簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教案

上傳人:新** 文檔編號:155294777 上傳時間:2022-09-22 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?85KB
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1、 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 教學(xué)目的: 知識與技能:理解掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 過程與方法:可以結(jié)合已學(xué)過的法則.、公式,進展一些復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo) 情感、態(tài)度與價值觀:培養(yǎng)學(xué)生擅長觀察事物,擅長發(fā)現(xiàn)規(guī)律,認(rèn)識規(guī)律,掌握規(guī)律,利用規(guī)律. 教學(xué)重點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.的概念與應(yīng)用 教學(xué)難點:復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.的導(dǎo)入與理解 教具準(zhǔn)備:與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。 教學(xué)設(shè)想:提供一個舞臺,讓學(xué)生展示自己的才華,這將極大地調(diào)動學(xué)生的積極性,增強學(xué)生的榮譽感,培養(yǎng)學(xué)生獨立分析問題和解決問題的才能,表達了“自主探究〞,同時,也鍛煉了學(xué)生敢想、敢說、敢做的才能。 教學(xué)過程: 學(xué)生探究過程: 一

2、、復(fù)習(xí)引入: 1.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式: ;;; 2. 法則.1. 法則.2, 法則.3 二、講解新課: 1.復(fù)合函數(shù):由幾個函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù),叫復(fù)合函數(shù).由函數(shù)與復(fù)合而成的函數(shù)一般形式是,其中u稱為中間變量. 2.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的兩種方法與思路: 方法一:; 方法二:將函數(shù)看作是函數(shù)和函數(shù)復(fù)合函數(shù),并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)如下: , 兩個導(dǎo)數(shù)相乘,得 , 從而有 對于一般的復(fù)合函數(shù),結(jié)論也成立,以后我們求y′x時,就可以轉(zhuǎn)化為求yu′和u′x的乘積,關(guān)鍵是找中間變量,隨著中間變量的不同,難易程度不同. 3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù):設(shè)函數(shù)u=(x)在點x處有導(dǎo)數(shù)u′x=′(

3、x),函數(shù)y=f(u)在點x的對應(yīng)點u處有導(dǎo)數(shù)y′u=f′(u),那么復(fù)合函數(shù)y=f((x))在點x處也有導(dǎo)數(shù),且或者者f′x((x))=f′(u)′(x). 證明:〔教師參考不需要給學(xué)生講〕 設(shè)x有增量Δx,那么對應(yīng)的u,y分別有增量Δu,Δy,因為u=φ(x)在點x可導(dǎo),所以u=(x)在點x處連續(xù).因此當(dāng)Δx→0時,Δu→0. 當(dāng)Δu≠0時,由.且. ∴ 即(當(dāng)Δu=0時,也成立) 4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則. 復(fù)合函數(shù)對自變量的導(dǎo)數(shù),等于函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù),乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù) 5.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代. 三、講解范例: 例1試說

4、明以下函數(shù)是怎樣復(fù)合而成的? ⑴;⑵; ⑶;⑷. 解:⑴函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑵函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑶函數(shù)由函數(shù)和復(fù)合而成; ⑷函數(shù)由函數(shù)、和復(fù)合而成. 說明:討論復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成時,“內(nèi)層〞、“外層〞函數(shù)一般應(yīng)是根本初等函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等. 例2寫出由以下函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù): ⑴,;⑵,. 解:⑴;⑵. 例3求的導(dǎo)數(shù). 解:設(shè),,那么 . 注意:在利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量換成自變量的函數(shù).有時復(fù)合函數(shù)可以由幾個根本初等函數(shù)組成,所以在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,先要弄清復(fù)合函數(shù)是由哪些根本初等函數(shù)復(fù)合而成的

5、,特別要注意將哪一部分看作一個整體,然后按照復(fù)合次序從外向內(nèi)逐層求導(dǎo). 例4求f(x)=sinx2的導(dǎo)數(shù). 解:令y=f(x)=sinu;u=x2 ∴=(sinu)′u·(x2)x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2 ∴f′(x)=2xcosx2 例5求y=sin2(2x+)的導(dǎo)數(shù). 分析:設(shè)u=sin(2x+)時,求u′x,但此時u仍是復(fù)合函數(shù),所以可再設(shè)v=2x+. 解:令y=u2,u=sin(2x+),再令u=sinv,v=2x+ ∴=y′u(u′v·v′x) ∴y′x=y′u·u′v·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·(2x+)′x =2u·c

6、osv·2=2sin(2x+)cos(2x+)·2 =4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+) 即y′x=2sin(4x+) 例6求的導(dǎo)數(shù). 解:令y=,u=ax2+bx+c ∴=()′u·(ax2+bx+c)′x=·(2ax+b) =(ax2+bx+c)(2ax+b)= 即y′x= 例7求y=的導(dǎo)數(shù). 解:令 ∴=()′u·()′x 即y′x=- 例8求y=sin2的導(dǎo)數(shù). 解:令y=u2,u=sin,再令u=sinv,v= ∴·v′x=(u2)′u·(sinv)′v·()′x =2u·cosv·=2sin·cos·=-·sin ∴y′x=-si

7、n 例9求函數(shù)y=(2x2-3)的導(dǎo)數(shù). 分析:y可看成兩個函數(shù)的乘積,2x2-3可求導(dǎo),是復(fù)合函數(shù),可以先算出對x的導(dǎo)數(shù). 解:令y=uv,u=2x2-3,v=,令v=,ω=1+x2 =(1+x2)′x = ∴y′x=(uv)′x=u′xv+uv′x =(2x2-3)′x·+(2x2-3)· =4x 即y′x= 四、穩(wěn)固練習(xí): 1.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo)). (1)y=(5x-3)4 (2)y=(2+3x)5(3)y=(2-x2)3 (4)y=(2x3+x)2 解:(1)令y=u4,u=5x-3 ∴=(u4)′u·(5x-3)′x=4u3·5=4(

8、5x-3)3·5=20(5x-3)3 (2)令y=u5,u=2+3x ∴=(u5)′u·(2+3x)′x=5u4·3=5(2+3x)4·3=15(2+3x)4 (3)令y=u3,u=2-x2 ∴=(u3)′u·(2-x2)′x =3u2·(-2x)=3(2-x2)2(-2x)=-6x(2-x2)2 (4)令y=u2,u=2x3+x ∴=(u2)′u·(2x3+x)′x =2u·(2·3x2+1)=2(2x3+x)(6x2+1)=24x5+16x3+2x 2.求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(先設(shè)中間變量,再求導(dǎo))(n∈N*) (1)y=sinnx(2)y=cosnx(3)y=tannx(4

9、)y=cotnx 解:(1)令y=sinu,u=nx =(sinu)′u·(nx)′x=cosu·n=ncosnx (2)令y=cosu,u=nx =(cosu)′u·(nx)′x=-sinu·n=-nsinnx (3)令y=tanu,u=nx =(tanu)′u·(nx)′x=()′u·n =·n==n·sec2nx (4)令y=cotu,u=nx =(cotu)′u·(nx)′x=()′u·n =·n=-·n=-=-ncsc2nx 五、教學(xué)反思:⑴復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),要注意分析復(fù)合函數(shù)的構(gòu)造,引入中間變量,將復(fù)合函數(shù)分解成為較簡單的函數(shù),然后再用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.求導(dǎo);⑵復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟是:分解——求導(dǎo)——相乘——回代

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