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1、第四章 連續(xù)控制系統(tǒng)的仿真,4.1 仿真模型的結構,1. 面向閉環(huán)系統(tǒng)微分方程(傳遞函數(shù))的數(shù)字仿真,方法：得到系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，再用Z變換法獲得閉環(huán)系統(tǒng)的差分迭代 格式,又稱仿真模型；或者有微分方程組采用數(shù)值積分法、離散相似法離散 成迭代格式后進行仿真。,局限性： 該方法要求用戶上機前事先計算出閉環(huán)傳遞函數(shù)，在多回路系統(tǒng)中具有很 大 的局限性。開環(huán)系統(tǒng)往往有控制器、控制對象等多個環(huán)節(jié)組成，寫出總的閉環(huán)傳 遞函數(shù)后研究某個環(huán)節(jié)的參數(shù)變化對系統(tǒng)品質(zhì)的影響不方便，特別是在多回路系 統(tǒng)中研究小閉環(huán)中某環(huán)節(jié)參數(shù)變化對系統(tǒng)影響更麻煩；系統(tǒng)中含有非線性環(huán)節(jié)就 寫不出閉環(huán)傳遞函數(shù)。,2. 面向系統(tǒng)結構圖的
2、數(shù)字仿真 將系統(tǒng)看作有許多典型環(huán)節(jié)組成，進行仿真時，將各個環(huán)節(jié)的參數(shù)以及各個環(huán)節(jié)的連接方式輸入計算機讓計算機求閉環(huán)系統(tǒng)的數(shù)值解。,4.2 典型環(huán)節(jié)的離散化系統(tǒng)及其差分方程,典型環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、比例積分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、比例微分環(huán)節(jié)、滯 后環(huán)節(jié)等，為了減少仿真系統(tǒng)的環(huán)節(jié)，一般引入二階與三階環(huán)節(jié)。,1. 三階環(huán)節(jié),展開成部分分式：,令,得到狀態(tài)方程為,其中,輸出方程為,其中,（1）,確定狀態(tài)變量的初始值：,由（1）得,（2）,對（1）式兩邊取導數(shù)得,（3）,將 式帶入（3）式,取t=0得,對（3）式兩邊取導數(shù)得,取t=0得,聯(lián)立三式得,狀態(tài)方程標準化，將A、B矩陣代入下式
3、,其中,離散輸出方程為,求初始值的方法2：,（5）,狀態(tài)變量的初始值，可以根據(jù)環(huán)節(jié)在初始狀態(tài)的穩(wěn)態(tài)輸出 和穩(wěn)態(tài)輸入 直接由（5）所給定的參數(shù)確定。,根據(jù),得到,令S=0即t=,根據(jù)（5）得狀態(tài)變量得穩(wěn)態(tài)初始值,2. 滯后環(huán)節(jié),傳遞函數(shù),其中,滯后時間得整數(shù)部分(以采樣周期T為基本單位),滯后時間得小數(shù)部分,取Z變換得,差分方程為,下面分兩種情況討論上式得解法及其程序實現(xiàn)：,（1）a為T的整數(shù)倍（ ）,仿真方法：在內(nèi)存中設置一個區(qū)域，存放輸入U過去的采樣值。該區(qū)域占用 （ ）個單元，從左向右，其編號為0，1，2，， ， 。,每一次計算，首先將該時刻的輸入存入 單元
4、，然后從第一單元取 出，作為該時刻的輸出。最后各單元向左平移一次。,（2） a不為T的整數(shù)倍（ ）,近似處理法：從1號單元和0號單元取出2個數(shù)值并加以差值，得到 采用線性差值法，即假定1號和2號兩個單元之間的數(shù)據(jù)是按線性規(guī)律 變化。,近似公式為：,如 ，即表示,4.3 控制系統(tǒng)結構圖的數(shù)值表示方法,仿真方法：將系統(tǒng)看成是由若干環(huán)節(jié)構成，仿真時先將各典型環(huán)節(jié)的參數(shù) 及各環(huán)節(jié)的連接關系輸入計算機，由計算機程序構成系數(shù)矩陣，再用四階 龍格庫塔方法對構成的狀態(tài)方程進行仿真計算。又稱為連續(xù)系統(tǒng)結構圖 法仿真。,優(yōu)點：由于輸入?yún)?shù)是各環(huán)節(jié)的參數(shù)，可以直接求出各環(huán)節(jié)的輸出，方
5、便 地研究環(huán)節(jié)參數(shù)變化對系統(tǒng)地和環(huán)節(jié)本身的影響，避免了求整體傳遞函數(shù) 的問題。,1. 仿真模型,1）典型環(huán)節(jié)的確定,一個控制系統(tǒng)的結構圖通常由一些不同的環(huán)節(jié)組成，一般常見的環(huán)節(jié)如下：,積分環(huán)節(jié)：,比例積分環(huán)節(jié)：,慣性環(huán)節(jié)：,比例慣性環(huán)節(jié)：,振蕩環(huán)節(jié)：,為了編程的方便，各典型環(huán)節(jié)可用一個典型環(huán)節(jié)來表示。,選定的典型環(huán)節(jié)應具有如下特點： 1）具有典型性，即能用它來描述較多的環(huán)節(jié)類型，保證所編制的環(huán)節(jié)有較大 的通用性。 2）環(huán)節(jié)的結構簡單，用它編制的程序簡單、易于計算。,選定比例慣性環(huán)節(jié)作為典型環(huán)節(jié)。,比例慣性環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù),通過改變系數(shù)可以轉化為其它常用環(huán)節(jié)。,振蕩環(huán)節(jié)的特征方程因式分解后分為三種
6、情況： 1）實根時，用兩個串聯(lián)的慣性環(huán)節(jié)替代； 2）共軛復根時，用兩個串聯(lián)的慣性環(huán)節(jié)加負反饋替代； 3）一般復根時，采用積分環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)串聯(lián)加負反饋替代；,,以,為例，存在特征根1.5+ 和-1.5-,等效環(huán)節(jié)一,,,,等效環(huán)節(jié)二,-,-,2. 傳遞函數(shù)的矩陣表達式,用n個典型環(huán)節(jié)描述n階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)表達式為,將其轉換成一階微分方程組形式為,對每個環(huán)節(jié)列寫出對應的傳遞函數(shù)為,改寫成一階微分方程組形式,矩陣方程形式,其中,C矩陣與D矩陣類似。,A,B,C,D都是nn維的系數(shù)矩陣，u和y分別為輸入與輸出的列向量。,3. 連接矩陣,連接矩陣：就是用矩陣形式表示各個環(huán)節(jié)之間的關系。,,,,
7、,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,+,,,該系統(tǒng)由5個環(huán)節(jié)構成。,,,環(huán)節(jié)之間的連接關系：,寫成矩陣方程形式,向量形式,其中，W為系統(tǒng)的連接矩陣，反映了系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)之間的連接關系，每個元 素 表示系統(tǒng)中第 個環(huán)節(jié)的輸出對第 個環(huán)節(jié)的輸入之間的連接關系。,1表示直接連接；負號表示反饋；0表示沒有直接連接關系。,為外部連接矩陣， 元素表示外加輸入信號 與第 個環(huán)節(jié)輸入 端 的連接關系。,4. 控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程,將,拉氏變換,代入,得到,展開合并得,拉氏反變換得到,令,則,當 的逆矩陣存在時,當輸入函數(shù)是階躍函數(shù)時，在t=0瞬間出現(xiàn)一個無窮大的邁脈
8、沖，方程右 端第三項將趨于無窮大，系統(tǒng)求解不方便。為此，需要增加限制條件，當輸 入函數(shù)為脈沖函數(shù)時使式中的第三項為零。即,令,反映輸入作用函數(shù)與被作用環(huán)節(jié)之間的連接關系，實際上只要限制輸入 作用函數(shù)作用的環(huán)節(jié)的 ，即該環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)不應具有導數(shù)項。,則,令,標準型的狀態(tài)方程。,4.4 非線性系統(tǒng)的仿真,非線性環(huán)節(jié)包括：飽和非線性、分段線性的非線性、失靈區(qū)非線性、間隙非線 性、繼電非線性、具有死區(qū)的繼電非線性、具有滯環(huán)的繼電非線性、具有死區(qū) 和滯環(huán)的繼電非線性。,1. 飽和、分段線性及失靈區(qū)非線性特性,,,,,,,,,表示第一段的斜率， 表示第二段的斜率， 為拐點的橫坐標，,分段線性
9、的非線性特性,數(shù)學描述：,當 時，得到飽和非線性；當 時，得到失靈區(qū)非線性。,,2. 間隙非線性特性,,,,,,,間隙非線性特性,設 為前一次輸入， 為前一次輸出，間隙非線性數(shù)學描述,當,則,系統(tǒng)工作在右邊的特性上。,當,則,系統(tǒng)工作在左邊的特性上。,其他情況,系統(tǒng)工作在中間過渡的特性上。,注意點：存儲本次的輸入與輸出。,,3. 繼電非線性及具有死區(qū)的繼電非線性(略),4. 具有滯環(huán)的繼電非線性,,,,,,,,,具有滯環(huán)的繼電非線性特性,5. 具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電非線性特性,,,,,,,,,,,,,,,具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電非線性特性,4.5 仿真誤差與數(shù)值穩(wěn)定性,仿真誤
10、差和數(shù)值穩(wěn)定性均與計算方法、機器精度、步長的選擇有關。當 計算方法和機器選定以后，則僅僅與步長的選擇有關，所以在仿真中，步 長是一個重要的參數(shù)。,仿真誤差有截斷誤差和舍入誤差兩種。計算步長愈小，截斷誤差也愈 ??；舍入誤差愈大。在實際解決問題時，通常是根據(jù)系統(tǒng)響應的速度由經(jīng) 驗確定。采樣頻率一般可取 。其中 為被仿真 系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的剪切頻率。當系統(tǒng)有小閉環(huán)時， 為反映最快的小閉 環(huán)開環(huán)頻率特性的剪切頻率。,采樣周期取為,原系統(tǒng)穩(wěn)定而仿真結果不穩(wěn)定時原因有兩種： 1）仿真模型本身不穩(wěn)定，當采樣周期大到某一定值后系統(tǒng)不穩(wěn)定； 2）由舍入誤差引起的數(shù)值不穩(wěn)定，它的表現(xiàn)形式也是仿真結果不穩(wěn)定。,設,
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