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1、3.1 平方根(教案)
浙教版 七年級上冊 第三章
一、教學目標
1.經(jīng)歷平方根概念的抽象過程；
2.了解平方根的概念，會用根號表示；
3.理解平方根的性質；
4.了解平方與開平方互為逆運算，會用平方運算求平方根。
二、教學重點、難點
重點：平方根的概念和求法。
難點：平方根的概念比較抽象復雜，并且涉及到符號表示，是本節(jié)課的難點。
三、 教學過程
1. 算一算
（1）上述計算涉及到哪些運算？它們中互為逆運算的是哪些？（2）乘方有沒有逆運算？
【設計意圖】以一道計算結果為711的有理數(shù)加、減、乘、除、乘方混合運算作為課前
2、檢測有三重考量，一方面可以鞏固第二章所學知識，另一方面可以引出本節(jié)課的課題同時還可以極大程度上調動本節(jié)課的學習積極性（本節(jié)課執(zhí)教班級為711班）。
2. 填一填
一個數(shù)的平方為：
4
16
1.44
0
這個數(shù)是：
x2=a(a≥0)
x
3.抽象概念
一般地，如果一個數(shù)的平方等于 a ，這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做a 的二次方根。
即：若 x2 = a,則 x 叫做 a 的平方根。
如：∵ （ ± 2 ）2 =4 , 再如：∵ 02 = 0,
∴ 4的平方根是± 2 . ∴0的平方
3、根是0.
【設計意圖】以學生口答表格中的問題為出發(fā)點，循序漸進用字母表示數(shù)字，由此抽象出平方根的概念，符合學生的認知規(guī)律，水到渠成。
4.例1.求下列各數(shù)的平方根：
（1）49 （2） （3）0.36 （4）
求一個數(shù)的平方根的運算叫做開平方。
問：根據(jù)例題的解答過程，請用兩個字準確概括開平方運算與平方運算之間的關系嗎？
【設計意圖】通過例1加深學生對平方根概念的認知，在引導學生利用平方運算求一個數(shù)的平方根的同時引出開平方運算的概念以及平方運算和開平方運算的互逆關系。
4、
5. 說一說 說一說下面各數(shù)的平方根分別是多少？ 4 ，0， 0.01，，-4，-16
問：請你根據(jù)原數(shù)的正負性，結合結果的平方根個數(shù)等因素總結出一條你認為成立規(guī)律。
6.性質形成
一個正數(shù)有正負兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。
【設計意圖】在學生得到上面各數(shù)的平方根以后，設置具有引導作用的有效提問助推學生一步步得到平方根的性質，順理成章。
7.練一練 判斷下列說法是否正確：
（1）沒有平方根; （ ） （2）7的平方根是49； （ ）
（3） （－2）2的平方根是±2； （ ） （4）
5、若x2 = 16 ，則x= 4； （ ）
（5）1 是 1的平方根;（ ） （6）1 的平方根是 1； （ ）
【設計意圖】鞏固新知。重點和學生一起辨析（5）和（6），感受隱藏在數(shù)學學習過程中的文字趣味性。
8.性質應用
我校為了迎接元旦文藝匯演，要求每一名學生上交一份自己滿意的美術作品。711班的小王同學想裁剪出一塊面積為4 dm2的正方形畫布用來完成作品。請問他的作品的邊長應是多少？
問：小王的作品可以是3 dm2的正方形畫布嗎？請說明你的理由。3的平方根該如何表示？
【設計意圖】根據(jù)學生的學習經(jīng)驗，“找不到”一個數(shù)的平方剛
6、剛好等于3，在這樣的情形之下，峰回路轉，引出平方根的符號表示，恰到好處。
9.表示方法（自主學習）
一個正數(shù)a的正平方根用表示(讀做“根號a”)； a的負平方根用表示(讀做“負根號a”)，因此，一個正數(shù)a的平方根就用表示，(讀做正、負根號a”)，其中a叫做被開方數(shù)。
如：9的平方根是± 3，即； 再如：25的負平方根是-3，即
正數(shù)的正的平方根稱為算術平方根，0的算術平方根是0.一個數(shù)a(a≥0)的算術平方根記做。如：4的算術平方根是2 ，即.
對文字語言和符號語言進行說明。
9-1.我能行（自學效果檢測、點撥）
問題1. 數(shù)字0.000001的平方根是多少？
7、（請同時選擇文字語言和符號語言回答這一問題。）
9-2.辨一辨（自學效果檢測、點撥）
問題2.請結合自學部分辨一辨下列3個符號所表示的意義。
【設計意圖】此部分可以說是本節(jié)課的重中之重，很多同學對這里提及到的三種符號往往會混淆，尤其是第一次接觸，更是云里霧里。此部分通過“先學后教”的教學模式，讓學生經(jīng)歷自主學習在先和教師斷后的模式，充分感受平方根的符號語言同文字語言的巧妙互化，突出重點，突破難點。
10. 例2：先說出下列各式的意義，再計算。
11. 練習：填空
⑴表示25的_________； ⑵表示16的_____
8、______;
⑶表示___________; (4) 9的算術平方根是_________;
(5)（－4）2的平方根是_________ (6) 5的平方根可表示_________;
(7) 3的算術平方根可表示_____;
小貼士：既可以表示結果又可以表示過程，當能開的出來時，它是過程，開不出來時它是結果。
【設計意圖】知識鞏固與運用，讓學生對根號有個全新的認識，它既可以表示結果又可以表示過程。識得廬山真面目才能會當凌絕小，一覽眾山小。
12. 議一議
（1） .的平方根是 _______ （2）平方根等于它本身的數(shù)是_____
9、__
（3）.算術平方根等于它本身的數(shù)是________ （4）.算術平方根和平方根相等的數(shù)是_______
（5）.若x+2和3x-14是某一個正數(shù)的兩個不相等的平方根，則這個正數(shù)是_______
【設計意圖】此部分是本節(jié)課的易錯點。關于（1），學生極易錯誤地以為就是求16的平方根；關于（2），學生很有可能會認為1的平方根是1，等于它本身，符合條件；至于（5），初學者往往想不到運用平方根的性質去求出x，當然還會有一些同學自以為求出x就是最終的答案，殊不知題目要求我們求的是“這個正數(shù)”而非x。
四.課堂小結
（1）.一種運算+一個性質：開平方運算+平方根的性質；
（2）.兩個概念：
10、平方根和算術平方根；
（3）.三種特殊符號：，，
五.作業(yè)布置
(1).閱讀趣味鏈接--《根號的由來》，談談自己閱讀后的感受； (2).完成作業(yè)本 3.1 平方根。
【設計意圖】本部分讓學生于課后自主閱讀趣味鏈接--《根號的由來》，并談一談閱讀后的感受，旨在讓學生感受數(shù)學獨特的文化魅力，培養(yǎng)學生的數(shù)學文化素養(yǎng)。
六.擴一擴(機動題）
（1） . （2） .
（3）對于非負數(shù)，等于多少？
（4）對于任意數(shù)，等于多少？
（5）對于非負數(shù)，等于多少？
【設計意圖】機動題，根據(jù)課堂實際情況決定，如若課堂上不能完成，則作為回家作業(yè)。此部分內容的設計意圖是讓
11、學生通過兩個具體的實例得出其一般情形，引導學生當實在分不清結果是否有絕對值的時候，可以通過從“特殊到一般”的思路予以思考，并得出正確答案。當然，最主要的還是幫助學生從理論的角度對三個公式的正確性加以分析以達到真正熟練掌握的目的。
七、趣味鏈接
根號的由來
現(xiàn)在，我們已經(jīng)會用根號來表示平方根、立方根等，并感覺到使用起來既簡潔又方便，你知道根號是怎樣產(chǎn)生而又演變成現(xiàn)在這樣的嗎?
古時候，埃及人用記號“”表示平方根，印度人在開平方時，在被開數(shù)的前面寫ka，阿拉伯人用表示.1480年以后，德國人用一個點“·”來表示平方根，兩個點“··”表示4次方根，三個點表示立方根，比如，·3、··3、···
12、3就分別表示3的平方根、4次方根、立方根，到十六世紀初，可能是書寫快的緣故，小點上帶了一條細長的尾巴，變成了“”.1525年，路多爾夫在他的代數(shù)著作中，首先采用了根號，比如他寫是2，是3，并用表示.但這種寫法未得到普遍的認可與采納.
與此同時，有人采用“根”字的拉丁文radix中第一個字母的大寫R來表示開方運算，并且后面跟著拉丁文“平方”一字的第一個字母q，或“立方”的第一個字母c來表示開的是多少次方.例如，現(xiàn)在的，當時有人寫成R.q.4352．現(xiàn)在的，用數(shù)學家邦別利（1526～1572年）的符號可以寫成：R.c.┖7p.R.q.14┙，其中“┖ ┙”相當于今天的括號，p相當于今天的加號（那
13、時候，連加減號“＋”“－”還沒有通用）.
直到十七世紀，法國數(shù)學家笛卡爾（1596～1650年）第一個使用了現(xiàn)今用的根號“”.在一本書中，笛卡爾寫道：“如果我想求a2＋b2的平方根，就寫作，如果想求a3＋b3＋abb的立方根，則寫作”.
這是出于什么考慮呢?有時候被開方數(shù)的項數(shù)較多，為了避免混淆，笛卡爾就用一條橫線把幾項連起來，前面放上根號√（不過，它比路多爾夫的根號多了一個小鉤），就成為現(xiàn)在的根式形式.
現(xiàn)在的立方根符號出現(xiàn)得很晚，一直到十八世紀，才在一些書中看到符號的使用，比如25的立方根用表示.以后，諸如等等形式的根號漸漸使用開來.
由此可見，一種符號的普遍采用是多么艱難，它是人們在悠久的歲月中，經(jīng)過不斷改良、選擇和淘汰的結果，它是數(shù)學家們集體智能的結晶。
3.1 平方根(教案)
