《簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教案(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
教學(xué)目的:
知識與技能:理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
過程與方法:可以結(jié)合已學(xué)過的法則.、公式,進展一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)
情感、態(tài)度與價值觀:培養(yǎng)學(xué)生擅長觀察事物,擅長發(fā)現(xiàn)規(guī)律,認(rèn)識規(guī)律,掌握規(guī)律,利用規(guī)律.
教學(xué)重點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.的概念與應(yīng)用
教學(xué)難點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.的導(dǎo)入與理解
教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。
教學(xué)設(shè)想:提供一個舞臺,讓學(xué)生展示自己的才華,這將極大地調(diào)動學(xué)生的積極性,增強學(xué)生的榮譽感,培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的才能,表達了“自主探究〞,同時,也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說、敢做的才能。
教學(xué)過程:
學(xué)生探究過程:
一
2、、復(fù)習(xí)引入:
1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
;;;
2. 法則.1.
法則.2,
法則.3
二、講解新課:
1.復(fù)合函數(shù):由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),叫復(fù)合函數(shù).由函數(shù)與復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是,其中u稱為中間變量.
2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路:
方法一:;
方法二:將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù),并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下:
,
兩個導(dǎo)數(shù)相乘,得
,
從而有
對于一般的復(fù)合函數(shù),結(jié)論也成立,以后我們求y′x時,就可以轉(zhuǎn)化為求yu′和u′x的乘積,關(guān)鍵是找中間變量,隨著中間變量的不同,難易程度不同.
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)u′x=′(
3、x),函數(shù)y=f(u)在點x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u),那么復(fù)合函數(shù)y=f((x))在點x處也有導(dǎo)數(shù),且或者者f′x((x))=f′(u)′(x).
證明:〔教師參考不需要給學(xué)生講〕
設(shè)x有增量Δx,那么對應(yīng)的u,y分別有增量Δu,Δy,因為u=φ(x)在點x可導(dǎo),所以u=(x)在點x處連續(xù).因此當(dāng)Δx→0時,Δu→0.
當(dāng)Δu≠0時,由.且.
∴
即(當(dāng)Δu=0時,也成立)
4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.
復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)
5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代.
三、講解范例:
例1試說
4、明以下函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的?
⑴;⑵;
⑶;⑷.
解:⑴函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成;
⑵函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成;
⑶函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成;
⑷函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成.
說明:討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時,“內(nèi)層〞、“外層〞函數(shù)一般應(yīng)是根本初等函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.
例2寫出由以下函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù):
⑴,;⑵,.
解:⑴;⑵.
例3求的導(dǎo)數(shù).
解:設(shè),,那么
.
注意:在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復(fù)合函數(shù)可以由幾個根本初等函數(shù)組成,所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些根本初等函數(shù)復(fù)合而成的
5、,特別要注意將哪一部分看作一個整體,然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo).
例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù).
解:令y=f(x)=sinu;u=x2
∴=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2
∴f′(x)=2xcosx2
例5求y=sin2(2x+)的導(dǎo)數(shù).
分析:設(shè)u=sin(2x+)時,求u′x,但此時u仍是復(fù)合函數(shù),所以可再設(shè)v=2x+.
解:令y=u2,u=sin(2x+),再令u=sinv,v=2x+
∴=y′u(u′v·v′x)
∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x
=2u·c
6、osv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2
=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)
即y′x=2sin(4x+)
例6求的導(dǎo)數(shù).
解:令y=,u=ax2+bx+c
∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b)
=(ax2+bx+c)(2ax+b)=
即y′x=
例7求y=的導(dǎo)數(shù).
解:令
∴=()′u·()′x
即y′x=-
例8求y=sin2的導(dǎo)數(shù).
解:令y=u2,u=sin,再令u=sinv,v=
∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x
=2u·cosv·=2sin·cos·=-·sin
∴y′x=-si
7、n
例9求函數(shù)y=(2x2-3)的導(dǎo)數(shù).
分析:y可看成兩個函數(shù)的乘積,2x2-3可求導(dǎo),是復(fù)合函數(shù),可以先算出對x的導(dǎo)數(shù).
解:令y=uv,u=2x2-3,v=,令v=,ω=1+x2
=(1+x2)′x
=
∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x
=(2x2-3)′x·+(2x2-3)·
=4x
即y′x=
四、穩(wěn)固練習(xí):
1.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo)).
(1)y=(5x-3)4 (2)y=(2+3x)5(3)y=(2-x2)3 (4)y=(2x3+x)2
解:(1)令y=u4,u=5x-3
∴=(u4)′u·(5x-3)′x=4u3·5=4(
8、5x-3)3·5=20(5x-3)3
(2)令y=u5,u=2+3x
∴=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4
(3)令y=u3,u=2-x2
∴=(u3)′u·(2-x2)′x
=3u2·(-2x)=3(2-x2)2(-2x)=-6x(2-x2)2
(4)令y=u2,u=2x3+x
∴=(u2)′u·(2x3+x)′x
=2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x
2.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo))(n∈N*)
(1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4
9、)y=cotnx
解:(1)令y=sinu,u=nx
=(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx
(2)令y=cosu,u=nx
=(cosu)′u·(nx)′x=-sinu·n=-nsinnx
(3)令y=tanu,u=nx
=(tanu)′u·(nx)′x=()′u·n
=·n==n·sec2nx
(4)令y=cotu,u=nx
=(cotu)′u·(nx)′x=()′u·n
=·n=-·n=-=-ncsc2nx
五、教學(xué)反思:⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要注意分析復(fù)合函數(shù)的構(gòu)造,引入中間變量,將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù),然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.求導(dǎo);⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代