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1、2012年河南省普通高等學(xué)校
選拔優(yōu)秀??飘厴I(yè)生進(jìn)入本科階段學(xué)習(xí)考試
高等數(shù)學(xué)
題 號
一
二
三
四
五
總 分
分 值
60
20
50
12
8
150
一、選擇題(每小題2分,共60分)
在每小題的四個備選答案中選出一個正確答案,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號.
1.函數(shù)的定義域是
A. B.
C. D.
解:.選C.
2.下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
A. B.
C. D.
解:A、D為非奇非偶函數(shù),B為偶函數(shù),C為奇函數(shù)。選B.
3.當(dāng)時,下列無窮小量中與等價的是
A.
2、B. C. D.
解:時,.選D.
4.設(shè)函數(shù),則是的
A.連續(xù)點 B.可去間斷點
C.跳躍間斷點 D.第二類間斷點
解:處沒有定義,顯然是間斷點;又時的極限不存在,故是第二類間斷點。選D.
5.函數(shù)在點處
A.極限不存在 B.間斷
C.連續(xù)但不可導(dǎo) D.連續(xù)且可導(dǎo)
解:函數(shù)的定義域為,,顯然是連續(xù)的;又,因此在該點處不可導(dǎo)。選C.
6.設(shè)函數(shù),其中在處連續(xù)且,則
A.不存在 B.等于
C.存在且等于0 D.存在且等于
解:易知,且,
.故不存在。選A.
7.若函數(shù)可導(dǎo),,則
A. B.
C. D.
解:根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可知:.選B.
8.曲線有水平漸
3、近線的充分條件是
A. B.
C. D.
解:根據(jù)水平漸近線的求法可知:當(dāng)時,,即時的一條水平漸近線,選B.
9.設(shè)函數(shù),則
A. B.
C. D.
解:對兩邊同時求微分有:,所以
.選D.
10.曲線在點處的切線斜率是
A. B. C. D.
解:易知,,
,故.選B.
11.方程(其中為任意實數(shù))在區(qū)間內(nèi)實根最多有
A.個 B.個 C.個 D.個
解:令,則有,即函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的,故最多只有一個實根。選D.
12.若連續(xù),則下列等式正確的是
A. B.
C. D.
解:B、C的等式右邊缺少常數(shù)C,D選項是求微分的,等式右邊缺少dx.選A.
4、13.如果的一個原函數(shù)為,則
A. B.
C. D.
解:的一個原函數(shù)為,那么所有的原函數(shù)就是
.所以.選C.
14.設(shè),且,則
A. B.
C. D.
解:因為,所以,又,故..選B.
15.
A. B.
C. D.
解:本題是變下限積分的題。利用公式可知
.選B.
16.
A. B. C. D.
解:
.選C.
17.下列廣義積分收斂的是
A. B.
C. D.
解:A選項中,故發(fā)散;
B選項中根據(jù)結(jié)論,當(dāng)時發(fā)散,本題中,故發(fā)散;
C選項中根據(jù)結(jié)論,當(dāng)時發(fā)散,本題中,故發(fā)散;
D選項中,故收斂。選D.
18.微分方程是
A.二階非線
5、性微分方程 B.二階線性微分方程
C.一階非線性微分方程 D.一階線性微分方程
解:最高階導(dǎo)數(shù)是二階導(dǎo)數(shù),并且不是線性的。選A.
19.微分方程的通解為
A. B.
C. D.
解:這是可分離變量的方程。有,兩邊同時積分有
,即.選B.
20.在空間直角坐標(biāo)系中,若向量與軸和軸正向的夾角分別為和,則向量與軸正向的夾角為
A. B. C. D.或
解:對空間的任意一個向量有,現(xiàn)有,從而解得,所以為或.選D.
21.直線與平面的位置關(guān)系是
A.直線在平面內(nèi) B.平行
C.垂直 D.相交但不垂直
解:直線的方向向量為,平面的法向量為,且,直線上的點不在平面內(nèi),所以故該直線
6、和平面平行。選B.
22.下列方程在空間直角坐標(biāo)系中表示的圖形為旋轉(zhuǎn)曲面的是
A. B.
C. D.
解:根據(jù)旋轉(zhuǎn)曲面方程的特點,有兩個平方項的系數(shù)相同,故選C.
23.
A. B. C. D.
解:.選B.
24.函數(shù)在點處可微是在該點處兩個偏導(dǎo)數(shù)和存在的
A.充分條件 B.必要條件
C.充分必要條件 D.既非充分又非必要條件
解:可微可以退出偏導(dǎo)數(shù)存在,但是僅有偏導(dǎo)數(shù)存在退不出可微,故是充分而非必要條件。選A.
25.已知,則
A. B.
C. D.
解:.選C.
26.冪級數(shù)的和函數(shù)為
A. B. C. D.
解:由,可知.選B.
27.下列級數(shù)發(fā)散
7、的是
A. B.
C. D.
解:A選項中一般項趨于,故發(fā)散;
B、C選項是交錯級數(shù),滿足萊布尼茨定理,故收斂;D選項根據(jù)結(jié)論中時收斂,本題中,故收斂。選A.
28.若級數(shù)在點處條件收斂,則在,,,,中使該級數(shù)收斂的點有
A.個 B.個 C.個 D.個
解:該級數(shù)的中心點是2,又在點處條件收斂,所以可以確定收斂區(qū)間為.故在,處收斂。選C.
29.若是曲線上從點到的一條連續(xù)曲線段,則曲線積分的值為
A. B.
C. D.
解:,,且有,因此該積分與積分路徑無關(guān)。令該積分沿直線上點到積分,可有.選C.
30.設(shè),則交換積分次序后,可化為
A. B.
C. D.
解:積
8、分區(qū)域可寫為:
,在圖象中表示為
1
2
1
x
y
由此可知,積分區(qū)域還可表示為.因此積分可表示為.選A.
二、填空題(每小題2分,共20分)
31.已知,則 .
解:,,因此.
32.設(shè)函數(shù),則 .
解:,.
33.如果函數(shù)在點處可導(dǎo)且為的極小值,則 .
解:因為極值點是或者不存在的點,現(xiàn)已知函數(shù)在點處
可導(dǎo),所以.
34.曲線的拐點是 .
解:,.令,可得,此時;
并且當(dāng)時,;當(dāng)時,.因此拐點為.
35.不定積分 .
解:
36.微分方程滿足的特解為 .
解:原方程對應(yīng)的齊次線性微分方程為,可
9、解得.用常數(shù)
變易法,可求得非齊次線性微分方程的通解為.將代入有.所以對應(yīng)的特解為.
37.向量在上的投影為 .
解:,,,
故向量在向量上的投影.
38.設(shè)方程所確定的隱函數(shù)為,則 .
解:令.則有,所以
.由于時,.代入可知.
39.設(shè)積分區(qū)域為:,則 .
解:,而積分區(qū)域表示的是以為圓心,2為半徑的圓,所以
,即.
40.若(),則正項級數(shù)的斂散性為 .
解:,由比較判別法的極限形式可知,級數(shù)和
有相同的斂散性,故正項級數(shù)是發(fā)散的。
三、計算題(每小題5分,共50分)
41.求極限.
解:原式
.
42.已知參數(shù)方程(為參數(shù)
10、),求.
解:因為
所以 .
43.求不定積分.
解:令,則,且
于是
原式
.
44.求.
解:原式.
45.求微分方程的通解.
解:原方程的特征方程為
特征方程的根為
所以原方程的通解為 .
46.求函數(shù)的極值.
解:由解得駐點
又
對于駐點,因為
所以,于是點不是函數(shù)的極值點.
對于駐點有
于是
所以函數(shù)在點處取極大值為.
47.求過點且與直線平行的直線方程.
解:因為所求直線平行于直線
11、
所以所求直線的方向向量為
由直線的點向式方程可得,所求的直線方程為
.
48.求函數(shù)的全微分.
解:由于
所以
.
49.計算,其中為圓環(huán):.
解:在極坐標(biāo)系下,區(qū)域(如第49題圖所示)可以表示為
所以
.
50.求冪級數(shù)的收斂域.
解:因為
所以原級數(shù)的收斂半徑為
也就是,當(dāng),即時,原級數(shù)收斂.
當(dāng)時,原級數(shù)為是交錯級數(shù)且滿足,,所以它是收斂的;
當(dāng)時,原級數(shù)為,這是一個的級數(shù),所以它是發(fā)散的;
所以,原級數(shù)的收斂域為.
四、應(yīng)用題(每小題6分,共12分)
51.求函數(shù)在時的最大值,并從數(shù)
12、列,,,,,,中選出最大的一項(已知).
解:因為
令,解得唯一駐點.
又因為在區(qū)間內(nèi),嚴(yán)格單調(diào)增加;在區(qū)間內(nèi),嚴(yán)格單調(diào)減少;而又在區(qū)間連續(xù),所以在處取最大值.
已知,由上知于是數(shù)列的第三項是此數(shù)列中最大的一項.
52.過點作曲線的切線,該切線與此曲線及軸圍成一平面圖形.試求平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.
解:設(shè)切線與曲線相切于點(如第52題圖所示),
第52題圖
由于
則切線方程為
因為切線經(jīng)過點,
所以將代入上式得切點坐標(biāo)為
從而切線方程為
因此,所求旋轉(zhuǎn)體的體積為
.
五、證明題(8分)
53.證明不等式:,其中為正整數(shù).
證明:設(shè),則在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),故在區(qū)間上滿足拉格朗日中值定理條件,
于是,至少存在一點,使得
又因為,故,從而有
所以 .
15