《船有觸礁的危險嗎》教案

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1、1.４ 船有觸礁的危險嗎 教學目標 1.經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的應用。 　 ２。能夠把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，能夠借助于計算器進行有關三角函數(shù)的計算，并能對結(jié)果的意義進行說明。 3。在經(jīng)歷弄清實際問題題意的過程中，畫出示意圖，培養(yǎng)獨立思考問題的習慣和克服困難的勇氣?！? 　　 教學重點 　 1．經(jīng)歷探索船是否有觸礁危險的過程,進一步體會三角函數(shù)在解決問題過程中的作用。 2.發(fā)展學生數(shù)學應用意識和解決問題的能力. 教學難點 　　 根據(jù)題意，了解有關術語，準確地畫出示意圖。 教學方法 探索

2、——發(fā)現(xiàn)法 教具準備 　 多媒體演示 教學過程 一、創(chuàng)設問題情境，引入新課 　 ［師]直角三角形就像一個萬花筒，為我們展現(xiàn)出了一個色彩斑瀾的世界。我們在欣賞了它神秘的“勾股"、知道了它的邊的關系后，接著又為我們展現(xiàn)了在它的世界中的邊角關系，它使我們現(xiàn)實生活中不可能實現(xiàn)的問題，都可迎刃而解.它在航海、工程等測量問題中有著廣泛應用,例如測旗桿的高度、樹的高度、塔高等． 　下面我們就來看一個問題（多媒體演示)。 海中有一個小島Ａ，該島四周10海里內(nèi)有暗礁.今有貨輪由西向東航行，開始在A島南偏西55°的B處，往東行駛20海里后，到達該島的南偏西２5°的C處，之后,貨輪

3、繼續(xù)往東航行，你認為貨輪繼續(xù)向東航行途中會有觸礁的危險嗎?你是如何想的?與同伴進行交流。 　 下面就請同學們用銳角三角函數(shù)知識解決此問題．（板書：船有觸礁的危險嗎) 二、講授新課 　［師]我們注意到題中有很多方位,在平面圖形中，方位是如何規(guī)定的? 　 　 ［生］應該是“上北下南，左西右東”。 　 ［師］請同學們根據(jù)題意在練習本上畫出示意圖，然后說明你是怎樣畫出來的． ［生]首先我們可將小島Ａ確定，貨輪B在小島A的南偏西５5°的B處，C在B的正東方，且在Ａ南偏東25°處。示意圖如下. 　　　 ［師]貨輪要向正東方向繼續(xù)行駛,有沒有觸礁的危險，由誰來決定?

4、 　 ［生]根據(jù)題意，小島四周10海里內(nèi)有暗礁，那么貨輪繼續(xù)向東航行的方向如果到A的最短距離大于10海里,則無觸礁的危險,如果小于１0海里則有觸礁的危險。A到ＢＣ所在直線的最短距離為過A作ＡD⊥BＣ，D為垂足,即AＤ的長度。我們需根據(jù)題意，計算出ＡＤ的長度，然后與10海里比較. 　 　 ［師]這位同學分析得很好，能將實際問題清晰條理地轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題。下面我們就來看AD如何求．根據(jù)題意，有哪些已知條件呢? 　 [生］已知BC°＝20海里，∠BＡD=55°，∠CAD＝２5°. [師］在示意圖中,有兩個直角三角形Rt△ABD和Rｔ△ＡCD。你能在哪一個三角形中求出ＡD呢？

5、 ?。凵菰赗t△ＡＣD中,只知道∠CAD＝25°，不能求AD． 　 ［生]在Rt△ABD中,知道∠ＢAＤ=５5°，雖然知道BC=２0海里，但它不是Rt△ABD的邊，也不能求出AD. ［師］那該如何是好？是不是可以將它們結(jié)合起來，站在一個更高的角度考慮? 　 [生]我發(fā)現(xiàn)這兩個三角形有聯(lián)系，AD是它們的公共直角邊.而且BC是這兩個直角三角形BD與CD的差，即BＣ＝BＤ—CD.ＢD、ＣD的對角是已知的，BＤ、ＣD和邊AD都有聯(lián)系. 　 ［師］有何聯(lián)系呢？ ［生］在Rｔ△ＡBD中,tan5５°=，BD=AＤtａn55°;在Ｒt△ACD中，ｔaｎ２5°=，ＣD

6、＝ＡDtａn25°. ［生］利用BC=BＤ-CD就可以列出關于AＤ的一元一次方程,即AＤtａn5５°—AＤtａn25°＝２0. ［師]太棒了!沒想到方程在這個地方幫了我們的忙。其實,在解決數(shù)學問題時，很多地方都可以用到方程，因此方程思想是我們初中數(shù)學中最重要的數(shù)學思想之一.下面我們一起完整地將這個題做完。 ［師生共析]解：過Ａ作ＢC的垂線,交BC于點D.得到Rt△ＡBD和Rt△ACD，從而ＢD＝AＤtaｎ５5°，CD=ADtａｎ２5°，由BD-ＣＤ＝BC，又BC＝２0海里.得 ?。粒膖aｎ55°—AＤtan２5°＝20. AD(tan55°－tａ

7、n2５°）=20, ＡD=≈20。79（海里)。 　　 這樣AD≈２０．79海里〉1０海里，所以貨輪沒有觸礁的危險. [師］接下來，我們再來研究一個問題．還記得本章開頭小明要測塔的高度嗎?現(xiàn)在我們來看他是怎樣測的，并根據(jù)他得到的數(shù)據(jù)幫他求出塔的高度。 　　　多媒體演示想一想你會更聰明： 如圖，小明想測量塔CＤ的高度.他在A處仰望塔頂,測得仰角為30°，再往塔的方向前進５０m至B處.測得仰角為60°．那么該塔有多高?（小明的身高忽略不計，結(jié)果精確到１ m) 　 ［師］我想請一位同學告訴我什么是仰角？在這個圖中，30°的仰角、６０°的仰角分別指哪兩個角？ 　

8、 ［生］當從低處觀測高處的目標時，視線與水平線所成的銳角稱為仰角。30°的仰角指∠ＤAC，６0°的仰角指∠DＢC． 　　 ［師]很好!請同學們獨立思考解決這個問題的思路，然后回答． 　 （教師留給學生充分的思考時間,感覺有困難的學生可給以指導） 　　　 [生］首先，我們可以注意到ＣD是兩個直角三角形Rt△ADＣ和Rt△BDC的公共邊，在Ｒt△AＤC中，tan30°=, 即ＡC=在Ｒｔ△ＢDC中,tan6０°＝, 即BC=,又∵AＢ=AＣ—BＣ=50 ｍ,得 -＝50. 解得ＣD≈4３（m）， 　 即塔CD的高度約為43　m. 　 　[生］我有

9、一個問題，小明在測角時，小明本身有一個高度，因此在測量CD的高度時應考慮小明的身高. 　［師］這位同學能根據(jù)實際大膽地提出質(zhì)疑，很值得贊賞.在實際測量時.的確應該考慮小明的身高，更準確一點應考慮小明在測量時，眼睛離地面的距離. 　如果設小明測量時，眼睛離地面的距離為１。6　m,其他數(shù)據(jù)不變，此時塔的高度為多少?你能畫出示意圖嗎？ ［生]示意圖如右圖所示，由前面的解答過程可知ＣC′≈43 m，則ＣD＝43+1．６=4４.６ m.即考慮小明的高度，塔的高度為44。6 ｍ． 　 [師］同學們的表現(xiàn)太棒了.現(xiàn)在我手里有一個樓梯改造工程問題,想請同學們幫忙解決一下.

10、 　多媒體演示:某商場準備改善原來樓梯的安全性能，把傾角由40°減至３５°，已知原樓梯長為4　m，調(diào)整后的樓梯會加長多少？樓梯多占多長一段地面？（結(jié)果精確到０.０l(fā) ｍ) 請同學們根據(jù)題意，畫出示意圖，將這個實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題，（先獨立完成，然后相互交流，討論各自的想法） 　 　 [生］在這個問題中,要注意調(diào)整前后的梯樓的高度是一個不變量．根據(jù)題意可畫㈩示意圖(如右圖).其中ＡB表示樓梯的高度。AC是原樓梯的長，BC是原樓梯的占地長度；AD是調(diào)整后的樓梯的長度，DB是調(diào)整后的樓梯的占地長度。∠ACB是原樓梯的傾角,∠AＤB是調(diào)整后的樓梯的傾角。轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題即為: 　

11、如圖，AB⊥DB，∠AＣB＝40°，∠ADＢ=35°，AC=4ｍ。求AＤ－AC及DＣ的長度。 　 　 ［師]這位同學把這個實際樓梯調(diào)整問題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學問題。大家從示意圖中不難看出這個問題是前面問題的變式．我相信同學們一定能用計算器輔助很快地解決它,開始吧！ ［生]解:由條件可知,在Rt△ABC中，siｎ4０°＝，即AＢ＝4ｓin40°m，原樓梯占地長BＣ=4cos40°m. 　 　調(diào)整后，在Rt△ADB中,sin35°=，則AD=m．樓梯占地長DＢ=m。 ∴調(diào)整后樓梯加長ＡD-AC＝—4≈0。48(m)，樓梯比原來多占DＣ=ＤB－ＢＣ=　—4cｏs40°≈０．61（m

12、）。 　 三.隨堂練習 　 1。如圖，一燈柱ＡB被一鋼纜CＤ固定，ＣＤ與地面 成40°夾角,且DB＝5 m，現(xiàn)再在C點上方2m處加固 另一條鋼纜ＥD，那么鋼纜ED的長度為多少? 解：在Rt△CBD中，∠CＤB=４0°, DB=5 ｍ，ｓｉn4０°= ，ＢC=DＢｓin40°=5siｎ40°(m）。 在Rｔ△EDB中，DB=5 m， BE＝BC+EC=2+５ｓin40°(ｍ）． 　根據(jù)勾股定理，得DE=≈７．96（m). 所以鋼纜ED的長度為7。96 m. 2．如圖，水庫大壩的截面是梯形AＢＣD， 壩頂AＤ=6 ｍ，坡長CD＝８　

13、ｍ.坡底 BC＝30　m，∠ADC=135°． 　 　(１）求∠ABＣ的大?。? （2）如果壩長1００ m。那么建筑這個大壩共需多少土石料？（結(jié)果精確到０．01　m3) 　 解：過A、D分別作AＥ⊥BC,DＦ⊥BC，Ｅ、Ｆ為垂足. 　 　 （1)在梯形ＡBCＤ中．∠AＤC=１3５°， ∴∠FＤC=４5°,EF＝AD=６ m。在Rt△FＤC中,DC=８ m。DＦ=FC=CD．sin4５°=4 (ｍ). ∴ＢＥ=BC－CＦ—EＦ=3０—4—6=24—4(m）. 在Ｒt△AＥB中,ＡE=DF=4 (m）。 　 tanABC=≈0。3０8．

14、 　∴∠ABＣ≈17°8′21″. 　 (２)梯形AＢＣＤ的面積S=(AＤ＋BＣ）×ＡE 　 =?。?+3０）×4 ＝72　（m2）. 壩長為100　m，那么建筑這個大壩共需土石料100×72　≈１01８２.3４（m3）． 　 綜上所述，∠ＡＢC=1７°８′21″，建筑大壩共需1０18２。34?。?土石料。 四、課時小結(jié) 　本節(jié)課我們運用三角函數(shù)解決了與直角三角形有關的實際問題,提高了我們分析和解決實際問題的能力. 　　其實,我們這一章所學的內(nèi)容屬于“三角學"的范疇.請同學們閱讀“讀一讀",了解“三角學”的發(fā)展,相信你會對“三角學”更感興趣.

15、 　 五、課后作業(yè) 　習題1．６第１、2、3題． 六、活動與探究 如圖，某貨船以20海里／時的速度 將一批重要物資由A處運往正西方向的B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨.此時．接到氣象部門通知，一臺風中心正以4０海里/時的速度由A向北偏西6０°方向移動,距臺風中心2０0海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均受到影響. （1）問：B處是否會受到臺風的影響?請說明理由. 　(２）為避免受到臺風的影響,該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物？（供選用數(shù)據(jù)：≈1。4,　≈1．７） ［過程］這是一道需借助三角知識解決的應用問題，需抓住問題的本質(zhì)特征.在轉(zhuǎn)化

16、、抽象成數(shù)學問題上下功夫。 　 ?。劢Y(jié)果]（1）過點B作ＢD⊥AC.垂足為D。 依題意,得∠ＢAC＝3０°，在Rt△ABD中，ＢＤ= AB=×20×１６＝160<200, 　 　∴B處會受到臺風影響． （2）以點B為圓心,200海里為半徑畫圓交AＣ于Ｅ、F，由勾股定理可求得DＥ=１20。ＡD=160。?。罞=ＡD－DE＝160 －１20， ∴=3.8（小時）. 因此，陔船應在3．８小時內(nèi)卸完貨物． 板書設計 　 1.４　　船有觸礁的危險嗎 一、船布觸礁的危險嗎 1。根據(jù)題意，畫出示意圖。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題。 ２。用三角函數(shù)和方程的思想解決關于直角三角形的問題． ３．解釋最后的結(jié)果． 二、測量塔高 三、改造樓梯 文中如有不足，請您指教！ 9 / 9