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1、第一章 第二節(jié) 線性變換及其矩陣,主要內容： 線性變換 線性變換的運算 線性變換的值域與核,第二節(jié) 線性變換及其矩陣,線性變換的矩陣表示 相似矩陣 線性變換的特征值與特征向量 不變子空間（自學） Jordan標準型介紹,一、線性映射（變換）的定義及運算,則稱T是從V到W的一個線性映射或線性算子。,設V,W是數(shù)域F上的兩個線性空間，T是從V到W的一個映射，如果對于,當 V=W時, T也稱為V上的一個線性變換。,,例1 恒等變換,例2 0-變換,線性變換舉例：,例3 求導運算是多項式空間C n x上的線性變換。,例4 定義在閉區(qū)間a,b上的所有連續(xù)函數(shù)的集合Ca,b是一個線性空間，則Ca,b的積分
2、運算是線性變換。,線性映射（變換） 有以下性質：,（3）T將V中的線性相關向量組映射為W中的線性相關向量組，但把線性無關向量組不一定映射為W中的線性無關向量組；,（4）設 則,并且,可以驗證，線性空間V的線性變換經加法與數(shù)乘運算后仍為線性變換，并且滿足下列基本性質,設 都是線性空間V的線性變換，定義線性變換的加法，,設T是線性空間V的一個線性變換，k是數(shù)域F上的一個數(shù)，定義線性變換的數(shù)乘，,（2） 結合律,（1） 交換律,線性變換的運算：,（8）,（3） 存在零變換o,,（4） 存在負變換-T,,（5） 第一分配律,（6） 第二分配律,（7） 結合律,令,表示n維線性空間V的所有線性
3、變換的集合，則,在線性變換的加法與數(shù)乘運算下構成數(shù)域F上的一個 維線性空間。,容易驗證線性空間V上線性變換的積也是一個線性變換，并且滿足下述性質 （1） 結合律,設 都是線性空間V的線性變換，定義線性變換的積，,需要注意的是，線性變換的積一般不滿足交換律，即,（2） 分配律,例：在 中定義線性變換：,由于,則,當T是可逆變換時，定義,設T是線性空間V的一個線性變換，,是一個多項式，則T的多項式為,若線性變換的積可交換，即,則稱,可交換的。,此時也稱 是可逆線性變換。,線性變換的值域與核,設T是n維線性空間V的一個線性變換，定義T的值域R(T)與核 N (T)分別為,設A是n階矩陣，A的值域
4、R(A)與核N (A)分別為,--T的全體象組成的集合,--被T變成零向量的向量組成的集合,實例,求導運算T在多項式空間C n x上的值空間R(T)與核空間N (T)分別為,注： C n xR(T)+N(T),R(T)=L1 , x , x2 , , x n-1 N(T)= 1 ,（1） T的值域R(T)與核N (T)都是V的子空間；,（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.,則,定理：設T是n維線性空間V的一個線性變換， 是n維線性空間V的基，,分別稱為象子空間，核子空間；,象子空間的維數(shù)dim R(T) 稱為T的秩，核子空間的維數(shù)稱為T的零度（或虧）,證（3）,設,把它擴充為V的
5、一組基,則有,要證,設,則有,即,所以,是V的一組基，則,線性無關。,（3）dim(R(T))+dim(N(T))=n.,例 在 中定義T：,求T的值域與核，并確定其秩與零度。,解：容易驗證T為 上的線性變換，設,則由,解得,從而,T的零度為0；,T的秩為3；,又因為,所以,設T是n維線性空間V的一個線性變換，,是n維線性空間V的基，,稱A為T在基 下的矩陣。,二、線性變換的矩陣表示,（2）給定n維線性空間V的基后，V上的線性變換與n階矩陣之間存在一一對應關系。,基向量的象可以被基線性表出，即,說明（1）矩陣A的第i列恰是 的坐標；,（4）設n維線性空間V的一個線性變換T在基,下的矩陣
6、為,是n維線性空間V的基，,（3）設T1，T2是n維線性空間V的兩個線性變換，,T1，T2在該基,下的矩陣為,（5）設 是純量多項式，T,為V中的線性變換，且對V的基 有,則V的線性變換f(T)在該基下的矩陣為：,其中f(A)稱為矩陣A的多項式。,例1、試確定在多項式空間Pn x上的求導運算T分別在下列兩組基下的表示矩陣,說明：同一線性變換在不同基下的表示矩陣一般是不同的，它們之間的關系是相似矩陣。,例2、在R3中線性變換T將基 變?yōu)榛?其中,（1）求T在基 下的表示矩陣；,（2）求向量 及,在基 下的坐標,解（1）依題意,則,（2）設,則,證明,定理
7、：T在基 下的矩陣為A，,在基 下的矩陣為B，,從基 到基 的過渡矩陣為P，則,再由 線性無關可得：,從而有,相似矩陣,矩陣的相似關系是一個等價關系，可以利用這一關系將n階矩陣劃分為若干等價類.進而得出 1 n維線性空間V的同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的。 2 n維線性空間V的一個線性變換與n階矩陣的一個等價類一一對應。,設,如果存在可逆矩陣P，使得,已知A與B相似，則,為純量多項式,則,例3、設T是 的線性變換，,有,求T在基,下的表示矩陣。,解法一：直接法（同例1）,解法二：利用同一線性變換在不同基下的表示矩陣是相似矩陣這一結論。,選取一組簡單基：,基,到基的過渡
8、矩陣為,基,在T下的象為：,T在基 下的表示矩陣為：,則T在基 下的表示矩陣為：,定義 設T是n維線性空間V的一個線性變換,對于數(shù) ，如果存在非零向量 ，使得，,（2）特征值 的全體特征向量及零向量組成的集合是一線性空間，記為,則稱 是T的特征值， 是T的屬于 的特征向量，簡稱特征向量。,稱為V的特征子空間,性質（1）若 是對應于特征值 的特征向量，則 也是對應于特征值 的特征向量；,下面討論確定線性變換特征值與特征向量的方法,三、線性變換的特征值與特征向量,設 是n維線性空間V的一組基,線性變換T在這組基下的矩陣為,令 是T的特征值， 是T的屬
9、于 的特征向量。,設 關于基的坐標為,關于基的坐標分別為,則,從而有,因此 滿足,矩陣的特征值,定義矩陣A的特征多項式為,X是A屬于 的特征向量。,則稱 是A的特征值，,設A是n階矩陣，,給定一個n階矩陣A,為A的特征矩陣。,稱,為矩陣A的特征方程。,稱,例,計算A的特征值與特征向量。,計算過程,A的特征向量,矩陣A的特征多項式為,A的特征值為,對于,解方程組(-I-A)X=0,得特征向量 x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T,對于,解方程組(5I-A)X=0,得特征向量 x3=(1,1, 1)T,從以上的討論可知：欲求線性變換T的特征值和特征向量，只要求出T的矩陣A的特征值和特
10、征向量。,T的特征值就是A的特征值，而T的特征向量在線性空間V的基下的坐標與A的特征向量一致。,例：設線性變換T在線性空間V中的一組基 下的矩陣為,求T的特征值和特征向量,計算過程,的特征向量,矩陣A的特征多項式為,T的特征值為,對于,解方程組(-I-A)X=0,得基礎解系： x1=(1,0,-1)T,X2=(0,1,-1)T,解方程組(5I-A)X=0,得基礎解系x3=(1,1, 1)T,對于,T的屬于,T的全體特征向量為,(1) 特征多項式相等，即 (2) 行列式相等，跡相等 (3) 秩相等 (4) 特征值相同。,相似矩陣的性質,例 設A與B相似,求參數(shù)a及b,解 依相似矩陣的性質,可
11、得方程組：,特征值性質,設矩陣A=(a ij )的特征多項式為,矩陣的譜,稱m i 是特征值 的代數(shù)重復度。,設A是n階矩陣，A的相異特征值的集合,稱為矩陣A的譜.,設矩陣A的特征多項式為,A的特征子空間,稱n i 為 的幾何重復度。,設A是n階矩陣,定義A的相應于特征值 的特征子空間為,定理 n階矩陣A的任一特征值的幾何重復度不大于 代數(shù)重復度。,定理 n階矩陣A的任一特征值的幾何重復度不大于代數(shù)重復度。,證明 設A是線性空間C n的線性變換T在某組基下的表示矩陣， m i ， n i是特征值 的代數(shù)重復度與幾何重復度，對于特征子空間W,存在補空間V,使得,則T在此基下的表示矩陣為,取W
12、與V的一組基，不妨記做,因為A與B相似，故,所以， 的代數(shù)重復度不小于n i,定義 設V,W是數(shù)域F上的兩個線性空間，T是從V到W的一個線性映射，如果T是1-1映射，則稱T是從V到W的一個同構映射；并稱線性空間V,W是同構的。,線性空間V,W是同構的意義在于它們有相同的代數(shù)性質,定理 設T是從V到W的一個同構變換，則,T將V的線性無關組變換為W的線性無關組;,T將V的基變換為W的基;,(1),(2),(3),(4),例 R上的任意n維線性空間V與n維向量空間 是同構的；n維線性空間V的所有線性變換形成的 維線性空 間 與 階矩陣形成的線性空間同構。,設T是n維線性空間V的一個線性變換，S是V的一個子空間，稱S是V的一個關于T的不變子空間，如果,四、不變子空間,（1）T的值空間R(T)與核空間N (T)都是T的不變子空間。 （2）T的特征子空間是T的不變子空間。,例 設T是n維線性空間V的一個線性變換，,
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