2019高中數(shù)學 專題強化訓練3 數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 新人教A版選修2-2

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1、 專題強化訓練(三)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 (建議用時：45?分鐘) [基礎(chǔ)達標練] 一、選擇題 1．如圖?32，在復平面內(nèi)，點?A?表示復數(shù)?z，則圖中表示?z?的共軛復數(shù)的點是 ( ) A．A C．C 圖?32 B．B D．D 但在復數(shù)集中不一定成立，如|i|＝?－??＋?? i?，但?i≠－??＋?? i?或??－?? i；D?選項中， 1－i B [設(shè)?z＝a＋bi(a，b∈R)，且?a<0，b>0，則?z?的共軛復數(shù)為?a－bi，其中?a<0，

2、－b<0， 故應(yīng)為?B?點．] 2．已知?a，b∈C，下列命題正確的是( ) 【導學號：31062234】 A．3i<5i B．a(chǎn)＝0 |a|＝0 C．若|a|＝|b|，則?a＝±b D．a(chǎn)2≥0 B [A?選項中，虛數(shù)不能比較大??；B?選項正確；C?選項中，當?a，b∈R?時，結(jié)論成立， ? 1 3?? 1 3 1 3 ? 2 2?? 2 2 2 2 當?a∈R?時結(jié)論成立，但在復數(shù)集中不一定成立，如?i2＝－1<0.] i 3．復數(shù) 的共軛復數(shù)為( ) 2 2 B．??＋??i C．??－??i

3、2 2 D?? [??? ＝ 2?????? 2 2?????????????? 2 2 1 1 A．－?＋?i 1 1 2 2 i 1－i  ＋ －?????＋ 1??1 2??2 1?1 D．－?－?i －1＋i???1??1??????????????1?1 ＝?????＝－?＋?i，共軛復數(shù)為－?－?i.故選?D.] 4．已知?a，b∈R，i?是虛數(shù)單位．若?a＋i＝2－bi，則?(a＋bi)2＝( ) A．3－4i B．3＋4i 1

4、 C．4－3i D．4＋3i A [由?a＋i＝2－bi?可得?a＝2，b＝－1，則(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.] 5．如果復數(shù)(m2＋i)(1＋mi)是實數(shù)，則實數(shù)?m?等于( ) A．1 C.?2 B．－1 D．－?2 B [∵(m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(m3＋1)i?是實數(shù)，m∈R，∴由?a＋bi(a、b∈R)是實 數(shù)的充要條件是?b＝0，得?m3＋1＝0，即?m＝－1.] 二、填空題 6．設(shè)復數(shù)?a＋bi(a，b∈R)的模為?3，則(a＋bi)(a－bi)＝________. 【導

5、學號：31062235】 [解析] ∵|a＋bi|＝?a2＋b2＝?3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3. [答案] 3 7．復數(shù)?z?滿足方程?z?i＝1－i，則?z＝________. i [解析] ∵?z?i＝1－i，∴?z?＝ 1－i ＝ － i·i??＝－i(1－i)＝－1－i，∴z＝－1＋i. [答案] －1＋i 8．若復數(shù)?(－6＋k2)－(k2－4)i?所對應(yīng)的點在第三象限，則實數(shù) k?的取值范圍是 ________． ì?－6＋k2＜0， [解析] 由已知得í ? ?k2

6、－4＞0，  ∴4

7、(1＋i) 2 è 2 ? 2 ＝????3－1 2?????? 2??????? 2??????? 2 3＋1 3－1 3＋1 ＋ i＋ i＋ i2 ＝－1＋?3i. ? 1 3?? 法二：原式＝(1－i)(1＋i)?－?＋ i÷ è 2 2?? ? 1 3?? ? 1 3?? ＝(1－i2)?－?＋ i÷＝2?－?＋ i÷＝－1＋?3i. è 2 2?? è 2 2?? －2???3＋i ? 2?? (－2???3＋i)i ????2??? －2???3＋ è－2i? －????1 (2

8、) ＋??÷?2?014?＝?＋??÷1?007?＝ 1＋2?3i??è1－i????????＋2?3?????????????????i－2?3 i1?007?＝i－ －i 1 ＝i－i＝0. 10．已知復數(shù)?z?與(z＋2)2－8i?均是純虛數(shù)，求復數(shù)?z. 【導學號：31062236】 ì?ab＝0， ì?ab＝0， [解] 設(shè)?z＝bi?(b∈R，b≠0)， 則(z＋2)2－8i＝(2＋bi)2－8i＝(4－b2)＋(4b－8)i， ∵(z＋2)2－8i?為純虛數(shù)， ∴4－b2＝0?且?4b－8≠0.

9、 ∴b＝－2.∴z＝－2i. [能力提升練] 1．設(shè)?z?是復數(shù)，則下列命題中的假命題是( ) A．若?z2≥0，則?z?是實數(shù) B．若?z2<0，則?z?是虛數(shù) C．若?z?是虛數(shù)，則?z2≥0 D．若?z?是純虛數(shù)，則?z2<0 C [設(shè)?z＝a＋bi(a，b∈R)，選項?A，z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，則í ? ?a2≥b2， b z b＝0?或?a，?都為?0，即?z?為實數(shù)，正確．選項?B，2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，則í ? ?a2＜b2， 

10、 故 ì?a＝0， 則í ? ?b≠0，  故?z?一定為虛數(shù)，正確．選項?C，若?z?為虛數(shù)，則?b≠0，z2＝(a＋bi)2＝a2－ ??b≠0，?? 則?z2＝－b2<0，正確．] 2．復數(shù)?z＝???? (m∈R，i?為虛數(shù)單位)在復平面上對應(yīng)的點不可能位于 b2＋2abi，由于?a?的值不確定，故?z2?無法與?0?比較大小，錯誤．選項?D，若?z?為純虛數(shù)，則 ì?a＝0， í m－2i 1＋2i 3

11、 A?? [z＝???? ＝ ＝??[(m－4)－2(m＋1)i]，其實部為??(m－4)，虛部 A．第一象限 C．第三象限 m－2i m－ 1＋2i ＋  － － (????)?【導學號：31062237】 B．第二象限 D．第四象限 1???????????????????????????1 5???????????????????????????5 2 ì?m－4＞0， 5????????? ??－?? m＋?? ＞0. 為－?(m＋1)，由í ì?m＞4 得í ? ?m＜－1.

12、 此時無解．故復數(shù)在復平面上對應(yīng)的點不可能位于第一象限．] 1－?3i 3．已知?i?為虛數(shù)單位，則復數(shù)?z＝ 的虛部為________． 3＋i 1－?3i [解析] z＝ ＝ 3＋i －?3 3＋ － －???＝－i，因此虛部為－1. 5．已知?z，w?為復數(shù)，(1＋3i)z?為實數(shù)，w＝ 且|w|＝5???2，求?z，w. [答案] －1 4．已知復數(shù)?z1＝i(1－i)3，若|z|＝1，則|z－z1|的最大值為________． [解析] ∵|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2?2. 如圖

13、所示，由|z|＝1?可知，z?在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡是半 徑為?1，圓心為?O(0,0)的圓，而?z1?對應(yīng)著坐標系中的點?Z1(2，－2)．所 以|z－z1|的最大值可以看成是點?Z1(2，－2)到圓上的點的距離的最 大值．由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r?為圓半徑)＝2?2＋1. [答案] 2?2＋1 z 2＋i 【導學號：31062238】 [解] 設(shè)?z＝x＋yi，(x，y∈R)， 所以(1＋3i)z＝(x－3y)＋(3x＋y)i，又(1＋3i)z?為實數(shù)，所以?3x＋y＝0，即?y＝－3x， 所以??w＝ ＝ ＝?

14、?[(2x－3x)＋(－6x－x)i]＝－??(1＋7i)，又因為|w| z x＋y 2＋i  5 －????1?????????????????????????x 5?????????????????????????5 所以|??|???1＋72＝5???2，所以?x＝±5. ＝5?2， x 5 當?x＝5?時，z＝5－15i，當?x＝－5?時，z＝－5＋15i.w＝±(1＋7i)． 4 5