第十一章 第61講

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1、第十一章第61講 第61講 古典概型、幾何概型及互斥事件 考試要求1?隨機(jī)事件與概率、互斥事件及其發(fā)生概率、幾何概型（A級要求）、 古典概型（B級要求）；2?高考中對本講的考查重點(diǎn)是以古典概型、幾何概型為主， 考查的難度較容易. 診斷自測 1?已知書架上有3本數(shù)學(xué)書，2本物理書，若從中隨機(jī)取出2本，則取出的2本 書都是數(shù)學(xué)書的概率為 . 解析 從5本書中取出2本書"基本事件有10個?從3本數(shù)學(xué)書中取出2本書的 事件有3個，故所求的概率為2 2.（2019?北京卷改編）從甲、乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，則甲被選中的概率為 解析 從甲■乙等5名學(xué)生中隨機(jī)選2 人共有 10種情況，甲

2、被選中有4種情況， 則甲被選中的概率為磊=5? 答案2 3.（2019?全國I卷改編）如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長，則 稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù)，從1，2, 3, 4, 5中任取3個不同的數(shù)，則這3個 數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為 . 解析 從1,2,3,4 J中任取3個不同的數(shù)共有如下10種不同的結(jié)果：（1,2, 3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5) , (1,4,5) , (2,3,4) , (2 , 1 3,5) , (2,4,5) , (3,4,5) , 其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為麗. 4?（2019?

3、山東卷改編）在區(qū)間[0, 2]上隨機(jī)地取一個數(shù)x,則事件“TWlog1（x+1 W1”發(fā)生的概率為 . 解析 由-1 Wlog][x + 弓W1,得+ 2^2 , ??心3? ???由幾何概型的概率計(jì)算公式得所求概率 3一2 一 2 = 3-4 = o O 3-4 5.（必修 3P115練習(xí)1改編）拋擲一枚質(zhì)地均勻骰子的試驗(yàn)，事件A表示“出現(xiàn)小 于5的偶數(shù)點(diǎn)”，事件B表示“出現(xiàn)小于5的點(diǎn)數(shù)”，則事件A+B發(fā)生的概率 為 . 解析 事件A +B表示出現(xiàn)的點(diǎn) :數(shù) 為2,4,5,6, 所以p=6=3. 答案2 6?（2019?南通模擬）一

4、個邊長為3“J n cm的正方形薄木板的正中央有一個直徑為 2 cm的圓孔，一只小蟲在木板的一個面內(nèi)隨機(jī)地爬行，則小蟲恰在離四個頂點(diǎn) 的距離都大于2 cm的區(qū)域內(nèi)的概率等于 ? 解析 如圖所示，分別以正方形的四個頂點(diǎn)為圓心，2 cm為半徑作圓，與正方 形相交截得四個圓心角為直角的扇形■當(dāng)小蟲落在圖中的黑色區(qū)域時尼離四個 正方形 7S扇形° S小圓 頂點(diǎn)的距離都大于2 cm，其中黑色區(qū)域面積為Sr = S -nX22-nXl2 = 9n-5n = 4n "所以小'蟲離四個頂點(diǎn)的距離都大于2 cm 的概率為P= S^~ = =!， 9n- n 8n 2 答案1 知識梳理 1?

5、基本事件的特點(diǎn) （1）任何兩個基本事件是互斥的； ⑵任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. 2?古典概型 具有以下兩個特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型? ⑴所有的基本事件只有有限個; ⑵每個基本事件的發(fā)生都是等可能的. 3?如果1次試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個，那么每一個等可能基本事件發(fā)生的 概率都是￡如果某個事件A包含了其中m個等可能基本事件，那么事件A發(fā)生 的概率為卩⑷藝. 4?古典概型的概率公式 、人包含的基本事件的個數(shù) P⑷-基本事件的總數(shù)? 5?幾何概型的概念 設(shè)D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可 以視

6、為從區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，區(qū)域D內(nèi)的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會都二樣隨 機(jī)事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點(diǎn)?這時,事 件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等成正比，與d的形狀和位置無 關(guān)?我們把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型. 6?幾何概型的概率計(jì)算公式 一般地，在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個區(qū)域d d的測度 內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)=D的測度 7?互斥事件與對立事件 (1) 互斥事件：不可能同時發(fā)生的兩個事件叫互斥事件? (2) 對立事件：兩個事件必有一個發(fā)生的互斥事件叫對立事件?互為對立的兩個事 件一定互斥

7、,但互斥事件不一定是對立事件? ⑶互斥事件的概率 如果事件A，B互斥，那么事件A+B發(fā)生(即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等 第5頁 于事件A, B分別發(fā)生的概率和,即P(A+B)=P(A)+P(B),推廣：如果事件A1, A2,…，A“彼此互斥，那么卩⑷+人尹…+人尸卩卻+卩卻+…+戸血) ⑷對立事件的概率 事件A的對立事件表示為A；對立事件的概率和等于1,即P(A)+P(A)=P(A+A) =1. 考點(diǎn)一古典概型的求法 【例1】做拋擲兩枚骰子的試驗(yàn)，用(x,y)表示結(jié)果，其中x表示第一枚骰子出 現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示第二枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，寫出： (1) 試驗(yàn)的基本事件； (2)

8、 事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于8”； (3) 事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”； (4) 事件“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”. 解(1)這個試驗(yàn)的基本事件為 (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4,

9、 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)? ⑵ “出現(xiàn)點(diǎn) 數(shù)之 ，和大于8”包含以下 10個基本事件： (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)? ⑶“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)相等”包含以下6個基本事件：(1, 1),

10、(2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)? (4) “出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和大于10”包含以下3個基本事件：(5, 6), (6, 5), (6, 6). 規(guī)律方法 ⑴在列舉基本事件空間時，可以利用畫樹狀圖等方法，以防遺漏， 列舉時要按一定順序列舉.⑵古典概型需滿足兩個條件：①對于每次隨機(jī)試驗(yàn)來 說"只可能岀現(xiàn)有限個不同的試驗(yàn)結(jié)果；②對于所有不同的試驗(yàn)結(jié)果而言，它們 出現(xiàn)的可能性是相等的. 【訓(xùn)練1】袋中有大小相同的5個白球、3個黑球和3個紅球，每個球只有一 個區(qū)別于其他球的編號，從中摸出一個球. (1) 有多少種不同的摸法？如果把每個球的編號看作一個基本事

11、件建立概率模 型，該模型是不是古典概型？ (2) 若按球的顏色為劃分基本事件的依據(jù)，有多少個基本事件？以這些基本事件 建立概率模型，該模型是不是古典概型？ 解 ⑴由于共有11個球，且每個球有不同的編號，故共有11種不同的摸法?又 因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，因此每個球被摸中的可能性相等，故以球的編號為基本 事件的概率模型為古典概型. ⑵由于11個球共有3種顏色，因此共有3個基本事件，分別記為A：“摸到白 球”，B： “摸到黑球”，C： “摸到紅球”，又因?yàn)樗星虼笮∠嗤?，所以? 1 5 次每個球被摸中的可能性均為吉，而白球有5 個,故每次摸到白球的可能性為務(wù) 3 同理可知摸到黑球、紅球

12、的可能性均為務(wù)所以以顏色為劃分基本事件的依據(jù)的 概率模型不是古典概型. 考點(diǎn)二幾何概型的求法 【例2-1］ (1)(2019?全國II卷改編)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替 出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒?若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待 15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 . ⑵(2019?江蘇卷)記函數(shù)金)=\；6+兀一竝的定義域?yàn)镈在區(qū)間［一4, 5］上隨機(jī)取 一個數(shù)兀，則x^D的概率是 . ⑶如圖所示，在皿/侖中，ZB=60°,ZC=45°，高AD=\3，在ZBAC內(nèi) 作射線AM交BC于點(diǎn)M，求BM<1的概率. 40-15 5 解析(1)至少需要等待 15秒才岀

13、現(xiàn)綠燈的概率為4^~環(huán)? 一“ 3 -(- 2) 5 ⑵由6 + x - X2M0得-20W3，即 D為［-2 ,3］?故所求概率P = ■ = 9? 5 -(- 4 ) 答案(1)8 (2)5 (3)解 因?yàn)閆B=60°，ZC=45°，所以ZBAC=75° ? 在 Rt^ABD 中，AD= ；3，NB=60°, AD 所以 BD=tan 60° =1，ZBAD=30° ? 記事件N為“在ZBAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M,使BMv1”，則可得 ZBAM

14、何概型的方法 求與長度（角度）有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化 為長度（角度），然后求解 ?要特別注意“長度型”與“角度型”的不同?解題的關(guān) 區(qū)域 鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域（長度或角度）. 【例2—2】（2019?全國II卷改編）從區(qū)間［0, 1］隨機(jī)抽取2n個數(shù)可，兀2,…，叫, y. y2，…，yn，構(gòu)成n個數(shù)對街，yj, a2, y2），…，（％，yn），其中兩數(shù)的平 方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率n的近似值為 解析 由題意得：（xi ,y）（i=1,2 ,…，n）在如圖所示方格中，而平方和小于1 n 的點(diǎn)均在如圖所示的陰影

15、中，由幾何概型概率計(jì)算公式癬哼“哼. 答案警 【例2—3】（1）一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過 程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1,則稱其為“安全飛行”，則蜜 蜂“安全飛行”的概率為 . ⑵已知正三棱錐S-ABC的底面邊長為4,高為3,在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P, 1 使得Vp-ABC^Vs-ABC的概率是 . 解析⑴由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心，且棱 長為1的小正方體內(nèi)?這個小正方體的體積為1,大正方體的體積為27，故安全 飛行的概率為P = 1. （2）當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺內(nèi)時符

16、 合要求,由幾何概型知P=1-|=8. 答案（i）27（2）7 規(guī)律方法求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn) 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計(jì)算問題的總體積（總空間）以及事件的 體積（事件空間），對于某些較復(fù)雜的問題也可利用其對立事件去求. 【訓(xùn)練2】（1）（2019?全國I卷改編）某公司的班車在7： 30, 8： 00, 8： 30發(fā)車, 小明在7： 50至8： 30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時刻是隨機(jī) 的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是 . ⑵如圖，四邊形ABCD為矩形，BC=1,以A為圓心，1為半徑作四 分之一個圓弧龐，在NDAB內(nèi)任作射線AP，則射線

17、AP與線段BC有公共點(diǎn)的 概率為 . 解析（1）如■所示，畫出時間軸： 小明到達(dá)的時間會隨機(jī)的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時間落在線段AC 或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率 10 + 10 1 “ 40 2- ⑵因?yàn)樵赯DAB內(nèi)任作射線則等可能基本事件為“ZDAB內(nèi)作射線AP” , 所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域 H 是ZDAB ”當(dāng)射線AP與線段BC有公共 點(diǎn)時，射線AP 落在ZCAB內(nèi)， 共點(diǎn)的概率為 ZCAB 30° 1 ZDA^~ 90°? 3. 答案(1)2 (2)1 考點(diǎn)三 互斥事件、對立事件

18、的概率 【例3】一盒中共裝有除顏色外其余均相同的小球12個，其中5個紅球、4個 黑球、2個白球、1個綠球?從中隨機(jī)取出1個球. (1) 求取出的1個球是紅球或黑球的概率； (2) 求取出的1個球是紅球或黑球或白球的概率. 解 記事件A1=｛任取1個球?yàn)榧t球｝, A2=｛任取1個球?yàn)楹谇颍?，A3=｛任取1 個球?yàn)榘浊颍? A4=｛任取1個球?yàn)榫G球｝， 5 111 則 P(A1)=邁，P(A2)=3, P(A3)=6, P(A4)=12. 據(jù)題意知事件A1，A2, A3, A4彼此互斥. 5 13 (1)P(A1^A2)=P(A1)+P(A2)=12+3=4. ⑵法一 P(A

19、1+A2+A3) =P(a1)+P(A2)+P(A3) =5 | 1 | 1=11 _12十3十6_!2? 1 11 法二 P(A1+A2+A3)=1_P(A4)=1_j2=j2? 規(guī)律方法 求較復(fù)雜的互斥事件的概率，一般有兩種方法：一是直接求解法，即 將所求事件的概率分解成一些彼此互斥的事件的概率和，分解后的9個事件概率 的計(jì)算通常為等可能事件的概率計(jì)算.這時應(yīng)注意事件是否互斥.是否完備；二 是間接求解法,先求出此事件的對立事件的概率"再用公式PA = 1 - P(A)若解 決“至少”、“至多”型的題目，用后一種方法就顯得比較方便?解題時需注意 “互斥事件”與“對立事件”的

20、 事件”的差異. 【訓(xùn)練3】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子. (1) 求落地時向上的數(shù)不小于5的概率； (2) 求落地時向上的數(shù)大于1的概率； (3) 求落地時向上的數(shù)是最大或者最小的數(shù)的概率. 解 設(shè)“骰子落地時向上的數(shù)為廠為事件A(i=1, 2, 3, 4, 5, 6),則P(Ai) =1 一6. (1) 設(shè)“落地時向上的數(shù)不小于5”為事件C, 111 則 p(C)=p(A5+A6)=6+6=3? (2) 設(shè)“落地時向上的數(shù)大于1”為事件D, 則 P(D)=1-P(D)=1-P(A1)=5. (3) 設(shè)“落地時向上的數(shù)是最大或者最小的數(shù)”為事件E, 111 則

21、P(E)=P(A1+A6)=P(A1)+P(A6)=6+6=3? 一、必做題 1. （2019?蘇、錫、常、 二模）從集合｛1，2, 3, 4｝中任取兩個不同的數(shù)，則這兩 解析 從集合｛1,2,3,4｝中任取兩個不同的 :'數(shù) 個數(shù)的和為3的倍數(shù)的槪率為 , 基本事件總數(shù)n = C2 = 6, 這兩個數(shù)的和為3 的倍數(shù)包含的基本事件有 ： （1,2）, （2,4）,共2個， ??這兩個 數(shù)' 的和為3的倍 的槪率p=6=3? 答案1 2?若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的 機(jī)會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ? 解

22、析 由題意知，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有（甲， 乙，丙） , （甲,乙，?。?，乙，戊），（甲，丙，?。?，（甲，丙，戊）, （甲,丁, 戊）, （乙,丙，?。?，（乙，丙，戊）, （乙, 丁,戊），（丙，丁，戊），共 10 種，其 中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有（丙，丁，戊）這1種，故其 對立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P = 10. 答案10 3.（2019?南通二模）100張卡片上分別寫有1，2, 3,…，100?從中任取1張，則這 張卡片上的數(shù)是6的倍數(shù)的概率是 . ?(<■)出 6」)G 6 6 6 ?(二&SSS

23、 ??)9E"9x9mmw*B ?SAS.- * ove+ E ■ H (I?I ■)?(尺?E)??? 岸庭 sws OI?銘￡(" 套)啣叵M￡ 套縣啞?

24、這三點(diǎn)能構(gòu)成三角形的概率是 . 解析 從5個點(diǎn)中取3個點(diǎn)，列舉得ABC,ABD,ABE,ACD,ACE,ADE, BCD , BCE , BDE , CDE，共10個基本事件，而其中ACE , BCD兩種情況三 點(diǎn)共線，其余8個均符合題意，故能構(gòu)成三角形的概率為尋=5. 答案為. 解析 由x,yW［0,4］知(x,y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長為4的正方形及其內(nèi)部，其中 滿足x + 2y W8的區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分. 易知A(4,2),S勵形= 16, S陰影=(2 + 4)x4 = i2?故“使得x + 2yW8”的概率 n=S陰影=3 P=S 4? 7?(2019?鎮(zhèn)江模擬

25、)在區(qū)間［0, 4］上隨機(jī)取兩個實(shí)數(shù)x, y,使得x+2yW8的概率 解析 1+1=2,1+2=3,1+3=4,1+4=5,1+5=6,1+6=7,2+1=3,2 + 2 = 4,2 + 3 = 5,2 + 4 = 6,2 + 5 = 7,2 +6 = 8,…，依次列出 m 的可能取 知7出現(xiàn)次數(shù)最多. 答案7 9?設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m,"，令平面向量a=(m, n), b=(1, 一3)? ⑴求事件“a丄b”發(fā)生的概率； (2)求事件“aiWIbl”發(fā)生的概率. 解 ⑴由題意知，m^{1, 2, 3, 4, 5, 6}, n^{1, 2, 3, 4, 5, 6}

26、,故(m, n)所有可能的取法共36種. 因?yàn)閍丄b,所以m—3n=0,即m=3n,有(3, 1), (6, 2),共2種，所以事件a丄b 發(fā)生的概率為36=備 (2)由 lalWIbl,得 m2+n2W10, 6 1 有(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (3, 1), 共 6 種，其概率為36=&? 10?甲、乙兩人用4張撲克牌(分別是紅桃2,紅桃3,紅桃4,方片4)玩游戲，他 們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回， 各抽一張. (1)設(shè)(i，j)表示甲、乙抽到的牌的牌面數(shù)字(如果甲抽到紅桃2,乙抽到紅

27、桃3, 記為(2, 3)),寫出甲、乙兩人抽到的牌的所有情況； ⑵若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率是多少？ ⑶甲、乙約定，若甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，則甲勝；否則，乙勝，你認(rèn) 第16頁 為此游戲是否公平？請說明理由. 解(1)方片4用4表示，則甲、乙兩人抽到的牌的所有情況為(2, 3), (2, 4), (2, 4’)，(3, 2), (3, 4), (3, 4’ ), (4, 2), (4, 3), (4, 4 ), (4，, 2), (4，, 3), (4，, 4), 共 12種不同的情況. ⑵甲抽到3,乙抽到的牌只能是2, 4, 4’，因此乙抽到的牌的牌

28、面數(shù)字大于3 的概率為2? (3)甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大，有(3, 2), (4, 2), (4, 3), (4，, 2), (4，, 3), 共5種情況. 5 7 甲勝的概率為匕=芻，乙勝的概率為p2=i2? 5 7 因?yàn)檎F靖，所以此游戲不公平. 二、選做題 11?已知厶^侖中，ZABC=60°, AB=2, BC=6,在BC上任取一點(diǎn)D,則使 △ABD為鈍角三角形的概率為 ? 解析 如圖，當(dāng)BE = 1時,￡^B為直角，則點(diǎn)D在線段BE(不包含B,E 點(diǎn)) 1 + 2 ~6~ 上時"AABD為鈍角三角形；當(dāng)BF = 4 為直角"則點(diǎn)D在線段CF(不 包含 C

29、JF點(diǎn))上時,ABD為鈍角三角形.所以AABD為鈍角三角形的概率為 1 2? 答案1 12?(201則北京海淀區(qū)期末)為了研究某種農(nóng)作物在特定溫度(要求最高溫度t滿 足：27 °CW/W30 °C)下的生長狀況，某農(nóng)學(xué)家需要在10月份去某地進(jìn)行為期 10天的連續(xù)觀察試驗(yàn)?現(xiàn)有關(guān)于該地區(qū)歷年10月份日平均最高溫度和日平均最 低溫度(單位：°C)的記錄如下： (1) 根據(jù)本次試驗(yàn)?zāi)康暮驮囼?yàn)周期，寫出農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期； (2) 設(shè)該地區(qū)今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高溫度的方差和最低溫 度的方差分別為D. D2,估計(jì)D1, D2的大小(直接寫出結(jié)論即可)； (

30、3) 從10月份31天中隨機(jī)選擇連續(xù)3天，求所選3天每天日平均最高溫度值都 在［27, 30］之間的概率. 解(1)農(nóng)學(xué)家觀察試驗(yàn)的起始日期為7日或8日. (2) 最高溫度的方差D1大. (3) 設(shè)“連續(xù)3天平均最高溫度值都在［27, 30］之間”為事件A, 則基本事件空間可以設(shè)為Q={(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5),…，(29, 30, 31)},共29個基本事件， 由題圖可以看出，事件A包含10個基本事件， 所以P(A)=10所選3天每天日平均最高溫度值都在［27, 30］之間的概率為券 S正方形 答案3 8?連續(xù)2次拋擲一枚骰子(六個面上分別標(biāo)有數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6),記“兩次 向上的數(shù)字之和等于m”為事件A,則P(A)最大時，m= . 第15頁