第43課時 閱讀理解型問題(含答案)-

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1、 第43課　閱讀理解型問題 1．我國古代數(shù)學家秦九韶在《算書九章》中記述了“三斜求積術”，即已知三角形的 三邊長，求它的面積．用現(xiàn)代式子表示即為：……①（其中a、b、c為三角形的三邊長，s為面積）．而另一個文明古國古希臘也有求三角形面積的海倫公式：……②（其中）． （1）若已知三角形的三邊長分別為5、7、8，試分別運用公式①和公式②，計算該三角形的面積． （2）你能否由公式①推導出公式②？請試試． 2．閱讀以下短文，然后解決下列問題： 如果一個三角形和一個矩形滿足條件：三角形的一邊與矩形的一邊重合，且三角形的這邊

2、所對的頂點在矩形這邊的對邊上，則稱這樣的矩形為三角形的“友好矩形”. 如圖8①所示，矩形ABEF即為△ABC的“友好矩形”. 顯然，當△ABC是鈍角三角形時，其“友好矩形”只有一個 . (1) 仿照以上敘述，說明什么是一個三角形的“友好平行四邊形”； (2) 如圖②，若△ABC為直角三角形，且∠C=90°，在圖②中畫出△ABC的所有“友好矩形”，并比較這些矩形面積的大??； (3) 若△ABC是銳角三角形，且BC>AC>AB，在圖③中畫出△ABC的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明. 　　　　 ①　　　　　　　　　　　②　　　　　　　?、? 　　　　　　　　

3、　　　　　 3．閱讀下列材料，并解決后面的問題． 　在銳角△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c．過A作AD⊥BC于D(如圖)，則sinB=，sinC=，即AD=csinB，AD=bsinC，于是csinB=bsinC，即． 　同理有，． 　所以………(*) 　即：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等． 　　(1)在銳角三角形中，若已知三個元素a、b、∠A，運用上述結論(*)和有關定理就可以 求出其余三個未知元素c、∠B、∠C，請你按照下列步驟填空，完成求解過程： 第

4、一步：由條件a、b、∠A ∠B； 第二步：由條件 ∠A、∠B． ∠C； 第三步：由條件． c． 4．閱讀材料，大數(shù)學家高斯在上學讀書時曾經研究過這樣一個問題： 1+2+3+…+100＝？經過研究，這個問題的一般性結論是1+2+3+…+，其中ｎ是正整數(shù)．現(xiàn)在我們來研究一個類似的問題：1×2+2×3+…＝？ 觀察下面三個特殊的等式 將這三個等式的兩邊相加，可以得到1×2+2×3+3×4＝ 讀完這段材料，請你思考后回答： ⑴1×2+2×3+……+100×101＝　　　　　。 ⑵1

5、×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)=　　　　　　　　。 ⑶1×2×3×4+2×3×4×5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)=　　　　　　　。 5．閱讀：我們知道，在數(shù)軸上，x＝1表示一個點，而在平面直角坐標系中，x＝1表示一條直線；我們還知道，以二元一次方程2x－y＋1＝0的所有解為坐標的點組成的圖形就是一次函數(shù)y＝2x＋1的圖象，它也是一條直線，如圖①. 觀察圖①可以得出：直線x＝1與直線y＝2x＋1的交點P的坐標（1，3）就是方程組的解，所以這個方程組的解為 在直角坐標系中，x≤1表示一個平面區(qū)域，即直線x＝1以及它左側的部分，如圖②；y≤2x＋1也表示

6、一個平面區(qū)域，即直線y＝2x＋1以及它下方的部分，如圖③． O x y l x=1 P(1,3) O x y 3 l x=1 y=2x+1 O x y l y=2x+1 　　　①　　　　　　　　　?、凇　　　　　　　　　　　、? 回答下列問題： （1）在直角坐標系中，用作圖象的方法求出方程組的解； （2）用陰影表示，所圍成的區(qū)域． 6．請耐心閱讀，然后解答后面的問題：上周末，小明在書城隨手翻閱一本高中數(shù)學參考書時，無意中看到了幾個等式：sin51°cos12°+cos51°sin12°=sin6

7、3°, sin25°cos76°+cos25°sin76°=sin101° 一個猜想出現(xiàn)在他腦海里，回家后他馬上用科學計算器進行驗證，發(fā)現(xiàn)自己的猜想成立，并能推廣到一般．其實這是大家將在高中學的一個三角函數(shù)知識．你是否和小明一樣也有想法了？下面考考你，看你悟到了什么： ①根據(jù)你的猜想填空: sin37°cos48°+cos37°sin48°=_________. sinαcosβ+cosαsinβ＝____________. ②盡管75°角不是特殊角，請你用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律巧算出sin75°的值． 7．如圖，四邊表ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經

8、過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A，B重合），另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F． ⑴如圖1，當點E在AB邊的中點位置時： ①通過測量DE，EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系是____________ ； ②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是_______________； ③請證明你的上述兩猜想． ⑵如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點N，使得NE=BF，進而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 8．直角三角形通過剪切可以拼成一個與該直角三角形面

9、積相等的矩形．方法如下： 中點 中點 ① ② ③ ② ① ③ 請你用上面圖示的方法，解答下列問題： （1）對任意三角形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原三角形面積相等的矩形． （1） 對任意四邊形，設計一種方案，將它分成若干塊，再拼成一個與原四邊形面積相等的矩形． 9．在平面內，如果一個圖形繞一個定點旋轉一定角度后能與自身重合，那么就稱這個圖形是旋轉對稱圖形，轉動的這個角稱為圖形的一個旋轉角．例如：正方形繞著它的對角線的交點旋轉90°后能與自身重合，所以正方形是旋轉對稱圖形，它有一旋轉角為90°． （1）判斷下列命題的真假（在相應的括號內填上“

10、真”或“假”）． ①等腰梯形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180°．（ ） ② 矩形是旋轉對稱圖形，它有一個旋轉角為180°（ ） （2）填空：下列圖形中，是旋轉對稱圖形，且有一個旋轉角為120°的是 （寫出所有正確結論的序號）：①正三角形；②正方形；③正六邊形；④正八邊形 ． （3）寫出兩個多邊形，它們都是旋轉對圖形，都有一個旋轉角為72°，并且分別滿足下列條件: ①是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形：____________________. ②既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形：___________________

11、____. 10．先閱讀下列材料，再解答后面的問題: 材料：23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為．一般地，若，則n叫做以為底b的對數(shù)，記為，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為． 問題：（1）計算以下各對數(shù)的值: . （2）觀察（1）中三數(shù)4、16、64之間滿足怎樣的關系式？之間又滿足怎樣的關系式？ （3）由（2）的結果，你能歸納出一個一般性的結論嗎？ 根據(jù)冪的運算法則：以及對數(shù)的含義證明上述結論． 11．某校研究性學習小組在研究相似圖形時，發(fā)現(xiàn)相似三角形的定義、

12、判定及其性質，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定義：“圓心角相等且半徑和弧長對應成比例的兩個扇形叫做相似扇形”；相似扇形有性質：弧長比等于半徑比、面積比等于半徑比的平方…．請你協(xié)助他們探索這個問題． （1） 寫出判定扇形相似的一種方法：若 ，則兩個扇形相似； （2） 有兩個圓心角相等的扇形，其中一個半徑為a、弧長為m，另一個半徑為2a，則它的弧長為_ ； （3） 如圖1是一完全打開的紙扇，外側兩竹條AB和AC的夾角為120°，AB為30cm，現(xiàn)要做一個和它形狀相同、面積是它一半的紙扇（如圖2），求新做紙扇（扇形）的圓

13、心角和半徑． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 12．“三等分角”是數(shù)學史上一個著名的問題，但僅用尺規(guī)不可能“三等分角”．下面是數(shù)學家帕普斯借助函數(shù)給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在軸上、邊OA與函數(shù)的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點M ，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題： （1）

14、設、，求直線OM對應的函數(shù)表達式（用含的代數(shù)式表示）． （2）分別過點P和R作軸和軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據(jù)此證明∠MOB=∠AOB． （3）應用上述方法得到的結論，你如何三等分一 個鈍角（用文字簡要說明）． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 第43課

15、閱讀理解型問題答案 1． 2．(1) 如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”. (2) 此時共有2個友好矩形，如圖的BCAD、ABEF. 易知，矩形BCAD、ABEF的面積都等于△ABC面積的2倍， ∴ △ABC的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時共有3個友好矩形，如圖的BCDE、CAFG及ABHK，其中的矩形ABHK的周長最小 . 證明如下： 易知，這三個矩形的面積相等，令其為S. 設矩形BCDE、CAFG及ABHK的周長分別為L1，

16、L2，L3，△ABC的邊長BC=a，CA=b，AB=c，則 L1=+2a，L2=+2b，L3=+2c . ∴ L1- L2=(+2a)-(+2b)=2(a-b)， 而 ab>S，a>b， ∴ L1- L2>0，即L1> L2 . 同理可得，L2> L3 . ∴ L3最小，即矩形ABHK的周長最小. 3．解：, ∠A+∠B+∠C=180°，a、∠A、∠C或b、∠B、∠C， 或 4．解：⑴343400(或) ⑵ x y O y=－2x+2 x=－2 P l ⑶ 5．解：（1）如圖所示， 在坐標系中分別作出直線x＝－2和 直線y＝－2x＋2，

17、 這兩條直線的交點是P（－2，6）。 則是方程組的解。 （2）如陰影所示。 6．解：①sin85°；sin(α+β) ②sin75°＝sin（45°+30°） ＝sin45°cos30°+ cos45°sin 30° 7．解：⑴①DE=EF；②NE=BF。 ③證明：∵四邊形ABCD是正方形，N，E分別為AD，AB的中點， ∴DN=EB ∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135° ∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF ∴△DNE≌△EBF ∴ DE=EF，NE=BF ⑵在DA邊上截取DN=EB

18、（或截取AN=AE），連結NE，點N就使得NE=BF成立（圖略） 此時，DE=EF 8．解：（1）如圖所示： 中點 中點 ① ② ③ ① ③ ② （2）如圖所示： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 9．解：（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五邊形，正十五邊形；②如正十邊形，正二十邊形 10．（1） ， ， （2）4×16=64 ， + = （3） + = 證明：設=b1 , =b2 則， ∴

19、 ∴b1+b2= 即 + = 11．解：（1）答案不唯一，例如“圓心角相等”、“半徑和弧長對應成比例” （2）2m （3）∵兩個扇形相似，∴新扇形的圓心角為120° 設新扇形的半徑為r，則。 即新扇形的半徑為cm 12．解：（1）設直線OM的函數(shù)關系式為． 則∴． ∴直線OM的函數(shù)關系式為． （2）∵的坐標滿足，∴點在直線OM上． （或用幾何

20、證法，見《九年級上冊》教師用書191頁） ∵四邊形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR． ∴∠SQR=∠SRQ． ∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO． ∵∠PSQ是△SQR的一個外角， ∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR． ∵QR∥OB， ∴∠SOB=∠SQR．

21、 ∴∠POS=2∠SOB． ∴∠SOB=∠AOB． （3）以下方法只要回答一種即可． 方法一：利用鈍角的一半是銳角，然后利用上述結論把銳角三等分的方法即可． 方法二：也可把鈍角減去一個直角得一個銳角，然后利用上述結論把銳角三等分后，再將直角利用等邊三角形（或其它方法）將其三等分即可． 方法三：先將此鈍角的補角（銳角）三等分，再作它的余角． - 14 -