第16章 排列、組合與概率

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1、第16章 排列、組合與概率 16.1計數(shù)原理Ⅰ——乘法原理（1課時） ppt 教學目標： 理解并掌握乘法原理，并能應(yīng)用它們分析和解決一些簡單的計數(shù)問題。 通過乘法原理的學習，感受數(shù)學模型的概括性、典型性和普遍性，進而體會數(shù)學之美。 重點難點： 重點：乘法原理 難點：無 教學過程： 在生產(chǎn)和生活實際中經(jīng)常會遇到計數(shù)問題。 例 1 （課本P49例如） 右圖是某綠地示意圖，某人有入口A進入綠地，順著道路到出口B，共有幾種不同的行走線路？ 分析：要從入口A走到出口B，需要兩個步驟：第一步，從入口A走到橋上，有2條線路；第二步，從橋上走到出口B，有3條線路。因為入口A到橋

2、上的2條線路都可以選擇3條不同的線路到達出口B，所以從入口A到出口B共有2×3=6種不同的行走線路。 解：所有走法分別為A→a1→橋→b1→B；A→a1→橋→b2→B；A→a1→橋→b3→B；A→a2→橋→b1→B；A→a2→橋→b2→B；A→a2→橋→b3→B。 所以共有6種不同的行走線路。▋ 一般的，對于這類計數(shù)問題，可以按照如下的計數(shù)原理進行計算： 如果完成一件事需要n個步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，……，第n步有mn種不同的方法，那么，完成這件事共有N=m1×m2×…×mn種不同的方法。 我們將上面計數(shù)原理稱為乘法原理。 例 2 （課本P49例1

3、） 某廠生產(chǎn)的手機為了在款式上能適應(yīng)更多顧客的需求，為統(tǒng)一的機芯設(shè)計了2種不同的外形，同時每種外形又有3種不同色彩的外殼。該廠這種手機共設(shè)計了多少種不同的款式？ 解：在這個問題中，確定一個手機的款式有2個步驟：第1步，確定外形，可選2種不同的外形；第2步，確定外殼的顏色，外殼可選3種不同的顏色。 根據(jù)乘法原理，共有2×3=6種不同的款式。 答：該廠這種手機共設(shè)計了6種不同的款式。▋ 上面兩個問題的本質(zhì)是一樣的，我們可以用樹形圖（如右圖）表示。我們發(fā)現(xiàn)，這兩個問題的樹形圖是一樣的，這就是兩個問題的解答基本相同的原因。 例 3 （課本P50例2） 在如圖所示的程序模塊中，一條執(zhí)行

4、路徑就是一條遵循著線段的箭頭方向，從開始到結(jié)束的路徑。要測試該程序模塊的所有執(zhí)行路徑，共要測試多少次？ 解：如圖所示的程序模塊共有2個子模塊，其中第一個子模塊有3條路徑；第二個子模塊有7條路徑。 由乘法原理，程序模塊共有3×7=21條不同的執(zhí)行路徑。 答：要測試該程序模塊的所有執(zhí)行路徑，共要測試21次。▋ 練 1 為了提高產(chǎn)品質(zhì)量，需要確定控制生產(chǎn)過程的溫度、材料處理的時間和添加劑的劑量，為此工廠進行生產(chǎn)試驗。試驗控制的溫度有150℃、160℃和170℃三種，材料處理的時間有10分鐘、12分鐘兩種，添加劑的劑量有2克、4克和6克三種，為了確定提高產(chǎn)品質(zhì)量的最佳條件，問需要做多少次試驗？

5、 解：因為每一次生產(chǎn)試驗需要分三個步驟完成：第一步，控制試驗的溫度，有3種方法；第二步，選擇材料處理的時間，有2種方法；第三步，確定添加劑的劑量，有3種方法。 因此根據(jù)乘法原理，試驗的次數(shù)為：N=3×2×3=18次。▋ 練 2 問(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2)展開后共有多少項？ 分析：展開后的多項式的項可以看作從第一個括號內(nèi)取一個數(shù)、從第二個括號內(nèi)取一個數(shù)、從第三個括號內(nèi)取一個數(shù)相乘而得。求上式展開后的項數(shù)，相當于問有幾種不同的相乘結(jié)果（情形）。 解：因為確定展開式的每一項需要分三個步驟完成：第一步：從第一個括號內(nèi)取出ai（i=1，2，3），有三種取法；

6、第二步：從第一個括號內(nèi)取出bj（j=1，2，3，4），有四種取法；第三步：從第一個括號內(nèi)取出ck（k=1，2），有二種取法； 因此，根據(jù)乘法原理， 原式展開后的項數(shù)為N=3×4×2=24。▋ ★例2中，可按例3的方法：(T1+T2+T3)·(t1+t2)·(m1+m2+m3)，對應(yīng)的乘積如：T1·t2·m3表示以T1溫度處理t2時間添加m3克添加劑。 例 4 （課本P50例3） 540的不同正約數(shù)共有多少個？ 解：將540進行素因數(shù)分解，得540=22·33·5。 由初中知識可知，540的任意正約數(shù)的形式為2a·3b·5c，其中a∈{0，1，2}，b∈{0，1，2，3}，c∈{0

7、，1}。 于是，求540的正約數(shù)可以分三個步驟完成：第一步，確定a的值，有3種不同的方法；第二步，確定b的值，有4種不同的方法；第三步，確定c的值，有2種不同的方法。 根據(jù)乘法原理，540共有3×4×2=24種不同的因數(shù)。▋ ★關(guān)于540的任意正約數(shù)的形式為2a·3b·5c，應(yīng)作如下說明： （1）凡是形式為2a·3b·5c的數(shù)都是540的正約數(shù)，可簡單除法證明； （2）凡是540的正約數(shù)都可寫成2a·3b·5c的形式，可用窮舉法證明； （3）每個正約數(shù)p恰好對應(yīng)一組(a，b，c)，使得p=2a·3b·5c。 練 3 用樹形圖分析例3與練習2。 這兩個樹形圖是一樣的。 練 4

8、課本P50/練習16.1/4。（1、2、3太簡單了，不必做） 練 5 本屆校園藝術(shù)節(jié)，某班有4位同學擬參加3項不同的藝術(shù)比賽，試在下列要求下計算有幾種不同的參賽方法： （1）每位同學參加且只參加一項比賽； （2）每項比賽有且只有一位同學參加。 解：（1）34=81；（2）43=64。▋ 練 6 已知n為自然數(shù)，使計算八進制n位數(shù)的個數(shù)。 解：滿足條件的八進制n位數(shù)的個數(shù)共有（個）。▋ 練 7 1、3封信投入3個信箱 2、3封信投入3個信箱，不能有空箱 3、4封信投入3個信箱 4、3封信投入4個信箱 5、4封信投入3個信箱，不能有空箱 課后作業(yè)與思考： 作業(yè)1 練習冊P 組 習題16.1A組：1、2、3、4、5、6；B組：1、2、3、4。