自動控制原理自學必備自動控制.ppt

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1、,自動控制原理,主講：吳仲陽,第四章 線性系統(tǒng)的時域分析,1 繪制根軌跡的兩個條件,2 繪制根軌跡的基本規(guī)則,3 參數(shù)根軌跡,退出,,,退出,,,根軌跡法概述 研究自動控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點、極點的關系，其次是研究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關系。,,,,退出,,,,,,,,,,退出,,,根軌跡法概述 研究自動控制系統(tǒng)的主要問題之一，是確定閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的分布與開環(huán)傳遞函數(shù)零點、極點的關系，其次是研

2、究分析系統(tǒng)參數(shù)的變化對系統(tǒng)特征根的影響。根軌跡是一種圖解法，它是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的零點、極點分布情況，用作圖法簡便的求得閉環(huán)系統(tǒng)的特征根與系統(tǒng)參數(shù)值（如開環(huán)增益）間的關系。,,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件 當系統(tǒng)的特征方程式為： 其中：“+”號對應負反饋，“-”號對應正反饋。將 式改寫成 式和式便是用來繪制反饋系統(tǒng)的根軌跡方 程。其中式為繪制負反饋系統(tǒng)的根軌跡方程， 式為繪制正反饋系統(tǒng)的根軌跡方程。,,,,,, , , ,退出,,,另外，應用根軌跡方程式和式繪制根軌 跡之前，需將開環(huán)傳遞函數(shù) G(s) 化成通過 極點與零點表達的標

3、準形式，即,,,式中：k繪制根軌跡的可變參數(shù)，稱為參變量； pj(j=1,2,,n) 為系統(tǒng)的開環(huán)極點； zi(i=1,2,,m) 為系統(tǒng)的開環(huán)零點；,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)） 由式得： 式和式是負反饋系統(tǒng)根軌跡上每個點都 應同時滿足的兩個公式。 由式得：,,, , , , ,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)） 式和式是正反饋系統(tǒng)根軌跡上每個 點都應同時滿足的兩個關系式。式 、式稱為幅值條件，式 、式 稱為相角條件。,,,退出,,,繪制根軌跡的兩個條件（續(xù)） 幅值條件和相角條件是用圖解法求系統(tǒng)特征 根的基本關系式，它表明當 s 平面的點在 同時

4、滿足這兩個條件時，就是所研究系統(tǒng)在 給定參數(shù)值（例如開環(huán)增益）下對應的特征 根，所以，在 s 平面上系統(tǒng)的參數(shù)k從零到 無窮大變化時，凡是滿足相角條件的點所構 成的圖形就是根軌跡圖。然后，根據(jù)幅值條 件定出這些點所對應的參數(shù)值。 參數(shù)k可以是系統(tǒng)的開環(huán)增益，也可以是系 統(tǒng)的其它參量。,,,退出,,,繪制根軌跡的基本規(guī)則 反饋系統(tǒng)的根軌跡是根據(jù)根軌跡方程的相角 條件繪制的，但相角條件因為正反饋和負反 饋而有兩個，于是對應的根軌跡也有兩種形 式。按相角條件式繪制的根軌跡稱為 180根軌跡，而按照相角條件式繪制的 根軌跡稱為0根軌跡。,,,,退出,,,繪制180根軌跡的基本規(guī)則 （1）根軌跡的分支數(shù)

5、 根軌跡在s平面上的分支數(shù)等于控制系統(tǒng)特征方程 的階數(shù)n，換句話說，根軌跡的分支數(shù)與閉環(huán)極 點的數(shù)目相同。,,,,,,,,退出,,,（2）根軌跡的起點與終點 根軌跡起始于開環(huán)極點，終于開環(huán)零點。如果開 環(huán)極點數(shù)目n 大于開環(huán)零點數(shù)目m 時，則有 n-m 條根軌跡終止于無窮遠處。,,,,,,,,,退出,,,（3）根軌跡的連續(xù)性與對稱性 根軌跡是連續(xù)且對稱于實軸的曲線。,,,,退出,,,（4）實軸上的根軌跡 實軸上根軌 跡是那些在 其右側(cè)的開 環(huán)實極點數(shù) 與開環(huán)實零 點數(shù)的總數(shù) 為奇數(shù)的線 段。簡記為 “奇是偶不是”。,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線 如果控制系統(tǒng)的開環(huán)零點書m 少于開環(huán)極

6、點數(shù)n 時，漸近線有n-m 條，這些漸近線在實軸上交于 一點。漸近線與實軸交點坐標為 漸近線與實軸正方向的夾角為,,,,退出,,,,,,,,退出,,,,,,,,,做長除法并取高次項，得,,,,,退出,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,（6）根軌跡與實軸的交點（分離點與會合 點）根軌跡與實軸的交點（分離點與會合 點）是當開環(huán)傳遞函數(shù)為,,,,退出,,,根軌跡與實軸的交點是下述方程的根 （11） 或分離點d為下述方程的解 （12） 說明：若在實軸上兩個相鄰的開環(huán)極點或兩個相鄰的 開環(huán)零點之間的區(qū)域為根軌跡區(qū)間，則在這

7、區(qū)間內(nèi)至 少有一個分離點。分離點方程的解并不都是分離點的 坐標，若為實分離點，則應位于實軸上的根軌跡區(qū)間 內(nèi)，若為復分離點，則應滿足2k的相角條件。,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,退出,,,,,,,退出,,,（7）根軌跡復數(shù)極點（或零點）的 出射角（或入射角） 根軌跡離開復數(shù)極點處的切線方向與實 軸正方向的夾角稱為出射角，而其進入 開環(huán)復數(shù)零點處的切線方向與實軸正方 向的夾角稱為入射角。,,,,退出,,,,,,退出,,,出射角為 （簡記“加零去余極”） 入射角為 （簡記為“加極去余零”） 式中： 所考慮的極點的出射； 所考慮的零點的入射角。,,,,退出

8、,,,（8）根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸交點說明該系統(tǒng)有部分根是純虛 根 ，因此，將 代入 特征方程式就可得出實部和虛部方程組： （15） 從方程組中解出 就是根軌跡與虛軸交點坐 標，同時還可以求出與此交點相應參數(shù) k 的臨界 值kc 。 說明：如果根軌跡與虛軸有交點，則勞斯計算表 中必出現(xiàn)全為零行，由輔助方程確定交點，進而 求得kc 。,,,,,,,,退出,,,（9）閉環(huán)極點的和與積 設閉環(huán)控制系統(tǒng)的特征方程式為 假設它的根為 則 根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)間的關系，可得,,,,,,,,退出,,,（10）開環(huán)增益K 的求取

9、 對應根軌跡上每一點系統(tǒng)參數(shù)，可按下式計算： 開環(huán)傳遞函數(shù)在繪制根軌跡中的標準式為,,,,,,,退出,,,開環(huán)增益的定義為 ,得 開環(huán)效益可按式（18）到式（21）按需求求取,,,,,,,退出,,,例題：1.(教材例4-4)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)根軌跡。,,,退出,,,,,退出,,,解： 1.按規(guī)則1，由于上述系統(tǒng)的特征方程的最高 階次為四，因此其根軌跡有四個分支。 2.按規(guī)則2，根軌跡的四個分支起始于四個開 環(huán)極點，即 當k時，它們均伸向無窮遠。 因為,開環(huán)零點數(shù)m0，nm4。 3.按規(guī)則3，根軌跡的四個分支連續(xù)且對稱于 實軸。,,,退出

10、,,,4.作出開環(huán)零，極點分布圖如圖所示。按規(guī)則4， 對該系統(tǒng)來說，實軸上屬于根軌跡的線段，只能 是0 2.73。 5.按規(guī)則5，可由式，即 來求根軌跡與實軸的交點，本題只有分離點，用 湊試法求得分離點-2.05。,,,退出,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當k時，由于nm4， 則漸近線共有四條。這些漸近線與實軸正方向 的夾角由公式 求得為 這些漸近線與實軸 的交點坐標，可由公式： 求得， 代入已知數(shù)據(jù)，求得 ，漸近線與實軸 的交點坐標為(1.18，j 0)。,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,7.按規(guī)則7，根軌跡離開開環(huán)復極點的出射角按 式(421)求，代入已

11、知數(shù)據(jù)，得 由根軌跡的對稱性可直接得出 。 8.按規(guī)則8，將sj代進系統(tǒng)的特征方程得 從而得實部方程，虛部方程分別為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,9.按規(guī)則9，由式(424)，得 由式(425)，得 10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，故應用式(418)，得 代入數(shù)據(jù)得 至此，即可繪出大致根軌跡。,,,,,,,,,退出,,,繪制0根軌跡的基本規(guī)則 繪制0根軌跡需按相角條件式（8）繪制，因 此，它與繪制180根軌跡不同之處表現(xiàn)在和相 角條件有關的一些基本規(guī)則上。具體來說，在繪 制180根軌跡的基本規(guī)則（4）、（5）、（7）、 （8）上二者將有所不同，需作如

12、下修正： 繪制0度根軌跡的基本規(guī)則為： （4）實軸上的根軌 實軸上的根軌跡是那些在其右側(cè)的開環(huán)實極點與 開環(huán)實零點的總數(shù)為偶數(shù)的線段，注意零屬于偶 數(shù)。（簡稱為偶是奇不是）,,,,,退出,,,（5）根軌跡的漸近線 如果控制系統(tǒng)得開環(huán)零點數(shù)m少于開環(huán)極點數(shù)n 時，漸近線共有n-m條，這些漸近線在實軸上交 于一點。 漸近線與實軸的交點坐標為 漸近線與實軸正方向的夾角為,,,,,退出,,,（7）根軌跡的入射角與出射角 始于開環(huán)復數(shù)極點的0根軌跡的出射角 和止 于開環(huán)復數(shù)零點的0根軌跡的入射角 分別按 下式計算，即,,,,,退出,,,（8）根軌跡與虛軸的交點 繪制180根軌跡的10條規(guī)則，除上述四條

13、作相 應的修改外，其余六條對繪制0根軌跡完全適 用。,,退出,,,例題2.(教材例4-5) 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)根軌跡。,,,,,解： 1.按規(guī)則1，由于該系統(tǒng)的特征方程為 代入已知數(shù)據(jù)，整理得 特征方程的最高階次是4，因此根軌跡有四條分支。 2.按規(guī)則2，由于根軌跡的四個分支起 始于四個開環(huán)極點，即 當k時，它們均伸向無窮遠，這是因為nm4的緣故。,退出,,,,,,,3.按規(guī)則3，根軌跡四個分支連續(xù)且對稱于實軸。 4.作出開環(huán)零，極點分布圖如圖所示。按規(guī)則4， 對該系統(tǒng)來說，實軸上屬于根軌跡的線段只能是， 1，、1，4、4，三個線段， 注意，零被認為是偶數(shù)。

14、,退出,,,,,,,退出,,,退出,,,5.按規(guī)則5，根軌跡分離點的坐標可按下式計 算，即 代入數(shù)據(jù)整理得 應用湊試法最后得分離點坐標為(2.225，j0)。,,,,,,,,,,,,,退出,,,6.按規(guī)則6，該系統(tǒng)當k時，根軌跡的漸近線共有4條。這是因為nm4。上述四條漸近線與實軸的交點坐標為 它們與實軸正方向的夾角為,,,,,,,,,,,,,退出,,,,,,,7.沒有復極點、零點，故不用求入射角與出射角。 8.按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點。 控制系統(tǒng)的特征方程是 令 得 實部方程，虛部方程分別為 解虛部方程得 (不符合題意)；將 代入實部方程得k16不符合題意，因此，根軌跡

15、與虛軸無交點。,,,,,,,,,退出,,,,,,,9.按規(guī)則9，閉環(huán)極點之和為 之積為 10.按規(guī)則10，由于無，其相應的無。至此，即可繪出大致根軌跡圖。,,,,,,,,,退出,,,例題3.(教材習題4-12)已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù) 試繪制系統(tǒng)的根軌跡。,,退出,,,,解：將上式所示開環(huán)傳遞函數(shù)化成標準形式，得 將上式代入 （負反饋）， 得根軌跡方程為 上式說明本系統(tǒng)的根軌跡方程為正反饋的根軌跡方程，該系統(tǒng)的根軌跡必須按0根軌跡的繪制規(guī)則繪制。注意：這種現(xiàn)象只有非最小相位系統(tǒng)中才可能出現(xiàn)，故在繪制非最小相位系統(tǒng)的根軌跡 圖時，需特別小心。,退出,,,,1.按規(guī)則1，由于本系統(tǒng)得特征方程為 知

16、本系統(tǒng)根軌跡有兩個分支。 2.按規(guī)則2，根軌跡起始于 ，終止于 及無窮遠點。 3.按規(guī)則3，根軌跡連續(xù)且對稱實軸。 4.按規(guī)則4，做出開環(huán)零、極點分布圖如圖所 示。按規(guī)則4（偶是奇不是）知，根軌跡在實 軸上的線段為（2）及（0-4）。,退出,,,5.按規(guī)則5，漸近線與實軸交點的坐標為 漸近線與實軸正方向的夾角為 即漸近線與實軸正方向重合。 6.按規(guī)則6， 由 得 其中，a1為會合點坐標，a2為分離點坐標。,,退出,,,7.按規(guī)則7，因無復數(shù)極點與零點，故不需求出出射角與入射角 8.按照規(guī)則8，求與虛軸交點及臨界參變量。令 代入特征方程，得 解得： 9.按規(guī)則9，有閉環(huán)極點之

17、和閉環(huán)極點之積 10.按規(guī)則10，由于給定系統(tǒng)為型系統(tǒng)，故根據(jù)上面求得的各項數(shù)據(jù)，繪制的給定系統(tǒng)的根軌跡如上圖所示。從上圖可見，當00.5時，系統(tǒng)不穩(wěn)定工作。,退出,,,退出,,,參數(shù)根軌跡 在繪制系統(tǒng)的根軌跡時，并非只能以開環(huán)增益為 可變參量，實際上對繪制根軌跡所選的參數(shù)可按 需要加以選擇，并稱以非開環(huán)增益為可變參數(shù)繪 制的根軌跡成為反饋系數(shù)的參數(shù)根軌跡。 反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡的繪制步驟是，首先將系統(tǒng) 的特征方程 整理成如下形式 的根軌跡方程，即,,,,,,退出,,,式中 以s 和參數(shù)X 為自變量的開環(huán) 傳遞函數(shù)； X 非開環(huán)增益的參變量； 不含參變量X 的復變

18、量s 的多 項式，其中s 最高次冪項的系數(shù)需 化成+1，即需將化成開環(huán) 傳遞函數(shù)的標準形式，即,,,,退出,,,其次，根據(jù)式（27）右側(cè)是-1，按繪制180根 軌跡規(guī)則繪制，式（27）右側(cè)是+1按照0根軌 跡規(guī)則繪制。同繪制以開環(huán)增益為參變量的普通 根軌跡一樣，來繪制參變量是x=0的參數(shù)根 軌跡。下面舉例消化如下： 例題4.(教材例4-9)已知系統(tǒng)的特征方程為 ，試畫出以a為參變量的根軌跡圖，并求出使阻 尼比為0.5時a 的值。,,,退出,,,解： 1.恰當處理 用 去除特征方程的兩邊得 即 其中 2.按繪制180根軌跡規(guī)則，繪制參量根軌跡 (1)按規(guī)則

19、1，由于特征方程最高階次為3，因此 其根軌跡有三個分支。,,,,,,,,,退出,,,(2)按規(guī)則2，根軌跡的三個分支連續(xù)且對稱于實 軸。 (3)按規(guī)則3，根軌跡的三個分支起始于三個開環(huán) 極點，即 。由于m0，當a 時，三條根軌跡分別趨向無窮遠。 (4)作出開環(huán)零，極點分布圖如圖所示，按規(guī)則 4，整個負實軸都是根軌跡上的點。 (5)按規(guī)則5，求根軌跡的會合點。由,,,,,,,,,退出,,,退出,,,(6)按規(guī)則6，根軌跡的漸近線有nm3條。其與實軸的交點是( ，0)，其中 與實軸正方向的夾角是 (7)沒有復極點，復零點，故不用求入射角與出 射角。,,,,,,,退出,,,(7)沒有復極點，復零點，故不用求入射角與出 射角。 (8)按規(guī)則8，求根軌跡與虛軸的交點，將s j 代入特征方程得 得實部，虛部方程分別為 因此，根軌跡與虛軸的交點是2j。,,,,,,,,,,退出,,,3.求 時，a 的值 由于 由相角條件，結合圖420 得 則 。因此，OCD為直角三角形，OD2 則OC1，OA0.5，AC0.866。C點坐標為， 0.50.866 j 由幅值條件,,,,,,,,退出,,,,,,,,,,