s，x=100cm=1m代入波動(dòng)方程，得 t=1s時(shí)，距原點(diǎn)100cm處質(zhì)點(diǎn)的相位為199π （若取，則該點(diǎn)相位為201π） 12. 7 一列平面諧波沿x 軸正向傳播, 振幅A = 0.1m, 頻率ν= 10Hz, 當(dāng)t = 1.0 s時(shí)，x = 0.1m 處的質(zhì)點(diǎn)a 的狀態(tài)為，；x = 0.2m 處的質(zhì)點(diǎn)b 的狀態(tài)為m，。試求這列波的波動(dòng)方程。 [分析與解答] 由波動(dòng)方程可知，這列波的方程為 ① 在t=1.0s時(shí)，對(duì)于a點(diǎn)（x=0.1m）有 則，由于，應(yīng)取， 則

11、 ② 同理，對(duì)于b點(diǎn)有 ③ 由式②，③可得 λ=0.24m， 代入式①，則波動(dòng)方程為 12. 8 一列平面簡(jiǎn)諧波, 頻率ν=500Hz , 波速u=350m/ s。試求: (1) 相位差的兩點(diǎn)間相距多遠(yuǎn)? (2) 在某點(diǎn), 時(shí)間間隔s 的兩個(gè)振動(dòng)狀態(tài)的相位差為多少? [分析與解答] (1)?? 由相位差和波程差的關(guān)系 則 (2) 按題設(shè)條件可知，周期為 T=1/v=1/500=2×10-3s 則某點(diǎn)經(jīng)

12、歷 的兩個(gè)位移的相位差為 或由兩個(gè)方程求解： 關(guān)于波的能量特征 12.9選擇題: (1) 一列機(jī)械橫波在t 時(shí)刻的波形曲線如圖 所示, 則該時(shí)刻能量為最大值的介質(zhì)質(zhì)元的位置 是: ( ) A. o′, b, d, f ; B. a, c, e, g; C. o′, d; D. b, f。 題12.9（1） (2) 圖示為一平面簡(jiǎn)諧波在t 時(shí)刻的波形曲 線, 若此時(shí)A 點(diǎn)處介質(zhì)質(zhì)元的振

13、動(dòng)動(dòng)能在增大, 則可知: ( ) A. C 點(diǎn)處質(zhì)元的彈性勢(shì)能在增大; B. A 點(diǎn)處質(zhì)元的彈性勢(shì)能在減小; 題12.9（2） C. B點(diǎn)處質(zhì)元的振動(dòng)動(dòng)能在增大; D. 波沿x 軸正方向傳播。 [分析與解答]（1）（B） （2）A點(diǎn)的振動(dòng)動(dòng)能在增大，表明A點(diǎn)正向平衡位置運(yùn)動(dòng)，表明沿-X方向傳播，因此，C點(diǎn)也向平衡位置運(yùn)動(dòng)，彈性勢(shì)能和動(dòng)能均增大，故答案（A）是正確的。 12. 10 頻率為ν= 500Hz, 波速為u =340m/s 的聲波(平面簡(jiǎn)諧波

14、) , 在空氣(ρ= 1.3kg/ m 3)中傳播, 到達(dá)人耳時(shí), 振幅約為A= 1.0×10-6 m。試求聲波在人耳中的平均能量密度和聲強(qiáng)。 [分析與解答] 聲波在人耳中的平均能量密度為 （1/2）ρA2 ω2 =2π2ρA2ν2 =6.42π×10-6 J/m2 其能量密度即為聲強(qiáng)，即I== w/m2 波的干涉 12. 11 如圖所示, 兩相干波源S 1 , S 2 , 頻率均為100Hz , 振幅均為5cm, 波速均為u = 10m/ s , 振動(dòng)方向均垂直紙面。試求下列情況下, S 1 , S 2 連線的中垂線上點(diǎn)P 的運(yùn)動(dòng)方程, 并說明點(diǎn)P 是加強(qiáng)還是減弱。 (1)

15、 S 1 , S 2 的相位差為0； (2) S 1 , S 2 的相位差為π/2； (3) S 1 , S 2 的相位差為π。 [分析與解答] 設(shè)由S1所發(fā)的波動(dòng)方程為 S2所發(fā)出的波動(dòng)方程為 其中r1和r2分別為P點(diǎn)到S1和S2的距離， 故兩列波在P點(diǎn)的相位差為 由題意可知cm，所以 （1）當(dāng)時(shí)，兩波疊加后干涉加強(qiáng)，合振幅 cm 合振動(dòng)方程為 cm (2) 時(shí)，合振動(dòng)既不加強(qiáng)，也不減弱，此時(shí)設(shè)，則 合振幅cm 初相位 合振動(dòng)方程為 (3) 當(dāng) =π時(shí)， 合振動(dòng)為減弱，此時(shí) 振動(dòng)方程

16、 y=0 12. 12 介質(zhì)中兩相干波源S1，S2，分別位于O 和N，如圖所示。它們的振幅相等, 頻率，相位差為π。若ON相距為30m，波的傳播速度為u=400m/s，試求: (1) ON 連線上因干涉而靜止的各點(diǎn)位置; (2) ON 連線外的各點(diǎn)能否靜止? [分析與解答] 波長(zhǎng) m （1）在ON連線之間取任一點(diǎn)P，此點(diǎn)距O點(diǎn)恰距離為，則距N點(diǎn)為。 兩列波傳到P點(diǎn)的相位差為 代入干涉減弱條件 ， (k = 0,1,2,…) 整理得 考慮到x的取值范圍應(yīng)在之間，k值的取值應(yīng)在k =0, 1,… 7，所以因干涉而靜止的點(diǎn)為x =1，3，5，…，27，29 m處

17、,共有15個(gè)靜止點(diǎn)。 （2）選P點(diǎn)在ON連線的外側(cè)： ①P在O點(diǎn)左側(cè)時(shí)，P距O為，P距N為，P點(diǎn)的相位差 由干涉條件知P點(diǎn)恒為加強(qiáng)，無靜止點(diǎn)。 ②P點(diǎn)在N點(diǎn)右側(cè)時(shí)，有，， ，也是恒為加強(qiáng)，無靜止點(diǎn)。 故在ON連線外側(cè)的各點(diǎn)均無靜止點(diǎn)。 12. 13 何謂半波損失? 在什么情況下會(huì)產(chǎn)生半波損失? 并回答: (1) 入射波y1 = Acos2π（t/T+x/λ）, 在x=0處發(fā)生 反射, 反射點(diǎn)是自由端, 反射波有半波損失嗎? (2) 如圖所示, 點(diǎn)O 發(fā)出一列波, 在點(diǎn)P 發(fā)生反射, 題12.13圖 入射波的方程為y入=Acos[

18、ω（t–x/u）]。 已知ρ2u 2>ρ1u1 , OP=L,則反射波的方程為y=Acos{ω[t-（2L–x）/u]-π} , 你能理解嗎? 請(qǐng)說明式中-（2L–x）/u和(-π)的意義。 [分析與解答] 一列波從波疏介質(zhì)垂直入射到波密介質(zhì)，在兩介質(zhì)的分界面上 反射的波，相位發(fā)生 π的突變，此謂半波損失。 （1）沒有。 （2）-（2L–x）/u為反射波傳到某點(diǎn)與從O點(diǎn)發(fā)出入射波時(shí)的時(shí)間差。 -π表示反射波產(chǎn)生的半波損失。 12. 14 弦線上有兩列波相向傳播, 其運(yùn)動(dòng)方程分別為 y1 = 0.06cos [2π（t/0.5-x/2）]m y2=0.

19、06cos[2π（t/0.5+x/2）]m 試求:（1) 證明弦線作駐波式振動(dòng); (2) 波節(jié)的位置及相鄰兩波節(jié)之間的距離; (3) 波腹的位置及幅值; (4) x = 1.2m 處的振幅值。 [分析與解答] 按題設(shè)條件可知，周期為T =0.5s,波長(zhǎng)=2 m. (1)在弦線上任意一點(diǎn)P，它距坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為x，則P點(diǎn)的合振動(dòng)方程為 y =y1 + y2 =0.06cos[2π(t/0.5- x/2)]+ 0.06cos[2π(t/0.5 + x/2)] =0.12cos(2πx/2)cos(2πt /0.5)=0.12cos(πx)cos(4πt) ① 式

20、①與標(biāo)準(zhǔn)的駐波方程具有相同的形式，故弦線作駐波式振動(dòng)。 （2）式①中，合振幅為 =0.12cos(2πx/2)=0.12cosπx ② 當(dāng)cosπx=0,即πx=(2k+1)π/2 時(shí), =0. 則 X =1/2(2k+1) (k=0,1,2,…) 即 x = 1/2, 3/2, 5/2,…為波節(jié)位置 兩相臨波節(jié)間的距離為： △x = xk+1 - xk = 1 m (3)當(dāng)|cosπx|= 1,即πx = kπ時(shí), =2A. 則 X = k (k =0, 1, 2,…) 即x = 0, 1, 2,…為波腹位置。且=2A =0.12m (4)將x = 1.2

21、 m代入式②,得 =0.12COS(1.2π)= 0.097 m 多普勒效應(yīng) 12.15 一列火車以63 km/ h 的速度由東向西駛向車站。汽笛聲頻為650Hz,車站旁的平行公路上有一輛紅旗轎車, 試問轎車司機(jī)在下列情況下所接收到的火車汽笛聲的頻率最接近數(shù)據(jù)是660Hz, 618Hz, 685Hz, 710Hz 中的哪一個(gè)? (1) 轎車靜止; (2) 轎車以45km/ h 的速度向西行駛; (3) 轎車以45km/ h 的速度向東行駛。 [分析與解答] 汽笛是一個(gè)運(yùn)動(dòng)的波源S，紅旗車司機(jī)是觀察者P (1) P靜止，S迎向P運(yùn)動(dòng)，速度為vs =63km/h = 17.5 m

22、/s.發(fā)出的聲頻為 =650Hz，聲波在空氣中的傳播速度u =340m/s，則P接受的頻率為 =u/(u–vs )= 650×[340/(340-17.5)] = 685Hz (2)P以vR = 45km/h=12.5m/s與S同向行駛，則 =[(u-vR )/(u-vs)] =[(340-12.5)/(340-17.5)]×650=660Hz （3）P以vR =12.5m/s與相向行駛，則 =[(u + vR )/(u –vs )] =[(340+12.5)/(340-17.5)]×650=710Hz 12.16 聲吶被譽(yù)為水中的雷達(dá), 我海軍某艦艇的聲吶發(fā)出頻率為1.8×1

23、04Hz 的聲波, 經(jīng)40s 接收到回波信號(hào), 觀察到拍音頻率為220Hz, 發(fā)現(xiàn)是敵潛艇向我艇駛來, 若聲速為1500m/s。試求: (1) 敵潛艇的行駛速度; (2) 敵潛艇離我艇距離為多少? [分析與解答] （1）停在海上的我艇（波源）發(fā)出的頻率為，以VR行駛的敵艇接收的頻率為，則 此頻率反射時(shí)，敵艇成為以VR運(yùn)動(dòng)的波源，我艇接收的頻率為，則 由于拍頻 為 考慮到u >> VR ,則敵艇的速度VR為 VR =(u△v )/2 =(1500×220)/(2×1.8×104 )=9.17m/s (2) 聲納往返一次的時(shí)間為40s，單

24、程為20s，敵艇離我艇的距離為 L=u△t=1500×20=30km 12.17 正在報(bào)警的警笛, 每隔0. 5 s 鐘響一聲, 一輛警車以72km/ h 的速度向報(bào)警地急速駛來, 于t = 20s 時(shí)趕到。問20s 內(nèi)警車內(nèi)的警員聽到幾響? [分析與解答]按題意，波源（警笛）不動(dòng)，觀測(cè)者（警車）以v =72km/h=20m/s的速度相對(duì)于介質(zhì)運(yùn)動(dòng)，設(shè)聲速為u =340m/s。根據(jù)多普勒公式，則 觀察者接收到的頻率為 =[(u + v)/u] =[(340+20)/340]×2=720/340 Hz 于是，20s內(nèi)能聽到的響數(shù)為 n = 20×(

25、720/340)=42響 12.18 根據(jù)大爆炸理論, 宇宙在膨脹。設(shè)遠(yuǎn)方一星系發(fā)來的光的波長(zhǎng), 經(jīng)測(cè)量是地球上同類原子發(fā)的光的波長(zhǎng)的1.5倍。求該星系離開地球的退行速度。 [分析與解答] 設(shè)星系的退行速度為v，發(fā)出的光的頻率和波長(zhǎng)為， ，地球接收到的為 。 根據(jù)光的多普勒效應(yīng)， 有 則 ， 即 ， 故 v = m/s 12.19 人體主動(dòng)脈內(nèi)血液的流速一般為v = 0. 32 m/s , 聲波在體內(nèi)的傳播速度約為u = 1.54×103m/s。今沿血流方向發(fā)射=4.0×106Hz 的超聲波, 試問: 從紅血球反射回的波與原發(fā)射波的拍頻Δ為多少? [分析與解答] 應(yīng)用研究 12.20 對(duì)下列命題, 請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)相應(yīng)的方案。 (1) 如何測(cè)定或控制衛(wèi)星的速度? (2) 公路上的不同路段, 都規(guī)定了汽車的最大行駛速度, 超速是違規(guī)的。交警部門是如何監(jiān)控汽車是否超速行駛的? (3) 如何觀測(cè)海底地貌? (4) 如何檢測(cè)鑄件的內(nèi)部質(zhì)量? ?[分析與解答]（1）（2）采用多普勒測(cè)速儀 （3）（4）超聲（或次聲）探測(cè) 10