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1、,2.4.1拋物線及其 標準方程,噴泉,復習回顧： 我們知道,橢圓、雙曲線的有共同的幾何特征：,都可以看作是,在平面內(nèi)與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌跡.,(2) 當e1時，是雙曲線;,(1)當0
2、M隨著H運動的過程中,始終有|MF|=|MH|,即點M與點F和定直線l的距離相等.點M生成的軌跡是曲線C的形狀.(如圖),我們把這樣的一條曲線叫做拋物線.,在平面內(nèi),與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)的距離相等的點的軌跡叫拋物線.,點F叫拋物線的焦點, 直線l 叫拋物線的準線,|MF|=d,d 為 M 到 l 的距離,準線,焦點,d,一、拋物線的定義:,解法一：以 為 軸，過點 垂直于 的直線為 軸建立直角坐標系（如下圖所示）,則定點 設動點點 ，由拋物線定義得：,,化簡得：,,二、標準方程的推導,,,解法二：以定點 為原點，過點 垂直于 的直線為 軸建立直角坐標系（如下圖所
3、示），則定點 ， 的方程為,設動點 ，由拋物線定義得,,化簡得：,二、標準方程的推導,l,解法三：以過F且垂直于 l 的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標原點建立直角坐標系xoy.,兩邊平方,整理得,M(x,y),F,二、標準方程的推導,依題意得,這就是所求的軌跡方程.,三、標準方程,把方程 y2 = 2px (p0)叫做拋物線的標準方程.其中 p 為正常數(shù),表示焦點在 x 軸正半軸上.,且 p的幾何意義是:,焦點坐標是,準線方程為:,想一想: 坐標系的建立還有沒有其它方案也會使拋物線方程的形式簡單 ？,方案(1),方案(2),方案(3),方案(4),焦點到準線的距離,,,,
4、,y2=-2px (p0),x2=2py (p0),y2=2px (p0),x2=-2py (p0),P的意義:拋物線的焦點到準線的距離,方程的特點: (1)左邊是二次式, (2)右邊是一次式;決定了焦點的位置.,四四種拋物線的對比,P66思考：,二次函數(shù) 的圖像為什么是拋物線？,,當a0時與當a<0時，結(jié)論都為：,例1,（1）已知拋物線的標準方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦點坐標及準線方程,（2）已知拋物線的焦點坐標是 F（0，2），求拋物線的標準方程,（3）已知拋物線的準線方程為 x = 1 ，求拋物線的標準方程,（4）求過點A（3，2）的拋物線的標準方程,x 2 =
5、8 y,y 2 =4 x,看圖,看圖,看圖,課堂練習：,1、根據(jù)下列條件，寫出拋物線的標準方程：,（1）焦點是F（3，0）；,（2）準線方程 是x = ；,（3）焦點到準線的距離是2。,y2 =12x,y2 =x,y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y,2、求下列拋物線的焦點坐標和準線方程： (1)y2 = 20 x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0,（5，0）,x=-5,（0，-2）,y=2,例2：一種衛(wèi)星接收天線的軸截面如下圖所示。衛(wèi)星波束呈近似平行狀態(tài)射入軸截面為拋物線的接收天線，經(jīng)反射聚集到焦點處。已知接收天
6、線的徑口（直徑）為4.8m，深度為0.5m。建立適當?shù)淖鴺讼担髵佄锞€的標準方程和焦點坐標。,解：如上圖，在接收天線的軸截面所在平面內(nèi)建立直角坐標系，使接收天線的頂點（即拋物線的頂點）與原點重合。,即,所以，所求拋物線的標準方程是 ，焦點的坐標是,4.標準方程中p前面的正負號決定拋物線的開口方向,1.拋物線的定義:,2.拋物線的標準方程有四種不同的形式: 每一對焦點和準線對應一種形式.,3.p的幾何意義是:,焦 點 到 準 線 的 距 離,（2000.全國）過拋物線 的焦點 作一條直線 交拋物線于 ， 兩點，若線段 與 的長分別為 ，則 等于（ ）,A. B.
7、 C. D.,分析：拋物線 的標準方程為 ，其 焦點為 .,取特殊情況，即直線 平行與 軸， 則 ，如圖。 故,返回,解：（2）因為焦點在 y 軸的負半軸上，并且,= 2，p = 4 ，所以所求拋物線的標準方程是 x2 =8y .,返回,解：（3）因為準線方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦點在 x 軸的負半軸上，所以所求拋物線的標準方程是 y2 =4x .,返回,,,x,y,o,,(3,2),解：（4）因為(3，2)點在第一象限，所以拋物線的開口方向只能是向右或向上，故設拋物線的標準方程是 y2 = 2px（p0），或 x2 = 2py（p0），將（3，2）點的坐標分別代入上述方程可得拋物線的標準方程為,
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