2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 解析幾何綜合練習(xí)9(含解析)
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1、2023屆高考一輪復(fù)習(xí) 解析幾何綜合練習(xí)9 一、選擇題(共8小題) 1. 已知過(guò)點(diǎn) P?2,m,Qm,6 的直線的傾斜角為 45° , 則 m 的值為 ?? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 點(diǎn) P2,?1 為圓 x?32+y2=25 中弦的中點(diǎn),則該弦所在直線的方程是 ?? A. x+y+1=0 B. x+y?1=0 C. x?y?1=0 D. x?y+1=0 3. 已知 A1,4,B?3,2,直線 l:ax+y+2=0,若直線 l 過(guò)線段 AB 的中點(diǎn),則 a 等于 ?? A. ?5 B. 5 C. ?4 D. 4 4. 已
2、知雙曲線 C1:x28?y24=1,雙曲線 C2 的焦點(diǎn)在 y 軸上,它的漸近線與雙曲線 C1 相同,則雙曲線 C2 的離心率為 ?? A. 2 B. 5?1 C. 23?1 D. 3 5. 已知直線 y=ax 與圓 C:x?a2+y?12=a2?1 交于 A,B 兩點(diǎn),且 ∠ACB=60°,則圓的面積為 ?? A. 6π B. 36π C. 7π D. 49π 6. 如圖,已知 F1,F(xiàn)2 是橢圓 T:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右焦點(diǎn),P 是橢圓 T 上任意一點(diǎn),過(guò) F2 作 △F1PF2 中 ∠F1PF2 的外角的角平分線的垂線,垂足為 Q,則點(diǎn)
3、Q 的軌跡為 ?? A. 直線 B. 圓 C. 橢圓 D. 拋物線 7. 已知中心在原點(diǎn)的橢圓與雙曲線有公共焦點(diǎn),左、右焦點(diǎn)分別為 F1,F(xiàn)2,且兩條曲線在第一象限的交點(diǎn)為 P,△PF1F2 是以 PF1 為底邊的等腰三角形,若 ∣PF1∣=10,橢圓與雙曲線的離心率分別為 e1,e2,則 e1 與 e2 滿足的關(guān)系是 ?? A. 1e1+1e2=2 B. 1e1?1e2=2 C. e1+e2=2 D. e2?e1=2 8. 已知直線 l:kx?y?2k+1=0 與橢圓 C1:x2a2+y2b2=1a>b>0 交于 A,B 兩點(diǎn),與圓 C2:x?22+y?1
4、2=1 交于 C,D 兩點(diǎn).若存在 k∈?2,?1,使得 AC=DB,則橢圓 C1 的離心率的取值范圍是 ?? A. 0,12 B. 12,1 C. 0,22 D. 22,1 二、選擇題(共4小題) 9. 已知直線 l:y=kx?1,圓 C:x?12+y2=r2r>0,則下列命題正確的是 ?? A. ?k∈R,l 與 C 相交 B. ?k∈R,l 與 C 相切 C. ?r>0,l 與 C 相交 D. ?r>0,l 與 C 相切 10. 下列四個(gè)說(shuō)法中,錯(cuò)誤的是 ?? A. 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) P0x0,y0 的直線,都可以用方程 y?y0=kx?x0 來(lái)表示
5、 B. 經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同點(diǎn) P1x1,y1,P2x2,y2 的直線 P1P2,都可以用方程 y?y1x2?x1=x?x1y2?y1 來(lái)表示 C. 在 x 軸、 y 軸上的截距分別為 a,b 的直線方程都可以用 xa+yb=1 來(lái)表示 D. 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 0,b 的直線,都可以用方程 y=kx+b 來(lái)表示 11. 已知 △ABC 為等腰直角三角形,其頂點(diǎn)為 A,B,C,若圓錐曲線 E 以 A,B 為焦點(diǎn),并經(jīng)過(guò)頂點(diǎn) C,則該圓錐曲線 E 的離心率可以是 ?? A. 2?1 B. 22 C. 2 D. 2+1 12. 已知 F 是拋物線 y2=2pxp>0 的焦點(diǎn),AB,
6、CD 是經(jīng)過(guò)點(diǎn) F 的弦且 AB⊥CD,AB 的斜率為 k,且 k>0,C,A 兩點(diǎn)在 x 軸上方,則下列結(jié)論中成立的是 ?? A. 1AB+1CD=12p B. 若 AF?BF=43p2,則 k=33 C. OA?OB=OC?OD D. 四邊形 ACBD 面積的最小值為 16p2 三、填空題(共4小題) 13. 已知過(guò)拋物線 y2=4x 的焦點(diǎn) F 的直線交該拋物線于 A,B 兩點(diǎn),∣AF∣=2,則 ∣BF∣= ?. 14. 直線 x+y+1=0 被圓 C:x2+y2=2 所截得的弦長(zhǎng)為
7、 ?;由直線 x+y+3=0 上的一點(diǎn)向圓 C 引切線,切線長(zhǎng)的最小值為 ?. 15. 橢圓 x225+y29=1 上一點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)距離之積為 m,則當(dāng) m 取最大值時(shí),P 點(diǎn)坐標(biāo)為 ?. 16. 已知 A,B 分別為橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的左、右頂點(diǎn),兩不同點(diǎn) P,Q 在橢圓 C 上,且關(guān)于 x 軸對(duì)稱,設(shè)直線 AP,BQ 的斜率分別為 m,n,則當(dāng) 2ba+ab+12mn+ln∣m∣+ln∣n∣ 取最小值時(shí),橢圓 C 的離心率為 ?. 四、解答題
8、(共4小題) 17. 已知過(guò)點(diǎn) P0,?2 的圓 M 的圓心 a,0 在 x 軸的非負(fù)半軸上,且圓 M 截直線 x+y?2=0 所得弦長(zhǎng)為 22. (1)求圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若過(guò)點(diǎn) Q0,1 且斜率為 k 的直線 l 交圓 M 于 A,B 兩點(diǎn),若 △PAB 的面積為 372,求直線 l 的方程. 18. 如圖,直線 l:y=x+b 與拋物線 C:x2=4y 相切于點(diǎn) A. (1)求實(shí)數(shù) b 的值; (2)求以點(diǎn) A 為圓心,且與拋物線 C 的準(zhǔn)線相切的圓的方程. 19. 已知橢圓 C1:x24+y2=1,橢圓 C2 以 C1 的長(zhǎng)軸為短軸,且與
9、C1 有相同的離心率. (1)求橢圓 C2 的方程; (2)設(shè) O 為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn) A,B 分別在橢圓 C1 和 C2 上,OB=2OA,求直線 AB 的方程. 20. 已知橢圓 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6,且橢圓 C 與圓 M:x?22+y2=409 的公共弦長(zhǎng)為 4103. (1)求橢圓 C 的方程; (2)過(guò)點(diǎn) P0,1 作斜率為 kk>0 的直線 l 與橢圓 C 交于兩點(diǎn) A,B,試判斷在 x 軸上是否存在點(diǎn) D,使得 △ADB 為以 AB 為底邊的等腰三角形,若存在,求出點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 答案
10、1. B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. B 【解析】延長(zhǎng) F2Q 與 F1P 的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) M,連接 OQ. 因?yàn)?PQ 是 △F1PF2 中 ∠F1PF2 的外角的角平分線,且 PQ⊥F2M, 所以在 △PF2M 中,PF2=PM,且 Q 為線段 F2M 的中點(diǎn). 又 O 為線段 F1F2 的中點(diǎn), 由三角形的中位線定理,得 OQ=12F1M=12PF1+PF2. 由橢圓的定義,得 PF1+PF2=2a, 所以 OQ=a,點(diǎn) Q 的軌跡方程為 x2+y2=a2, 所以點(diǎn) Q 的軌跡為以原點(diǎn)為圓心,半徑為 a 的圓. 7. B
11、【解析】由橢圓與雙曲線的定義得 e1=2c10+2c,e2=2c10?2c, 所以 1e1?1e2=4c2c=2. 8. C 【解析】直線 l 過(guò)圓 C2 的圓心,因?yàn)?AC=DB, 所以 AC2=C2B, 所以圓 C2 的圓心 2,1 為 A,B 兩點(diǎn)的中點(diǎn). 設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2, 則 x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1, 兩式相減得, x1+x2x1?x2a2=?y1+y2y1?y2b2, 化簡(jiǎn)可得 ?2?b2a2=k,又因?yàn)?a>b,所以 b2a2=?k2∈12,1, 所以 e=1?b2a2∈0,22. 9. A, C
12、 【解析】因?yàn)橹本€ l:y=kx?1 經(jīng)過(guò)定點(diǎn) 1,0,圓 C:x?12+y2=r2r>0 的圓心為 1,0,半徑為 r, 所以直線 l 經(jīng)過(guò)圓 C 的圓心, 所以 ?k∈R,l 與 C 相交, 所以 ?r>0,l 與 C 相交, 所以AC正確. 10. A, C, D 【解析】A中,過(guò)定點(diǎn) P0x0,y0 的直線斜率不存在時(shí),方程不成立,故A錯(cuò)誤; B中,對(duì)于任意不同點(diǎn)確定的直線都適合,B正確; C中,根據(jù)截距概念知 a,b 可以為 0,此時(shí)不能用 xa+yb=1 來(lái)表示,故C錯(cuò)誤; D中,當(dāng)過(guò)點(diǎn) 0,b 的直線斜率不存在時(shí),不能用方程 y=kx+b 來(lái)表示,故D錯(cuò)誤.
13、 11. A, B, D 【解析】( 1 )若該圓錐曲線是橢圓,當(dāng) C=π2 時(shí),離心率 e=2c2a=∣AB∣∣CA∣+∣CB∣=22, 當(dāng) C=π4 時(shí),離心率 e=∣AB∣∣CA∣+∣CB∣=12+1=2?1; ( 2 )若該圓錐曲線是雙曲線,根據(jù)雙曲線的特征可得, 只有 C=π4, 此時(shí),離心率 e=2c2a=AB∣∣CA∣?∣CB∣∣=12?1=2+1. 12. A, C 【解析】設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,AB 的方程為 y=kx?p2, 由 y=kx?p2,y2=2px, 可得 k2x2?pk2+2x+14k2p2=0, 則 x1+x2=pk2+2k2,
14、x1x2=14p2, 所以 AB=x1+x2+p=pk2+2k2+p=2pk2+1k2, 同理可得 CD=2p1k2+11k2=2p1+k2, 則有 1AB+1CD=12p,所以A正確; OA?OB=x1x2+y1y2=14p2+k2x1?p2x2?p2=14p2+k2x1x2?p2x1+x2+14p2=14p2+12k2p2?p2k2+22=?34p2, 與 k 無(wú)關(guān),同理 OC?OD=?34p2, 故 OA?OB=OC?OD,C正確; 若 AF?BF=43p2,由 x1+p2x2+p2=x1x2+p2?x1+x2+14p2, 得 12p2+p2k2+22k2=p2+p
15、2k2=43p2,解得 k=3,故B錯(cuò)誤; 因?yàn)?AB⊥CD,所以四邊形 ABCD 的面積 S四邊形ACBD=12ABCD=12?2pk2+1k2?2p1+k2=2p2k2+12k2=2p2k2+1k2+2≥8p2, 當(dāng)且僅當(dāng) k2=1k2,即 k=1 時(shí),等號(hào)成立,故D錯(cuò)誤. 13. 2 【解析】設(shè) Ax0,y0, 由拋物線定義知 x0+1=2, 所以 x0=1,則直線 AB⊥x 軸, 所以 ∣BF∣=∣AF∣=2. 14. 6,102 【解析】圓 C:x2+y2=2 的圓心 C0,0,半徑 r=2, 設(shè)圓心 C 到直線 x+y+1=0 的距離為 d,
16、 則 d=12=22, 弦長(zhǎng)為 2r2?d2=22?222=6. 設(shè) M 為直線 x+y+3=0 上一點(diǎn), 過(guò)點(diǎn) M 向圓 C 引切線切圓 C 于點(diǎn) N, 則有 CN⊥MN, 所以 ∣MN∣=∣CM∣2?r2=∣CM∣2?2, 故 ∣CM∣ 取最小值時(shí),切線長(zhǎng)最小, 此時(shí) CM 垂直于直線 x+y+3=0, 即 ∣CM∣ 的最小值為圓心 C 到直線 x+y+3=0 的距離 32, 所以 ∣MN∣ 最小值為 102. 15. 0,3 和 0,?3 【解析】由標(biāo)準(zhǔn)方程可知兩焦點(diǎn)為 F1?4,0,F(xiàn)24,0, 因?yàn)?PF1+PF2=10, 所以 PF1?PF2≤PF1+P
17、F222=25,
當(dāng)且僅當(dāng) PF1=PF2 時(shí)取等號(hào),即 P 點(diǎn)為短軸端點(diǎn).
故當(dāng) m 取最大值時(shí),P 點(diǎn)坐標(biāo)為 P0,3或0,?3.
16. 22
【解析】設(shè) Px0,y0,則 x02a2+y02b2=1,
所以 mn=b2a2,從而 2ba+ab+12mn+ln∣m∣+ln∣n∣=2ba+ab+a22b2+lnb2a2,
設(shè) b2a2=x,令 fx=12x+lnx0 18、且僅當(dāng) 2ba=ab,即 b2a2=12 時(shí)取等號(hào),
取等號(hào)的條件一致,
此時(shí) e2=1?b2a2=12,
所以 e=22.
17. (1) 設(shè)圓 M 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x?a2+y2=r2a≥0,
則圓心 M 到直線 x+y?2=0 的距離為 d=∣a?2∣2,
由題意得 a≥0,a2+4=r2,∣a?2∣22+2=r2,
解得 a=0,r2=4,
所以圓 M 的方程為 x2+y2=4.
??????(2) 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+1,
則圓心 M 到直線 l 的距離為 1k2+1,
所以 ∣AB∣=24?1k2+1=24k2+3k2+1,
又點(diǎn) P0, 19、?2 到直線 l 的距離為 d=3k2+1,
所以 S△PAB=12∣AB∣d=12×24k2+3k2+1×3k2+1=372,
解得 k2=1,
所以 k=±1,
則直線 l 的方程為 ±x?y+1=0.
18. (1) 由 y=x+b,x2=4y 得 x2?4x?4b=0,(*)
因?yàn)橹本€ l 與拋物線 C 相切,
所以 Δ=?42?4×?4b=0,解得 b=?1.
??????(2) 由(1)可知 b=?1,
故方程(*)即為 x2?4x+4=0,解得 x=2,
將其代入 x2=4y,得 y=1,
故 A2,1,
因?yàn)閳A A 與拋物線 C 的準(zhǔn)線相切,
所以圓 20、A 的半徑 r 等于圓心 A 到拋物線的準(zhǔn)線 y=?1 的距離,即 r=∣1??1∣=2,
所以圓 A 的方程為 x?22+y?12=4.
19. (1) 橢圓 C1:x24+y2=1 的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 4,
離心率為 e1=c1a1=32,
因?yàn)闄E圓 C2 以 C1 的長(zhǎng)軸為短軸,且與 C1 有相同的離心率,
所以橢圓 C2 的焦點(diǎn)在 y 軸上,2b2=4,e2=c2a2=32,
所以 b2=2,a2=4,
所以橢圓 C2 的方程為 y216+x24=1.
??????(2) 設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為 xA,yA,xB,yB,
因?yàn)?OB=2OA,
所以 O,A,B 三點(diǎn)共線, 21、
當(dāng)斜率不存在時(shí),OB=2OA 不成立,
所以點(diǎn) A,B 不在 y 軸上,
當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè) AB 的方程為 y=kx,
將 y=kx 代入 x24+y2=1,消元可得 1+4k2x2=4,
所以 xA2=41+4k2,
將 y=kx 代入 y216+x24=1,消元可得 4+k2x2=16,
所以 xB2=164+k2,
因?yàn)?OB=2OA,
所以 xB2=4xA2,
所以 164+k2=161+4k2,解得 k=±1,
所以直線 AB 的方程為 y=±x.
20. (1) 由題意可得 2a=6,
所以 a=3.
由橢圓 C 與圓 M:x?22+y2=409 的公 22、共弦長(zhǎng)為 4103,
恰為圓 M 的直徑,
可得橢圓 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2,±2103,
所以 49+409b2=1,
解得 b2=8.
所以橢圓 C 的方程為 x29+y28=1.
??????(2) 直線 l 的解析式為 y=kx+1,設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,
AB 的中點(diǎn)為 Ex0,y0.
假設(shè)存在點(diǎn) Dm,0,使得 △ADB 為以 AB 為底邊的等腰三角形,則 DE⊥AB.
由 y=kx+1,x29+y28=1 得,8+9k2x2+18kx?63=0,
Δ>0 恒成立,所以 x1+x2=?18k8+9k2,
所以 x0=?9k8+9k2,y0=kx0+1=88+9k2.
因?yàn)?DE⊥AB,所以 kDE=?1k,
即 88+9k2?0?9k8+9k2?m=?1k,
所以 m=?k8+9k2=?19k+8k.
當(dāng) k>0 時(shí),9k+8k≥29×8=122,
所以 ?224≤m<0.
綜上所述,在 x 軸上存在滿足題目條件的點(diǎn) D,且點(diǎn) D 的橫坐標(biāo)的取值范圍為 ?224,0.
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