中山大學(xué)數(shù)學(xué)分析教案

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1、目錄,第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 5 無窮級(jí)數(shù)與代數(shù)運(yùn)小結(jié) 第十一章 廣義積分 1 無窮限廣義積分2瑕積分 第十二章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 第十三章 冪級(jí)數(shù) 1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì) 3 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開小結(jié) 第十四章 傅立葉級(jí)數(shù) 1 三角級(jí)數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù)2 傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性 3任意區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù)小結(jié) 第十五章多元函數(shù)的極限與連續(xù)性 1 平面點(diǎn)集2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性,目錄,第十六章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分 1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念2 復(fù)合函數(shù)微分法 3 幾何應(yīng)用4 方向?qū)?shù) 5 泰勒公式小結(jié) 第十七章 隱函數(shù)存在定理 1 單個(gè)方程的情形2 方程組情形 第十八章 極值與條件極值 1 極

2、值與最小二乘法2 條件極值及Lagrange乘數(shù)法 第二十章 重積分 1 重積分的概念2 重積分化累次積分 3 重積分的變量代換4 曲面面積 第二十一章 曲線積分與曲面積分 1 第一型曲線積分與曲面積分 2第二型曲線積分與曲面積分 第二十二章 各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步 1各種積分間的關(guān)系2積分與路徑無關(guān) 3場(chǎng)論初步 第十七章第二十二章的小結(jié)附錄：二次型,第十章 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),5 無窮級(jí)數(shù)與代數(shù)運(yùn)算 有限和中的運(yùn)算律，如結(jié)合律，交換律，分配律，在無窮和中均不成立。具體地，我們有下面的一些結(jié)論。,定理 10.19 若級(jí)數(shù) 收斂，其和為 ， 為自然數(shù)列， 則 亦

3、收斂于,1. 結(jié)合律,對(duì)于收斂級(jí)數(shù)，可任意加括號(hào)，即,2.交換律,僅僅對(duì)于絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，交換律成立 而對(duì)于條件收斂的級(jí)數(shù)，是靠正負(fù)抵消才可求和的，故重排后結(jié)果將任意?？梢?，絕對(duì)收斂才是真正的和。,定理 10.19 若級(jí)數(shù) 絕對(duì)收斂，其和為 ，設(shè) 為 的任意重排，則 亦絕對(duì)收斂，且和仍為,定理 10.21（Riemann),若級(jí)數(shù) 條件收斂，則經(jīng)適當(dāng)重排后，可使其和為任意的實(shí)數(shù) ，或 ， ， ，或既不收斂，亦不發(fā)散于 。,3.分配律,同樣的，僅僅對(duì)于絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)，交換律成立,定理 10.22 (Cauchy) 若級(jí)數(shù) ， 絕對(duì)收斂，其和分別為 ，

4、，則它們各項(xiàng)之積 按任意方式排列后所得的級(jí)數(shù)亦絕對(duì)收斂，且和為,第十一章 廣義積分,1 無窮限廣義積分,定積分的兩個(gè)限制,積分區(qū)間的有界性 被積函數(shù)的有界性 實(shí)踐中，我們卻經(jīng)常要打破這兩個(gè)限制。如：關(guān)于級(jí)數(shù)收斂的Cauchy積分判別法；概率統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)變量的空間通常是無限的；第二宇宙速度；物理中的 函數(shù)；量子運(yùn)動(dòng)；,無窮限積分的定義,設(shè)函數(shù) 在 有定義，在任意有限區(qū)間 上可積。若 存在，則稱之為 在 上的廣義積分，記為 此時(shí)亦稱積分 收斂；若 不存在，則稱積分 發(fā)散。,P.S. 為一符號(hào)，表示的是一無窮積分；而當(dāng)它收斂時(shí)，還有第二重意義，可用來表示其積分

5、值。,1. 2. 當(dāng) ， 均收斂時(shí)，定義 顯然， 的值與 的選取無關(guān)。,類似地，我們可以給出其它無窮積分的定義：,常用積分 線性：當(dāng) ， 均收斂時(shí)，,Chauchy 收斂原理,收斂 TH11.2 收斂 收斂。 Def . 絕對(duì)收斂 收斂； 條件收斂 發(fā)散而 收斂。,比較判別法I（直接比較）,設(shè)函數(shù) 在 有定義，在任意有限區(qū)間 上可積， （1）若 ，當(dāng) 時(shí)， 則 收斂 收斂； （2）若 ，當(dāng) 時(shí)， 則 發(fā)

6、散 發(fā)散。,比較判別法II（用極限比較）,設(shè)函數(shù) 在 有定義，在任意有限區(qū)間 上可積，且 （1）若 ，則 收斂 收斂； （2）若 ，則 發(fā)散 發(fā)散。,比較判別法III（與 比較）,設(shè)函數(shù) 在 有定義，在任意有限區(qū)間 上可積。 （1）若 則 收斂； 若 則 發(fā)散。 （2）若 則 時(shí) 收斂， 時(shí) 發(fā)散。,特別地，我們?nèi)艨衫肨aylor公式，求得,則,時(shí) 收斂， 時(shí) 發(fā)散， 時(shí),只能于 時(shí)推得 收斂。,Question,我們將參照物

7、取為冪函數(shù) ，而有了上述的比較判別法；那么，將參照物取為指數(shù)函數(shù) ，結(jié)果又如何呢？ 無窮限的廣義積分有著與級(jí)數(shù)非常類似的比較判別法，都是通過估計(jì)其求和的對(duì)象大小或收斂于0的速度而判斷本身的斂散性；而且，我們還有Cauchy積分判別法，使某些級(jí)數(shù)的收斂與某些無窮限積分的收斂等價(jià)了起來。那么，是否可以將關(guān)于級(jí)數(shù)中結(jié)論推廣至無窮限積分中來呢？某些結(jié)論不能推廣的原因是什么呢？,積分第二中值定理,設(shè) 在 上可積， 在 上單調(diào)，則 特別地，若 單調(diào)上升且 ，則 若 單調(diào)下降且 ，則,幾何解釋（ 情形）,兩個(gè)收斂判別法,(Dirichlet) (Abel),兩個(gè)有用的結(jié)果,習(xí)題( P.5

8、7 ),1. (2) (4) (5) 2. (1) (9) (10) (14) (16) 3. (1) (3) (5) 9.,2 瑕積分,Def 11.2設(shè)函數(shù) 在 有定義，在任意區(qū)間 上可積，在 無界。若 存在，則稱瑕積分 收斂，且積分值為該極限值，記為 若 不存在，則稱瑕積分 發(fā)散。,P.S. 發(fā)散時(shí)只是一個(gè)符號(hào)，不表示一個(gè)數(shù)值。,1. 若 為瑕點(diǎn)， 2.若 為瑕點(diǎn)，則當(dāng) ， 均收斂時(shí)，定義,類似地，瑕點(diǎn)非左端點(diǎn)的瑕積分的定義為：,常用積分 線性：當(dāng) 瑕積分 ， 均收斂時(shí)，,暇積分與無窮限積分的關(guān)系,設(shè) 有唯一瑕點(diǎn) ，令

9、 ，我們有 如是，我們可以將無窮限積分的性質(zhì)推廣至瑕積分中來。下面，我們不加證明地把關(guān)于瑕積分的收斂判別法列舉出來。,Chauchy 收斂原理,設(shè) 有唯一瑕點(diǎn) 收斂 TH11.2 收斂 收斂。 Def . 絕對(duì)收斂 收斂； 條件收斂 發(fā)散而 收斂。,比較判別法I（直接比較）,設(shè) 有唯一瑕點(diǎn) （1）若 ，當(dāng) 時(shí)， 則 收斂 收斂； （2）若 ，當(dāng) 時(shí)， 則 發(fā)散 發(fā)散。,比較判別法II（用極限比較）,設(shè) 有唯一瑕點(diǎn) 且

10、 （1）若 ，則 收斂 收斂； （2）若 ，則 發(fā)散 發(fā)散。,比較判別法III（與 比較）,設(shè) 有唯一瑕點(diǎn) （1）若 則 收斂； 若 則 發(fā)散。 （2）若 則 時(shí) 收斂， 時(shí) 發(fā)散。,設(shè) 有唯一暇點(diǎn),(Dirichlet) (Abel),習(xí)題( P.64 ),1. 2. (1) (3) (9) (11) (12) 3. (1) (7) 4. (2) 5. (1),第十二章 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),對(duì)于非初等函數(shù)，我們通?？梢詫⒅頌楹瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的形式。在本章中，我們主要研究這類函數(shù)的連

11、續(xù)性，可導(dǎo)性及可積性。,考慮 ， ，定義,和函數(shù)的連續(xù)性，可積性條件,若 在 連續(xù)， 在 一致收斂于 ，則 （1） 在 連續(xù)； （2） 即此時(shí)無窮和與極限，積分均可交換。,和函數(shù)的可導(dǎo)性,若 在 有連續(xù)的微商 ， 在 逐點(diǎn)收斂于 ， 在 一致收斂于 ，則 即此時(shí)無窮和與求導(dǎo)可交換。,第十三章 冪級(jí)數(shù),冪級(jí)數(shù)應(yīng)用非常廣泛，比如：概率統(tǒng)計(jì)的離散型隨機(jī)變量；利息理論（利息理論在化學(xué)，生物，醫(yī)學(xué)，考古，金融，貿(mào)易等諸多領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛）,1 冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂區(qū)域,冪級(jí)數(shù)：形如 的級(jí)數(shù)，其中常數(shù) 稱為冪級(jí)數(shù)的系數(shù)。 Remark： 1. 作平移 后，

12、級(jí)數(shù)可化為 故我們以后只研究形如 的冪級(jí)數(shù)； 2. 冪級(jí)數(shù)必須嚴(yán)格按升冪排序，如 并非冪級(jí)數(shù)。,Abel第一定理,若冪級(jí)數(shù) 在點(diǎn) 處收斂，則當(dāng) 時(shí)， 絕對(duì)收斂；若 在點(diǎn) 處發(fā)散，則當(dāng) 時(shí)， 發(fā)散。,收斂半徑,Th 13.2對(duì)任意冪級(jí)數(shù) 在 時(shí)絕對(duì)收斂，在 時(shí)發(fā)散，稱此 為 的收斂半徑。 Th 13.3 若 滿足 則 的收斂半徑 （約定： ）,習(xí)題( P.98 ),1. (6) (8) (9) (10) (11) (14) (16),2冪級(jí)數(shù)的性質(zhì),（Abel 第二定理） 設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑 ，有 （1）

13、 冪級(jí)數(shù)在 一致收斂； （2）若冪級(jí)數(shù)在 收斂，則冪級(jí)數(shù)在 一致收斂； （3）若冪級(jí)數(shù)在 收斂，則冪級(jí)數(shù)在 一致收斂。,冪級(jí)數(shù)的連續(xù)性，可導(dǎo)性，可積性,設(shè) 的收斂半徑為 ，則 （1） 在 連續(xù)，任意次可微，且逐項(xiàng) 可微，逐項(xiàng)可積。即,且（*），（**）的收斂半徑仍為 。 （2）若 在 時(shí)收斂， 則 在 連續(xù)。,習(xí)題( P.102 ),3. (1) (3) (7) (10) 5. (1),3函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開,若冪級(jí)數(shù) 在 收斂到 ，即 則稱 在 可以展開為冪級(jí)數(shù)。 類似地，若 則稱 在 可以展開為冪級(jí)數(shù)。,冪級(jí)數(shù)展開的唯一性,(1) 若

14、 在 可展開為冪級(jí)數(shù) 則 (2) 若 在 可展開為冪級(jí)數(shù) 則,通常稱 為 的Maclaurin級(jí)數(shù)， 為 在 點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)。,Recall,若 在 無窮次可微，則有 Taylor 公式 其中,冪級(jí)數(shù)展開的條件,（充要條件） （必要條件） 無窮次可微 （充分條件）若 的各階微商在 一致有界，即 則,常用Taylor級(jí)數(shù),Question,對(duì)于展式（ N ） 證明：當(dāng) 時(shí)，收斂域 ； 當(dāng) 時(shí)，收斂域 ； 當(dāng) 時(shí)，收斂域?yàn)? 。,習(xí)題( P.110 ),1. (1

15、) (2) (8) (10) (14) 3. (1) (4) 4.,第十四章 傅立葉級(jí)數(shù),Fourier級(jí)數(shù)是Fourier在研究熱學(xué)時(shí)引入的，現(xiàn)今在光學(xué)，電磁學(xué)，輻射等方面已必不可少，另外，在近代概率論，分形理論中也有重要的應(yīng)用。,1三角級(jí)數(shù)與傅立葉級(jí)數(shù),我們嘗試將 展為 因?yàn)? ， 均以 為周期，故我們先討論以 為周期的 。 命題 1若 周期為 ，則對(duì)任意的 ，有,三角函數(shù)系,Def.三角函數(shù)系為集合 Th 14.1三角函數(shù)系中任意兩個(gè)不同函數(shù)的乘積，在區(qū)間 上的積分為 0 ，即,函數(shù)空間的直角坐標(biāo)系,于是，倘若我們?cè)谀愁愐? 為周期的函數(shù)空間中定義內(nèi)積 ，使對(duì)任意的以

16、 為周期 的函數(shù) ， ，有 則三角系中的函數(shù)是兩兩正交的。 留意到 我們可以把三角函數(shù)系單位化，使之成為某類函數(shù)空間的單位正交系，如下,究竟是什么函數(shù)空間的直角坐標(biāo)系呢？,三角級(jí)數(shù)的唯一性 若 為該函數(shù)空間的一函數(shù)，即有表式 并不妨設(shè)右邊三角級(jí)數(shù)在 一致收斂，則,于是，為了讓所有 ， 都可定義，則 必須在 可積；倘若 有瑕點(diǎn)，則 必須絕對(duì)收斂。我們把滿足以上條件的 稱為在 絕對(duì)可積，記為 。,Def 14.1,設(shè) 以 為周期，且 。則由公式 所定義的 ， ，稱為 的Fourier系數(shù)，稱 為 的Fourier級(jí)數(shù)，記為,Remark,

17、并不意味著,后者成立包含兩重意思：右邊級(jí)數(shù)收斂且收斂于,前者僅表示 的Fourier級(jí)數(shù)為右邊級(jí)數(shù)，而右邊級(jí)數(shù)甚至可能不收斂。,習(xí)題( P.118 ),2. (1) (4) (5) (8) (10) 3.,2傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性,Def 稱 在 逐段可微，若 可分為有限個(gè)區(qū)間 ，使得 在每個(gè)開區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，而在區(qū)間的端點(diǎn)有左右極限 （在 點(diǎn)只有右極限，在 點(diǎn)只有左極限），且對(duì)任意 下兩極限存在：,設(shè) 以 為周期， ，且在 滿足 階Lipschitz條件，即存在 與常數(shù) ，使得 則 的Fourier級(jí)數(shù)在 收斂

18、到 。,Lipschitz判別法,Corollary 1設(shè) 以 為周期， 且在 有左右導(dǎo)數(shù) ， ，則 的Fourier級(jí)數(shù)在 收斂到 。,設(shè) 以 為周期，且在 逐段可微，則 的Fourier級(jí)數(shù)在 的連續(xù)點(diǎn)收斂到 ，在 的不連續(xù)點(diǎn)收斂到,Th 14.5,1875年，Weierstrass構(gòu)造了第一個(gè)處處連續(xù)而處處不可微的函數(shù)： 其中 為正奇數(shù)， ，滿足,Example:設(shè) 以 為周期，且,則,Th 14.6（Fourier級(jí)數(shù)逐項(xiàng)可積性）,設(shè) 以 為周期，且在 內(nèi)除有限個(gè)可去間斷點(diǎn)或第一類間斷點(diǎn)外是連續(xù)的，且 則（1） 收斂； （2） R，有,習(xí)題( P.

19、140 ),1. (2) 2.,3 任意區(qū)間上的傅立葉級(jí)數(shù),設(shè) 以 為周期，且 。則由公式 所定義的 ， ，稱為 的Fourier系數(shù)，稱 為 的Fourier級(jí)數(shù)，記為,對(duì)于只定義于 的函數(shù) ，若令 則化為定義于 上的 了。 故下面我們只討論定義于 的 。,偶延拓,令 及 可將 延拓為 上的以 為周期的偶函數(shù) 。 Remark：若 在 連續(xù)，則 在 連續(xù)。,余弦級(jí)數(shù),則 其中 Remark：若 在 逐段可微，則 （在 的不連續(xù)點(diǎn) ，上式理解為 ） 限制回 ，得,奇延拓,令 及 可將 延拓為 上的以 為周期

20、的函數(shù) 。 Remark：若 在 連續(xù)，則只有當(dāng) 時(shí)， 在 連續(xù)。,正弦級(jí)數(shù),則 其中 Remark：若 在 逐段可微，則 （在 的不連續(xù)點(diǎn) ，上式理解為 ，特別地 ） 限制回 ，得,習(xí)題( P.146 ),6.,第十五章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性,1平面點(diǎn)集,在直角坐標(biāo)系中，平面上的每一個(gè)點(diǎn) 可以與一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì) 一一對(duì)應(yīng)，其中 分別為 的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)。 平面上兩點(diǎn) ， 間的距離定義為 它滿足 （1） （2） （3） （三角不等式）,集合,平面上的所有滿足性質(zhì)（P）的點(diǎn)所組成的集合可表為： 如： 的 圓鄰域：

21、 的 方鄰域： 的 空心圓鄰域： 的 空心方鄰域：,設(shè) 為平面點(diǎn)集,（1）內(nèi)點(diǎn)：,（2）外點(diǎn)：,（3）邊界點(diǎn)：,（4）聚點(diǎn)：,性質(zhì),,,,Question,,,,集合的拓?fù)漕愋?,,,,,Question,,請(qǐng)判斷下列集合的類型：,Def 15.1,設(shè) 為平面點(diǎn)集，其中 則,Cauchy收斂原理,點(diǎn)列 收斂,致密性定理,Def 15.2點(diǎn)集 有界,性質(zhì)：點(diǎn)列 有界 有界 .,Th 15.2有界點(diǎn)列必有收斂子列。,矩形套定理,設(shè) 為平面上的閉矩形套序列，滿足： 則 即,Borel有限覆蓋定理,Th 15.4設(shè) 為平面上的有界閉集， 為 的覆蓋，則 中存在有限開集,Def 15.3設(shè)

22、為開集族，稱 為集合 的覆蓋，若 即,Question,,Borel有限覆蓋定理表示 有界閉集是緊致的。請(qǐng)問： 有界與閉，兩個(gè)條件都是 必不可少的嗎？,習(xí)題( P.164 ),2. 3. 4.,P.165.3 (6),,2 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性,Def 15.4設(shè) 為平面點(diǎn)集， 為對(duì)應(yīng)關(guān)系，使 ，按對(duì)應(yīng)關(guān)系 ，有唯一實(shí)數(shù) 與之對(duì)應(yīng)，則稱 為定義于 上的二元函數(shù)，記為 稱 為函數(shù) 的定義域， 為 的自變量， 為因變量， 為 的值域。習(xí)慣上記為 或 稱 為函數(shù) 的圖形。,橢圓拋物面,錐面,半球面,雙曲拋物面（馬鞍面）,雙曲拋物面（馬鞍面）,平面,如此類推,元函數(shù) 是指從集合

23、 到R中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。,二元函數(shù)的極限,Def 15.5設(shè) 在 某空心鄰域有定義， 為某確定常數(shù)。若 當(dāng) 則 稱 為 在 的極限，記為 或,Remark 在 某空心鄰域有定義，可減弱為 為 定義域的聚點(diǎn)。,的等價(jià)定義,Remark,,Heine定理,設(shè) 在點(diǎn) 某空心鄰域 有定義，則 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于 中的點(diǎn)列 ，若 ，必有,累次極限,我們考慮兩種特別的路徑。 設(shè) 在 某空心鄰域有定義。先固定 ，令 ，若 存在，記為 再令 ，若 存在，記為 ，則稱 為 先對(duì) 后對(duì) 的累次極限，記作 類似可定義， 先對(duì) 后對(duì) 的累次

24、極限,Question,,請(qǐng)判斷以下推斷是否正確：,全面極限與累次極限的關(guān)系,反之不然 .,（2）Th 15.6若,二元函數(shù)的連續(xù)性,Def 15.6設(shè) 定義域?yàn)?， 則 在 點(diǎn)連續(xù),Th 15.7（復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性）設(shè) 在 連續(xù)， 在 連續(xù)， 則 在 點(diǎn)連續(xù)。,介值定理及一致連續(xù),（介值定理）若 在區(qū)域 上連續(xù)， 則 滿足,（介值定理）若 在 上連續(xù)，則 將 中的連通集映為R中的連通集.,（一致連續(xù)）稱 在集合 上一致連續(xù)，若 當(dāng) 時(shí)，,有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),（有界性定理）若 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則 在 上有界。

25、,（最值定理）若 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則 在 上可達(dá)到最大值和最小值。,（一致連續(xù)性定理）若 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則 在 上一致連續(xù)。,習(xí)題( P.177 ),1. (1) (3) 2. (3) (4) (5) (6) (12) (14) 3. (1) (2) (4) (8) 7. (1) (3) (4) (6) (7),第十六章 偏導(dǎo)數(shù)與全微分,1 偏導(dǎo)數(shù)與全微分的概念,1.偏導(dǎo)數(shù),Def 16.1設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域有定義。將 固定為 ，若 存在，則稱該極限值為 在 處關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)，或偏微商，記作 或 類似地，若 存在，則稱之為 在 處關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)，或 偏微商

26、，記作 或,幾何意義,求偏導(dǎo) 的方法,（2）將 代入 中，再求,（1）將 看作常數(shù)，將 對(duì) 求導(dǎo)， 求出 ，再將 點(diǎn)代入；,（3）一個(gè)小技巧：利用變?cè)男D(zhuǎn)對(duì)稱性。,連續(xù)與偏導(dǎo)的關(guān)系,Q1：若 均存在，那么 一定在 連續(xù)嗎？,Q2：若 在 連續(xù)，那么 一定存在嗎？,兩者均不然。 Remark： 分別反映了 在 方向的變化率，而連續(xù)性反映的是 在所有方向上的性質(zhì)。,2.全微分,Def 16.2設(shè) 在 的某鄰域有定義。若 的全增量 在 可表為 其中 只與 有關(guān)，而與 無關(guān)， 則稱 在 點(diǎn)可微，并稱 為 在 點(diǎn)的全

27、微分，記作 即 若 在區(qū)域 內(nèi)任一點(diǎn)可微，稱 在 內(nèi)可微。,,Remark (1) 即 為 的線性主要部分 .,(2) 可表為 其中,3. 連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間的關(guān)系,Th 16.1若 在 點(diǎn)可微， 則 在 連續(xù)。,Th 16.2若 在 點(diǎn)可微，則 ， 存在，且,特別地，對(duì)于 ，,連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間的關(guān)系,Question 若 存在，則 是否一定在 可微呢？,更一般地，對(duì)于 元函數(shù) 若可微，則,連續(xù)，可導(dǎo)，可微之間的關(guān)系,Th 16.3若 在 某鄰域內(nèi)存在，且在 點(diǎn)連續(xù)，則 在

28、可微。,由 P.194.14，Th 16.3 可減弱為： 若 存在， 在 點(diǎn)連續(xù)，則 在 可微。,利用 ，進(jìn)行近似計(jì)算。,4.高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分,,的二階偏導(dǎo)數(shù)有四個(gè)，分別為：,,同理可定義 的二階以上的偏導(dǎo)數(shù)，如：,等.,往后，以 標(biāo)記在區(qū)域 內(nèi)所有 階偏導(dǎo)數(shù) 均存在且連續(xù)的函數(shù)集合。,Question:若 均存在， 那么是否有,Th 16.4若 均在 連續(xù)，則,Remark:P.194.19 給出了關(guān)于二階偏導(dǎo)可交 換次序的一個(gè)條件更弱的結(jié)果，請(qǐng)大家自行證明。,高階全微分,對(duì)于,若 均連續(xù)，有,形式上，可記為,類似地，若

29、 則,習(xí)題( P.193 ),4.5. (1) 8.15. 16. (1)18.,2復(fù)合函數(shù)微分法,Th 16.5（復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t） 設(shè) ， 若 在點(diǎn) 的所有偏導(dǎo)存在，又 在 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 可微，則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且,隱函數(shù)微分法我們將在下一節(jié)介紹空間曲線，曲面的幾何特征時(shí)捎帶在予介紹。,Remark,（1） 可用樹表為： 其中，每個(gè)變?cè)傻闹c(diǎn)為此變?cè)蕾嚨乃凶冊(cè)?。那么?為由 至 的所有路徑之和。,,,,,,,Remark,（2） 在 可微條件必不可少.,（3） 類似地，對(duì)于 ，有,復(fù)合函數(shù)的全微分,（1）一階全微分的形式不

30、變性.即無論 為中間變?cè)蜃罱K變?cè)瑢?duì) 都有,性質(zhì):,（2）二階全微分無形式不變性.若 為最終變?cè)?，則 ；若 為中間變?cè)?，一般?（3）求偏導(dǎo)的微分法,習(xí)題( P.208 ),1. (2) (5) 9.,3幾何應(yīng)用,,,,1.空間曲線的切線與法平面,過 點(diǎn)，垂直于 的平面 方程為：,Recall 過 點(diǎn)，平行于 的直線 方程為：,當(dāng) 時(shí)，直線 意味著 即直線方程為,Assumpsit,設(shè)空間曲線 為 上一點(diǎn)。,,,,,,,,,,,,,,,,,以參數(shù)方程給出的曲線,可見，曲線 在 點(diǎn)的切方向 平行于,又因?yàn)? 平行于 ，故 平行于,于是，曲

31、線 在 點(diǎn)的切線方程為,以兩曲面交線給出的曲線,設(shè)空間曲線 為 上一點(diǎn)。 設(shè)上方程組在 的某鄰域內(nèi)能確定可導(dǎo)的函數(shù)組 滿足 則 在 點(diǎn)的切向量為,2.空間曲面的切平面與法線,,Recall 若空間曲面 在 處切平面的法向量為 則曲面在 的 切平面方程為 法線方程為,于是，我們只需求出法向量,（1）若曲面隱函數(shù)方程為 則,,特別地，若曲面顯函數(shù)方程為 則,（2）若曲面參數(shù)方程為 則,習(xí)題( P.217 ),1. (3) 6.,4方向?qū)?shù),Def設(shè) 在 點(diǎn)的某鄰域有定義. 為以 為起點(diǎn)的射線， 且落在 的定義域上.若 存在，則稱之為 在 點(diǎn)沿方向 的方向?qū)?shù)，記為

32、 稱為 在 點(diǎn)沿 方向的增量.,三維空間的模型,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Th 16.6,若函數(shù) 在 可微，則 在點(diǎn) 沿任何方向 的方向?qū)?shù)都存在，且在 點(diǎn)，有 其中 為 的方向余弦.,若記 稱為 的梯度（gradient），或記作 則（*）可用內(nèi)積表為,二維空間的模型,,,,,,,,,,習(xí)題( P.220 ),3. (2) 5.,5泰勒公式,Recall若 在 點(diǎn)某鄰域有 階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有 Taylor 公式 其中 稱為 Lagrange 余項(xiàng).,Th 16.7 （泰勒定理）,設(shè) 在 點(diǎn)某鄰域 有直到 階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì) 內(nèi)任一點(diǎn)

33、，存在 ，使 其中,,explain,于是， 在 點(diǎn)的 Taylor 公式亦可表為：,其中,此結(jié)果可推廣于任意的 元函數(shù)中，如下：,在 點(diǎn)的 Taylor 公式為：,其中,求Taylor公式的方法,（1）定義法；（可用于求Lagrange余項(xiàng)，但 很大時(shí)運(yùn)算量非常大） （2）利用Taylor公式的唯一性.（見P.223.5.）（運(yùn)算量較小，但只能用于求Peano余項(xiàng)） 將 表為 其中， 為關(guān)于 的 階多項(xiàng) 式，則上式便為 在 點(diǎn)帶Peano余項(xiàng)的Taylor公式.,習(xí)題( P.223 ),1. (1) 2. 4. (1) (2),第十七章 隱函數(shù)存在定理,1 單個(gè)方程的情

34、形,,Question是否可在 點(diǎn)附近確定隱函數(shù) ，使 ？,同樣地，在 附近，可確定,在 附近，可確定,而在 附近，又如何？,無法確定。,如在 附近，,可確定,Question對(duì)于一般的 是否可在 點(diǎn)附近確定隱函數(shù) ，使,當(dāng)然，首先必須要有 ，否則，在 點(diǎn)的充分小的鄰域內(nèi)，可能與曲線 并不相交.,其次，為了保證能確定有隱函數(shù)，必須要保證曲線在此鄰域內(nèi)，每一個(gè) 只能對(duì)應(yīng)于一個(gè) .,Th 17.1設(shè) 滿足下列條件： (i) 在 上連續(xù)； (ii) （通常稱為初始條件）； (iii) 則 (i) 存在函數(shù) ，定義于 內(nèi)，滿足且 (ii) 在 連續(xù)； (iii) 在

35、有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且,,Th 17.2設(shè) 滿足下列條件： (i) 在 上連續(xù)； (ii) ； (iii) 則 (i)存在 的一個(gè)鄰域 以及在此鄰域內(nèi)定義的函數(shù) ，滿足 且 (ii) 在 內(nèi)連續(xù)； (iii) 在 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,習(xí)題( P.231 ),2. 6.,2方程組情形,在上一節(jié)中，我們知道在某些條件下，我們可以由方程 唯一的確定可微函數(shù),而在本節(jié)中，我們將討論在什么條件下，方程組 可唯一的確定可微函數(shù)組,,Th 17.3設(shè)函數(shù) 和 滿足： （1）在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)，對(duì)各變?cè)幸浑A連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； （2）（初始條件）； （3）令，則 則,（1）在 的某鄰域 內(nèi)

36、，方程組 唯一地確定一組函數(shù) 當(dāng) 時(shí)，，且滿 足及,,（2）均在 內(nèi)連續(xù)； （3）均在 內(nèi)有所有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,Question,對(duì)于映射 在什么條件下有逆映射 使 即,,當(dāng)然，只要 為一一映射即可.,其次，倘若我們把 另表為下方程組,則我們直接由Th 17.3，有,,Th 17.4設(shè)映射 滿足： （1）在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)，對(duì) 有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； （2）； （3）令，則 則,在 的某鄰域 內(nèi)，存在唯一的反函數(shù)組 ，滿足 （1） 且當(dāng) 時(shí)，，及 （2） 在 內(nèi)有所有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，且,一些推論,Cor 1在Th 17.4的條件下，有,Cor 2設(shè)函數(shù)組 在開集 內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且在 內(nèi)

37、 恒不為 零，則由函數(shù)組所定義的映射 的像集 為 平面上的開集.,Cor 3在 Cor 2 條件下，設(shè) 為有界閉集，則它的像集 亦為有界閉集，且 的內(nèi)點(diǎn)映為 的內(nèi)點(diǎn)， 的邊界點(diǎn)映為 的邊界點(diǎn).,,Th 17.5設(shè)有 個(gè) 元函數(shù) ，滿足： （1）在點(diǎn) 的某鄰域 內(nèi)，對(duì)各變?cè)羞B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)； （2） （3）令 ，則 則,（1）在 的某鄰域內(nèi)，方程組 唯一地確定一組函數(shù) 它們定義于的某鄰域 內(nèi)，使 且當(dāng) 時(shí)，,,（2）均在 內(nèi)連續(xù)； （3）均在 內(nèi)有所有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,習(xí)題( P.239 ),1. 2. (2) 7. （ 只求 ）,第十八章 極值與條件極值,1 極值與最小二乘法,1.多元函數(shù)

38、的極值,Def 18.1設(shè)函數(shù) 在 的某鄰域 內(nèi)有定義.若 ， ，則稱 在 點(diǎn)取得極大值，點(diǎn) 稱為 的極大值點(diǎn).若 ， ，則稱 在 點(diǎn)取得極小值，點(diǎn) 稱為 的極小值點(diǎn).,Exam 有極小值點(diǎn) （事實(shí)上，為嚴(yán)格極小值點(diǎn)及最小值點(diǎn)）； 的極小值點(diǎn)為 平面上的任一點(diǎn)（均為非嚴(yán)格極值點(diǎn)）.,,若 有一極值點(diǎn) ，則取定 后， 亦有一極值點(diǎn) ， 故由一元函數(shù)取極值的必要條件，我們有,Th 18.1 （極值的必要條件） 設(shè) 為 元函數(shù)， 則,Question：以下論斷是否正確？,,,,,極值的充分條件,我們嘗試?yán)枚涡蛯?duì)極值的充分條件進(jìn)行研究.,Th設(shè)

39、 為 元函數(shù)，在 附近有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ，則 （1）當(dāng) 正定時(shí)， 為 嚴(yán)格極小點(diǎn)； （2）當(dāng) 負(fù)定時(shí)， 為 嚴(yán)格極大點(diǎn)； （3）當(dāng) 不定時(shí)， 非 極值點(diǎn)； （4）當(dāng) 半正定或半負(fù)定時(shí)，無法確定.,解釋 I,當(dāng) 時(shí)，即 滿足 ，則 （1）當(dāng) 時(shí)， 為 嚴(yán)格極小點(diǎn)； （2）當(dāng) 時(shí)， 為 嚴(yán)格極大點(diǎn)； （3）當(dāng) 時(shí)，無法確定.（ 即 Th 5.11 ）,若記 則,由 Taylor 公式，,解釋 II,當(dāng) 時(shí)，即 滿足 ，,記 則,（1）當(dāng) 時(shí)， 為 嚴(yán)格極小點(diǎn)； （2）當(dāng) 時(shí)， 為 嚴(yán)格極大點(diǎn)； （3）當(dāng) 時(shí)， 非 極值點(diǎn)； （4）當(dāng) 時(shí)，無法確定. （

40、即 Th 18.2 ）,,最小二乘法,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,實(shí)驗(yàn)中，我們得到了一組數(shù)據(jù)： 我們希望用一條曲線來表示間的關(guān)系.,比如說，當(dāng)這些數(shù)據(jù)大致位于一條直線上時(shí)，我 們就希望用直線 來表示 間的關(guān)系.,當(dāng)然，我們希望這條直線的近似程度 是最好的，亦就是說，誤差是最小的. 那么，誤差應(yīng)該怎么衡量呢？,比如，如圖的擬合結(jié)果中， 點(diǎn) 到直線 的距離為,，此值便可視為 該測(cè)量值與擬合值之間的誤差.,,而對(duì)于擬合中產(chǎn)生的總誤差，我們可以用下列的函數(shù)來表示：,于是，擬合曲線問題就化成了求 ，使 取得最小值.,,由于 中含絕對(duì)值，對(duì)其進(jìn)行微分時(shí)很不方便，故我們一般討論

41、，便是我們將要介紹的最小二乘法了.,記,考慮,,即,從中解得唯一解 .,又由 的表達(dá)式，我們知道 必有最小值，故其唯一穩(wěn)定點(diǎn)便是 的最小值點(diǎn).,于是，最佳擬合曲線為,最小二乘法的不足之處,最小二乘法中，在平方后誤差將被夸大，當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)異常時(shí)，將導(dǎo)致擬合曲線與真實(shí)曲線誤差較大.,故在使用最小二乘法前，必須先進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，剔除出異常數(shù)據(jù).,倘若數(shù)據(jù)分析后效果仍不理想，那就只好求 的最小值點(diǎn)了.此法亦稱為最小一乘法.,最值問題,求定義于 上的函數(shù) 的最值的步驟： （1）求出 的所有穩(wěn)定點(diǎn)，偏導(dǎo)數(shù)不全存在的點(diǎn)， 的邊界點(diǎn)； （2）求出在上述點(diǎn)中函數(shù)值（倘若邊界點(diǎn)為不可達(dá)點(diǎn)，如 ，奇點(diǎn) 等，以極限

42、值作為邊界值，倘若連極限都不存在，則須討論在邊界上的變化趨勢(shì)）； （3）比較上述值，最大者即為 的最大值，最小者即為 的最小值.,習(xí)題( P.249 ),1. （2）（6） 2. 6. 9.,2 條件極值及Lagrange乘數(shù)法,我們?cè)谇蠛瘮?shù) 在區(qū)域 上的最值時(shí)，免不了要討論 在 的邊界 上的最值，亦即是說，求 限制在條件 上的最值. 本節(jié)我們將討論函數(shù)限制在某些條件下的極值.,法一：將條件代入函數(shù)中，求無條件極值；,法二： Lagrange乘數(shù)法，又稱為 乘數(shù)法.,例：求 在條件 下的極值，其中均一階可微，,Solution:由 可由 確定函數(shù)將之代入 ，有,故 在條件 下的穩(wěn)

43、定點(diǎn)滿足,即,若記,則 在條件 下的穩(wěn)定點(diǎn)滿足,若記,則 的穩(wěn)定點(diǎn)恰好亦滿足上方程組.,于是，求 在條件 下的穩(wěn)定 點(diǎn)，等價(jià)于求 的無條件穩(wěn)定點(diǎn).,求出穩(wěn)定點(diǎn) 后，再通過討論 的正定性， 可判別 是否為極值點(diǎn).( P.259.11 ),當(dāng)然，亦可以事實(shí)為籍口.,一般地，,求 在條件 下的穩(wěn)定點(diǎn)，可化為求下函數(shù)的穩(wěn)定點(diǎn)：,即求解下方程組：,習(xí)題( P.258 ),1. （4）（5） 2.,第二十章 重積分,1 重積分的概念,例：求曲頂柱體的體積,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,如圖， 為定義于有 界閉區(qū)域 上的非負(fù)連續(xù) 函數(shù).求以 為頂， 為底的曲頂柱

44、體的體積,Solution:將 任意劃分為：,則相應(yīng)地柱體 亦劃分為 個(gè)分別以 為底， 為高的柱體,,并記,則當(dāng) 充分小時(shí)， 可近似視為以 為底， 為高的長(zhǎng)方體，故,于是，,且當(dāng)，上式的誤差將趨于零，,即,結(jié)合書中關(guān)于求非均勻薄板質(zhì)量的例子，我們發(fā)現(xiàn) 在這兩個(gè)問題中，都體現(xiàn)著一種邏輯思維方式： 分割近似求和取極限. 我們將之進(jìn)行數(shù)學(xué)化， 便得到了一個(gè)重要的數(shù)學(xué)方法：重積分.,Def 20.1,設(shè) 定義于有界閉區(qū)域 上.將 任意劃分為： （ 亦用以表示該小區(qū)域的面積） 記 若 存在，則稱 在 上可積，并稱該極限值為 在 上的二重積 分，記為或，即 若上極限值不存在，則稱 在 上不可積.,性

45、質(zhì),幾何意義 表示以 為頂， 為底的曲頂柱體的體積的代數(shù)和.,可積性條件有界閉區(qū)域上的分片連續(xù)的有界函數(shù)可積.,線性若 ， 均在 上可積，則,積分區(qū)域的可加性若 在上可 積， 則,,單調(diào)性若 ， 均在 上可積，且 若 則,絕對(duì)值不等式若 在 上可積，則 在 上絕對(duì)可積，且,對(duì)稱性設(shè) 在 上可積， 關(guān)于 軸對(duì)稱，（1）若 關(guān)于 為偶函數(shù)，則 （2）若 關(guān)于 為奇函數(shù)，則,積分中值定理若 在有界閉區(qū)域 上連續(xù)，記為 的面積，則存在,三重積分,類似地，在有界閉區(qū)域 上的三重積分 定義為： 其中， 為 的任意分割， 為 上任意一點(diǎn)，,而二重積分所有基本性質(zhì)均可直接推廣到三重積分上.,

46、2重積分化累次積分,先考慮有界閉區(qū)域 上的連續(xù)函數(shù) ，并不妨設(shè) .,若 由兩直線 及兩連續(xù)曲線圍成，其中,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,對(duì) 任意劃分為：,則相應(yīng)地，曲頂柱體 被 個(gè)平面 分割 成了 個(gè)小曲頂柱體，記該柱 體被 截出的截面面積為,當(dāng) 充分小時(shí)，第 個(gè)小曲頂柱體 可近似視為 以 為底， 為高的柱體， 故,,,其中，,因?yàn)? 在 連續(xù)，故可積，所以,即,,,,,更一般地，我們有：,Th 20.2設(shè) 為 上的連續(xù)函數(shù)， 在 上可積，則,同樣地，若 為 上的連續(xù)函數(shù)， 在 上可積，則,,,,,,,,,,Remark:,,,,若 不可表為上兩類型時(shí)，

47、,可加入輔助線，將 分割為若干上類型的小區(qū)域，再在每個(gè)小區(qū)域上化為累次積分.,確立積分限時(shí)，必須先作出的圖形以獲得最直觀的認(rèn)識(shí). 并注意外層積分限必須為常數(shù)，而內(nèi)層積分限必須關(guān)于內(nèi)層積分變?cè)獮槌?shù)，且上限須不小于下限.,積分次序的選取，對(duì)運(yùn)算的繁簡(jiǎn)影響很大，選擇不當(dāng)甚至導(dǎo)致無法積出.,利用對(duì)稱性以簡(jiǎn)化運(yùn)算.（奇偶性，變?cè)男D(zhuǎn)對(duì)稱性）,三重積分化累次積分,（1）若,則,,,,,,,,,,（2）若,則,,,,,,,,,,,,,,習(xí)題( P.312 ),1. （4） 5. （3）（7） 6. 8. （1）（2） 10.（3）,3重積分的變量代換,Th 20.3設(shè)變換,將平面上有逐段光滑的閉曲線圍成

48、的區(qū)域 一一的映射為平面的區(qū)域 ，,則,類似地，對(duì)于三重積分，由以下變量代換：,常用變換,極坐標(biāo)變換,,,,,,其中 為 的模， 為由 軸至 的有向角.,適用情形被積函數(shù)含項(xiàng)，或積分區(qū)域?yàn)榄h(huán)形，扇形區(qū)域等.,例：求,Solution:,,記,則,記,則,,,,,,,,對(duì) 使用極坐標(biāo)變換，有,同理，,上式三邊同時(shí)令，有,再同時(shí)令，則,常用變換,廣義極坐標(biāo)變換,則,柱坐標(biāo)變換,球坐標(biāo)變換,,,,,,,,,,,,,廣義球坐標(biāo)變換,其它變換,目的是希望變換后將被積函數(shù)變得簡(jiǎn)單， 或使不規(guī)則區(qū)域化為規(guī)則區(qū)域，如矩形區(qū)域.,習(xí)題( P.331 ),2. （1） 4. （3） 5. （5） 7. （1）

49、9. （4）,4曲面面積,先考慮空間曲面,將 任意分割為： 相應(yīng)地， 被分割為 記,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在每個(gè) 上取定一點(diǎn) ，過 做 切平面，并設(shè)此切平面限制于 上的面積為 于是,則當(dāng) 充分小時(shí)，每個(gè) 可近似視為平面.,,設(shè) 與 所成二面角為 ， 的法向量 的方向余 弦為 為由 軸至 的有向角. 則由立體幾何知識(shí)可知， 與 相等或互補(bǔ)，于是,Recall,,,則,其中,為一垂直于 的向量，其長(zhǎng)度為以 為邊的平行四邊形的面積，并且 構(gòu)成右手系.,,,,,,若曲面參數(shù)方程為,,若記,則,由 不妨設(shè) 同上討論可知， 的面積元 滿足：,總之，不管 方程如何給出，總有,又由

50、上一節(jié)，我們知道,曲面面積公式的改進(jìn),記,則,,,,Q: 空間曲線的長(zhǎng)度，既可由其外切多邊形的邊長(zhǎng)近似，亦可由其內(nèi)接多邊形邊長(zhǎng)近似；那么，空間曲面的面積，是否可由其內(nèi)接多面體的表面積近似呢？,例1求 被 所截出的曲面 的面積.,Solution:,限制區(qū)域：,以參數(shù)方程表示，為,即,或,習(xí)題( P.338 ),1. （1） 2.,第二十一章 曲線積分與曲面積分,1 第一型曲線積分與曲面積分,1. 第一型曲線積分,例：求非均勻曲線的質(zhì)量.,設(shè)空間曲線 ，其端點(diǎn)分別為,其密度函數(shù)為,,,,,,,,,,,,將 由 至 依次插入分點(diǎn),,第 段弧的長(zhǎng)度記為為上任一點(diǎn)，,則當(dāng) 充分小時(shí)， 的質(zhì)量,,,,,

51、,,故 的總質(zhì)量,令 則,一般地，我們有,Def 21.1設(shè)空間曲線 可求長(zhǎng)，其端點(diǎn)分別為 定義于 上. 將 由 至 依次插 入分點(diǎn) 第 段弧 的長(zhǎng)度記 為 為 上任一點(diǎn)， 若極限 存在，則稱之為 在 上的第一型曲線積分，記為,,,性質(zhì),可積性條件若 分段光滑， 在 上分段連續(xù)， 在 上有第一型曲線積分.,線性若 均在 上有第一型曲線積分，則,積分曲線的可加性若 可分割為 ，且 在上有第一型曲線積分，則,,,,,單調(diào)性若 均在 上有第一型曲線積分，且在 上恒有 則,絕對(duì)值不等式若 在 上有第一型曲線積分，則 在 上有第一型曲線積分，且,對(duì)稱性設(shè) 在 上有第一型曲線積分， 關(guān)于 面對(duì)稱，

52、（1）若 關(guān)于 為偶函數(shù)，則 （2）若 關(guān)于 為奇函數(shù)，則,積分中值定理若 在 上連續(xù)，記為 的弧長(zhǎng)，則存在,Th 21.1,設(shè) 為光滑曲線：,在 上連續(xù)，則 在 上的第一型曲線積分存在，且,Remark:(1)對(duì)曲線的參數(shù)化選擇，對(duì)積分運(yùn) 算量的繁簡(jiǎn)影響很大； (2)利用對(duì)稱性以簡(jiǎn)化運(yùn)算. （奇偶性，變?cè)男D(zhuǎn)對(duì)稱性）,Def 21.2設(shè) 為空間曲面， 定義于 上. 將 任意分劃為： 記 在每個(gè) 上任取一點(diǎn) 若 存在，則稱之為 在 上的第一型曲面積分，記為,2. 第一型曲面積分,性質(zhì),可積性條件若 分片光滑， 在 上分片連續(xù)， 在 上有第一型曲面積分.,線性若 均在 上有第一型曲面積分，

53、則,積分曲面的可加性若 可分割為 ，且 在上有第一型曲面積分，則,,單調(diào)性若 均在 上有第一型曲面積分，且在 上恒有 則,絕對(duì)值不等式若 在 上有第一型曲面積分，則 在 上有第一型曲面積分，且,對(duì)稱性設(shè) 在 上有第一型曲面積分， 關(guān)于 面對(duì)稱，（1）若 關(guān)于 為偶函數(shù)，則 （2）若 關(guān)于 為奇函數(shù)，則,積分中值定理若 在 上連續(xù)，記為 的面積，則存在,,設(shè) 為光滑曲面：,則 其中,所以，,Remark,(1)相應(yīng)地，對(duì)于有 (2)對(duì)曲面的參數(shù)化選擇，對(duì)積分運(yùn)算量的繁簡(jiǎn)影響很大； (3)利用對(duì)稱性以簡(jiǎn)化運(yùn)算. (奇偶性，變?cè)男D(zhuǎn)對(duì)稱性）,習(xí)題( P.356 ),2. （1）（5）（7）

54、3. （1）（4） 4.,,2 第二型曲線積分與曲面積分,Example:設(shè)質(zhì)點(diǎn)在變力作用下，沿空間光滑曲線 從點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)到 .求 對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功.,,,,,,,,,,,,,,,Solution:以順序分點(diǎn)將任意分割為 段.記 的弧長(zhǎng)為,,,則當(dāng) 充分小時(shí)，質(zhì)點(diǎn)從 運(yùn)動(dòng)至 時(shí)， 所作的功,,,,又記,,,,一般地，我們有,Def 21.3設(shè) 為 上的向量函數(shù)， 為由 至 的有向光滑曲線.按 的方向順序用分點(diǎn) 將 分成 個(gè)有向小曲線段， 的弧長(zhǎng)為若極限,,,存在，則稱之為 沿 從 到 的第二型曲線積分，記為或 其中,,,性質(zhì),可積性條件若 分段光滑， 為 上分段連續(xù)的向量函數(shù)，則存在.,線性若

55、 ， 存在，則,積分曲線的可加性,,,,其中,,,,,,,,,Th 21.3設(shè)在 與 間，（可能）為光滑曲線，且 分別對(duì)應(yīng)于 的起點(diǎn)與終點(diǎn)， 在 上連續(xù)，則,（其中為 的切向量）,Proof:依次在間插入分點(diǎn)： 則 相應(yīng)的分割成了 段，設(shè)第 段為記,由 光滑， 時(shí),又由積分中值定理，在 與 間存在 ，使,所以,因?yàn)榫嬖?，故上式兩邊同時(shí)令,立有 同理可證其余部分.,,Remark,（1）兩類曲線積分的關(guān)系設(shè) 的方向余弦為,則,（2）第二型曲線積分的值除了與被積函數(shù)，起點(diǎn)，終點(diǎn)有關(guān)外，一般與積分路徑有關(guān).,（3）一般以 表示積分路徑 為閉曲線.,（4）對(duì)第二型曲線積分使用對(duì)稱性以簡(jiǎn)化運(yùn)算時(shí)

56、，必須考慮 與 所帶方向是否對(duì)稱.建議將第二型曲線積分先轉(zhuǎn)化為第一型積分或定積分或再考慮對(duì)稱性.,,2 流量與第二型曲面積分,,,Question: 是否所有曲面都有兩個(gè)側(cè)面？,Mobius 帶 將環(huán)型帶沿 剪開，扭一下后，再把剪開的邊對(duì)接回.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,在原環(huán)型帶上的任一點(diǎn)處的外法向 ，在帶上不穿過邊緣，保持外法向地任意移動(dòng).,而在Mobius帶上的任一點(diǎn)處的外法向 ，在帶上繞一圈回到原點(diǎn)時(shí)，,可見，原環(huán)形帶有兩個(gè)側(cè)面，而Mobius帶只有一個(gè)側(cè)面.,再回到原點(diǎn)時(shí)，方向保持不變.,方向剛好相反.,,Def設(shè) 為曲面 上任一點(diǎn)， 為 上一法向量，若 在 上不跨越邊緣地

57、連續(xù)移動(dòng)，回到 時(shí)， 的方向不變，則稱 為雙側(cè)曲面；否則稱為單側(cè)曲面.,Recall對(duì)于,則法向 與分別對(duì)應(yīng) 的兩側(cè).,,Example,故 的上側(cè)對(duì)應(yīng)法向,（1）對(duì)于,的下側(cè)對(duì)應(yīng)法向,故 的右側(cè)對(duì)應(yīng)法向,（2）對(duì)于,的左側(cè)對(duì)應(yīng)法向,故 的前側(cè)對(duì)應(yīng)法向,（3）對(duì)于,的后側(cè)對(duì)應(yīng)法向,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Example:河道中，設(shè)每一點(diǎn)的水流速度為，河道中有一雙側(cè)曲面 ，其中一側(cè)的單位法向?yàn)?.求單位時(shí)間內(nèi)水流過此曲面的流量,Solution:將 任意分劃為：,當(dāng) 充分小時(shí)，以 表示在 的流速，以 表示 的法向，,則在單位時(shí)間內(nèi)水流過 的流量可視 為以 為底，

58、為斜邊的柱體的 體積.,,記,的方向余弦為,則,記為,其中 分別表示,且,在 面的有向投影面積.,Def 21.4設(shè) 為光滑的雙側(cè)曲面， 為其中一側(cè)的單位法向量.設(shè) 在 上有定義.將 任意分劃為 分別表示 在面的有向投影面積.若極限,存在，則稱之為 在 上依 方向的第二型曲面積分，記為或 其中,一般地，我們有,性質(zhì),可積性條件若 分片光滑， 為 上分片連續(xù)的向量函數(shù)，則存在.,線性若 ， 存在，則,積分曲面的可加性若 由互不重疊的并成，且 的方向繼承于 的方向，則,其中 為 法向的方向余弦.,兩類曲面積分之間的關(guān)系,Recall對(duì)于,且,,,同理，對(duì)于,（1）對(duì)于,其中，對(duì) 的上側(cè)積分

59、時(shí)取“+”， 對(duì) 的下側(cè)積分時(shí)取“”.,（2）對(duì)于,（3）對(duì)于,其中，對(duì) 的右側(cè)積分時(shí)取“+”， 對(duì) 的左側(cè)積分時(shí)取“”.,其中，對(duì) 的前側(cè)積分時(shí)取“+”， 對(duì) 的后側(cè)積分時(shí)取“”.,習(xí)題( P.376 ),1. （2）（3）（4） 8. （1）（7） 9.,第二十二章 各種積分間的聯(lián)系與場(chǎng)論初步,本章我們將揭示多元函數(shù)中積分與微分的關(guān)系,1各種積分間的關(guān)系,Def若平面區(qū)域 中的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線（指不自交的閉合曲線）的內(nèi)部都包含于 之中，則稱 為單連通區(qū)域，否則稱為多連通區(qū)域.,,,,Exam,單連通；,多連通；,多連通.,,簡(jiǎn)單地說， 為單連通區(qū)域當(dāng)且僅當(dāng) 上的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線都可在

60、內(nèi)縮為一點(diǎn)；,或 內(nèi)不含“洞”或“點(diǎn)洞”.,Th 22.1Green formula,設(shè) 為有界閉區(qū)域，邊界 逐段光滑， 取正向（即 的內(nèi)部總在 方向的左邊），則,Proof: 先分兩種情形證明,(1) 若 可表為,則,,,,,,,,,,,,,,,,(2) 對(duì)于一般的,,,,,,,,可先添加若干條輔助線，使之分劃為若干滿足（1）中條件的小區(qū)域，,,,再在每個(gè)小區(qū)域中使用（1）的結(jié)論即可.,,同理可證 證畢.,Corollary若 為區(qū)域 的正向邊界，則,Remark若對(duì)非閉合曲線使用 Green 公式 ，必須先將曲線閉合化.,Th 22.2Gauss formula,設(shè) 為空間中的有界閉區(qū)域，

61、邊界 為分片光滑的雙側(cè)封閉曲面， 表示外側(cè)， 則,Remark若記定義,稱為 的散度（divergence）.,則 Gauss 公式可表為,,,,,,,,,,,Proof: 先分兩種情形證明,(1) 若 可表為,則 可分為三部分：下底 的下側(cè)，上底 的上側(cè)，側(cè)面 的外側(cè).,且,,(2) 對(duì)于一般的 添加若干輔助曲面，使 分割為若干滿足條件（1）的小區(qū)域之并，再分別在每個(gè)小區(qū)域上使用（1）的結(jié)論即可.,同理再證下兩結(jié)論即可：,Remark若對(duì)非閉合曲面使用 Gauss 公式 ，必須先將曲面閉合化.,Th 22.3Stocks formula,設(shè) 為光滑曲面，帶光滑邊界 ， 與 構(gòu)成右手系， 且

62、 則,,,,,,,Remark若記定義,稱為 的旋度（rotation），其中,則 Gauss 公式可表為,,,,Proof: 先證明,,,,,,,,,,,,,,,,不妨設(shè) 的正向邊界為,（對(duì)于 中無法表為上式的部分，表為 或再行討論）,(Green formula),同理可證：,三式相加，公式得證.,,外微分形式,稱 為 R 的一階外微分形式，其中為 R 中任意函數(shù).,外微分形式的外積 的性質(zhì),（1）線性： 其中 為 R 中任意外微分形式， 為任意實(shí)數(shù)；,為了介紹一般形式的 Stocks formula，我們引入,習(xí)慣上，亦可記為,稱為 R 的二階外微分形式， 其中 為 R 中任意函

63、數(shù).,（注意與以前關(guān)于微分形式乘法的區(qū)別）,（Poincre 引理）,,一般形式的Stokes formula:,Example:,（1） 時(shí)，,（*）,（Newton-Leibniz）,（2）為平面有界閉區(qū)域， 時(shí)，,（*）即（Green）,（*）即,,（3）為空間有界閉區(qū)域，,（Gauss）,（4）為空間帶光滑邊界的光滑曲面，,（Stokes）,（1）在變換 下，,所以，當(dāng) 為面積元時(shí)，,甚至我們還可以通過外微分形式,形式推導(dǎo)積分元的變換公式,,（2）若曲面方程為,所以，面積元,習(xí)題( P.391 ),1. （1）（3） 2. （1） 3. （1）（4） 4.,2積分與路徑無關(guān),Th 2

64、2.4設(shè) 為平面單連通區(qū)域， 則以下四命題等價(jià)： （1）沿 中任一逐段光滑的閉曲線 ，有 （2） 在 內(nèi)與路徑無關(guān)； （3）存在 中的可微函數(shù)使 （4）在 內(nèi)每一點(diǎn)，有,,Remark 滿足條件(3)的 稱為的原函數(shù).,,Corollary若在 內(nèi) 有原函數(shù) 則,,,（1）即使 多連通，仍有,Remark,（3）稱 中使 不成立的點(diǎn)為 的奇點(diǎn).,（4）在單連通的 中，若兩正向閉曲線 均包含一 個(gè)奇點(diǎn),且為同一個(gè)奇點(diǎn),則 并稱此積分值為該奇點(diǎn)的循環(huán)常數(shù).,（5）若閉曲線 環(huán)繞了 個(gè)奇點(diǎn)其中環(huán)繞 正向圈數(shù)與負(fù)向圈數(shù)之差為的循環(huán)常數(shù)為 則,（2）若在 內(nèi) 有原函數(shù) 則,,Th 22.5設(shè) 為

65、空間單連通區(qū)域， 則以下四命題等價(jià)： （1）沿 中任一逐段光滑的閉曲線 ，有 （2） 在 內(nèi)與路徑無關(guān)；（3）存在 中的可微函數(shù)使 （4）在 內(nèi)每一點(diǎn)，有,,,Corollary若在 內(nèi) 有原函數(shù) 則,,,Remark 滿足條件(3)的 稱為的原函數(shù).,且,若路徑允許，亦可表為,,,,,,,,3場(chǎng)論初步,1.梯度場(chǎng)在R 中，記,Recall 對(duì)于R 中的任意方向 記則,對(duì)任意可微函數(shù)稱,為 的梯度（gradient）.,可見，當(dāng) 與同向時(shí)， 取最大值；,當(dāng) 與 反向時(shí)， 取最小值.,亦即是說， 為 增長(zhǎng)速度最快的方向.,,2.散度場(chǎng)設(shè) 為向量函數(shù)，稱,為 的散度（divergence）.,

66、力學(xué)解釋設(shè) 為流速場(chǎng)， 為空間一點(diǎn). 為包含的小區(qū)域，其外側(cè)邊界為 則,在 的總流量為,在 每一點(diǎn)的平均流量密度為,利用 Gauss 公式，積分中值定理，,令則 在 點(diǎn)的流量密度為,設(shè) 為向量函數(shù)，稱,為 的散度（divergence）.,3.旋度場(chǎng),設(shè) 為流速場(chǎng)， 為空間一點(diǎn)， 為單位向量. 為包含 的小曲面，且在 的法向?yàn)?其正向邊界為,則 沿著 的環(huán)流量為,于是， 在 的繞 的環(huán)流量密度為,,,,,力學(xué)解釋,可見， 為 環(huán)流量密度最大的方向.,,力學(xué)解釋二設(shè)剛體以固定角速度 旋轉(zhuǎn)， 為剛體上一點(diǎn)，則在 點(diǎn)的線速度為,可見，梯度、散度、旋度均為物理量，與坐標(biāo)的選取無關(guān).,,,,,,,,二次型為形如下式的 元二次多項(xiàng)式：,或可記為：,其中,附錄：二次型（亦稱為雙線性函數(shù)）,,若記,其中， 為實(shí)對(duì)稱矩陣，即 則上二次型可表為,關(guān)于實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì),若 為實(shí)對(duì)稱矩陣，則 （1） 必有 個(gè)實(shí)特征值，不妨記為 （2）存在正交矩陣 ，使 其中 為正交矩陣，表示 ，即,,于是，在正交變換 下， 稱為 的標(biāo)準(zhǔn)型；,留意到，正交變換 是保長(zhǎng)的，即 所以 即,正定二次型,為正定二次型,